Câu 2 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết rằng AB = a, AD = 2a, SB = a√3. Gọi M là trung điểm của CD, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và SC

Question

Mua hàng shopee · Accepted Answer

{"userId":5410079,"userName":"duylam"}

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ $Axyz$ sao cho $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;2a;0)$, $D(0;2a;0)$ và $S(0;0;z)$ với $z>0$.

Ta có $SA \perp (ABCD)$ nên $\overrightarrow{SA} = (0;0;z)$ là vectơ pháp tuyến của $(ABCD)$.

$AB = a$, $AD = 2a$, $SB = a\sqrt{3}$.

Vì $SA \perp AB$ nên $SB^2 = SA^2 + AB^2 \Rightarrow SA^2 = SB^2 - AB^2 = (a\sqrt{3})^2 - a^2 = 2a^2 \Rightarrow SA = a\sqrt{2}$, tức là $z = a\sqrt{2}$. Vậy $S(0;0;a\sqrt{2})$.

M là trung điểm của CD nên $M(\frac{a+0}{2}; \frac{2a+2a}{2}; 0) = (\frac{a}{2}; 2a; 0)$.

Ta có $\overrightarrow{BM} = (\frac{a}{2} - a; 2a - 0; 0) = (-\frac{a}{2}; 2a; 0)$.

$\overrightarrow{SC} = (a; 2a; -a\sqrt{2})$.

$[\overrightarrow{BM},\overrightarrow{SC}] = \begin{vmatrix}

extbf{i} & extbf{j} & extbf{k} \

-\frac{a}{2} & 2a & 0 \

a & 2a & -a\sqrt{2}

\end{vmatrix} = (-2a^2\sqrt{2}) extbf{i} - (\frac{a^2\sqrt{2}}{2}) extbf{j} + (-a^2-a^2) extbf{k} = (-2a^2\sqrt{2}; -\frac{a^2\sqrt{2}}{2}; -2a^2)$.

$|\overrightarrow{BM}| = \sqrt{\frac{a^2}{4}+4a^2} = \sqrt{\frac{17a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{17}}{2}$.

$|\overrightarrow{SC}| = \sqrt{a^2+4a^2+2a^2} = \sqrt{7a^2} = a\sqrt{7}$.

Khoảng cách giữa BM và SC là:

$d(BM,SC) = \frac{|[\overrightarrow{BM}, \overrightarrow{SC}].\overrightarrow{SA}|}{|[\overrightarrow{BM}, \overrightarrow{SC}]|} = \frac{|(-2a^2\sqrt{2})(0) - (\frac{a^2\sqrt{2}}{2})(0) + (-2a^2)(a\sqrt{2})|}{\sqrt{8a^4 + \frac{2a^4}{4} + 4a^4}} = \frac{|-2a^3\sqrt{2}|}{\sqrt{\frac{50a^4}{4}}} = \frac{2a^3\sqrt{2}}{\frac{5a^2\sqrt{2}}{2}} = \frac{4a}{5}$.

Vậy $d(BM,SC) = \frac{4a}{5}$.

Đáp số: $\frac{4a}{5}$.

Timi · Answer

Câu 2
Trước tiên, ta xác định các thông tin đã cho:
- Đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a và AD = 2a.
- Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
- SB = a√3.
- M là trung điểm của CD.

Bước 1: Xác định tọa độ các đỉnh của hình chóp S.ABCD.
- Gọi A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), D(0, 2a, 0), C(a, 2a, 0).
- Vì SA vuông góc với (ABCD), ta có S(0, 0, h).

Bước 2: Tìm tọa độ của S.
- Ta biết SB = a√3, do đó:
$$ SB^2 = (a - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - h)^2 = a^2 + h^2 = 3a^2 $$
$$ h^2 = 2a^2 \Rightarrow h = a\sqrt{2} $$
Vậy S(0, 0, a√2).

Bước 3: Tìm tọa độ của M.
- M là trung điểm của CD, nên:
$$ M\left(\frac{a + a}{2}, \frac{2a + 0}{2}, 0\right) = M(a, a, 0) $$

Bước 4: Xác định vectơ BM và SC.
$$ \overrightarrow{BM} = M - B = (a - a, a - 0, 0 - 0) = (0, a, 0) $$
$$ \overrightarrow{SC} = C - S = (a - 0, 2a - 0, 0 - a\sqrt{2}) = (a, 2a, -a\sqrt{2}) $$

Bước 5: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và SC.
- Ta sử dụng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
$$ d = \frac{|\overrightarrow{BM} \cdot (\overrightarrow{SC} \times \overrightarrow{BS})|}{|\overrightarrow{SC} \times \overrightarrow{BS}|} $$

Tính tích vector:
$$ \overrightarrow{BS} = S - B = (0 - a, 0 - 0, a\sqrt{2} - 0) = (-a, 0, a\sqrt{2}) $$
$$ \overrightarrow{SC} \times \overrightarrow{BS} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
a & 2a & -a\sqrt{2} \
-a & 0 & a\sqrt{2}
\end{vmatrix} = \mathbf{i}(2a \cdot a\sqrt{2} - 0) - \mathbf{j}(a \cdot a\sqrt{2} - (-a) \cdot (-a\sqrt{2})) + \mathbf{k}(a \cdot 0 - 2a \cdot (-a)) $$
$$ = \mathbf{i}(2a^2\sqrt{2}) - \mathbf{j}(a^2\sqrt{2} - a^2\sqrt{2}) + \mathbf{k}(2a^2) $$
$$ = (2a^2\sqrt{2}, 0, 2a^2) $$

Tính độ dài:
$$ |\overrightarrow{SC} \times \overrightarrow{BS}| = \sqrt{(2a^2\sqrt{2})^2 + 0^2 + (2a^2)^2} = \sqrt{8a^4 + 4a^4} = \sqrt{12a^4} = 2a^2\sqrt{3} $$

Tính tích vô hướng:
$$ \overrightarrow{BM} \cdot (\overrightarrow{SC} \times \overrightarrow{BS}) = (0, a, 0) \cdot (2a^2\sqrt{2}, 0, 2a^2) = 0 + 0 + 0 = 0 $$

Do đó:
$$ d = \frac{|0|}{2a^2\sqrt{3}} = 0 $$

Kết luận: Khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và SC là 0.

Câu 2 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết rằng AB = a, AD = 2a, SB = a√3. Gọi M là trung điểm của CD, tính khoảng cách giữa h...