Câu 1:
Ta có:
Để hàm số này có giới hạn hữu hạn khi , thì phải tiến đến 0 khi . Điều này có nghĩa là:
Do đó:
Từ đây, ta thấy rằng khi , giá trị của tiến đến 1. Tuy nhiên, điều này không đủ để kết luận vì giới hạn của hàm số khi không nhất thiết phải bằng giá trị của hàm số tại điểm .
Nhưng trong các lựa chọn đã cho, chỉ có đáp án là có thể đúng nếu hàm số là hằng số 1. Tuy nhiên, từ giới hạn đã cho, ta không thể chắc chắn rằng là hằng số 1, nhưng nó là lựa chọn duy nhất phù hợp trong bối cảnh của câu hỏi.
Vậy đáp án đúng là:
Câu 2:
Để tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol tại điểm có hoành độ , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm đạo hàm của hàm số :
Đạo hàm của là:
2. Tính giá trị của đạo hàm tại điểm :
Thay vào đạo hàm:
3. Hệ số góc của tiếp tuyến:
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm chính là giá trị của đạo hàm tại điểm đó:
Như vậy, đáp án đúng là:
Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, không có đáp án đúng là . Do đó, có thể có lỗi trong đề bài hoặc các lựa chọn đã cho.
Câu 3:
Ta có:
Để hàm số này có giới hạn hữu hạn khi , thì phải tiến đến 0 khi . Do đó, ta có:
Suy ra:
Từ đây, ta thấy rằng .
Do đó, khẳng định đúng là:
Câu 4:
Để tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(1, 2), ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm đạo hàm của hàm số:
Ta có:
2. Tính giá trị đạo hàm tại điểm M(1, 2):
Thay vào đạo hàm:
3. Kết luận:
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(1, 2) là .
Vậy đáp án đúng là:
Câu 5:
Ta có:
Biểu thức này chính là định nghĩa của đạo hàm của hàm số tại điểm . Do đó:
Theo đề bài, ta biết rằng . Tuy nhiên, để tính giá trị của biểu thức trên, ta cần biết giá trị của đạo hàm .
Trong các đáp án đã cho, ta thấy rằng:
A. 19
B. 2
C.
D.
Do đó, ta chọn đáp án D vì .
Đáp án đúng là: D.
Câu 6:
Để tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol tại điểm có hoành độ bằng 1, ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm đạo hàm của hàm số:
Hàm số đã cho là . Ta tính đạo hàm của nó:
2. Tính giá trị đạo hàm tại điểm có hoành độ bằng 1:
Thay vào đạo hàm vừa tìm được:
3. Kết luận hệ số góc của tiếp tuyến:
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 là giá trị của đạo hàm tại điểm đó, tức là:
Như vậy, đáp án đúng là:
Câu 7:
Phương trình chuyển động của con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang là:
Để tìm vận tốc tức thời của con lắc tại thời điểm (s), ta cần tính đạo hàm của phương trình chuyển động để tìm phương trình vận tốc tức thời.
Phương trình vận tốc tức thời là đạo hàm của phương trình chuyển động :
Bây giờ, ta thay vào phương trình vận tốc tức thời:
Ta biết rằng:
Do đó:
Vậy vận tốc tức thời của con lắc tại thời điểm (s) là:
Câu 8:
Để tìm gia tốc của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc chuyển động là 11 mét/giây, chúng ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm thời điểm khi vận tốc mét/giây:
Đặt phương trình:
2. Giải phương trình bậc hai:
Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai :
Với , , :
Ta có hai nghiệm:
Vì , ta chọn .
3. Tính gia tốc tại thời điểm :
Gia tốc là đạo hàm của vận tốc :
Thay vào:
Kết luận: Gia tốc của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc chuyển động là 11 mét/giây là 14 mét/giây².
Câu 9:
Đạo hàm của hàm số là .
Vậy đáp án đúng là:
Câu 10:
Để xác định mệnh đề sai trong các mệnh đề đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một.
A.
- Đây là đạo hàm của hàm số . Đạo hàm của là , vì là hằng số nhân với biến . Do đó, mệnh đề này đúng.
B.
- Đây là đạo hàm của hàm số . Đạo hàm của là . Do đó, mệnh đề này đúng.
C. với
- Đây là đạo hàm của hàm số . Đạo hàm của là . Do đó, mệnh đề này sai.
D. với
- Đây là đạo hàm của hàm số . Đạo hàm của là . Do đó, mệnh đề này đúng.
Như vậy, mệnh đề sai là:
C. với
Đáp án: C.
Câu 11:
Để tìm đạo hàm của hàm số , ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định đạo hàm của hàm số cơ bản:
- Ta biết rằng .
2. Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số:
- Nếu , thì .
- Ở đây, và .
3. Tìm đạo hàm của và :
- .
- .
4. Thay vào công thức đạo hàm của thương:
5. Sử dụng công thức Pythagoras:
- Ta biết rằng .
6. Thay vào kết quả:
Vậy đạo hàm của hàm số là:
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 12:
Để tìm đạo hàm của hàm số với , ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định đạo hàm của hàm số cơ bản:
- Đạo hàm của hàm số là .
2. Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm số nhân với hằng số:
- Nếu , thì đạo hàm của là .
Trong trường hợp này, và . Do đó, đạo hàm của sẽ là:
Vậy đáp án đúng là:
Đáp số:
Câu 13:
Để tìm đạo hàm của hàm số , chúng ta sẽ áp dụng công thức đạo hàm cơ bản.
1. Tìm đạo hàm của mỗi thành phần trong hàm số:
- Đạo hàm của là .
- Đạo hàm của hằng số 1 là 0.
2. Áp dụng quy tắc tổng đạo hàm:
- Nếu , thì .
Áp dụng vào bài toán:
Vậy đáp án đúng là:
Đáp án:
Câu 14:
Để tìm đạo hàm của hàm số , chúng ta sẽ áp dụng quy tắc tìm đạo hàm của tổng và từng thành phần của nó.
1. Tìm đạo hàm của :
- Áp dụng công thức đạo hàm , ta có:
2. Tìm đạo hàm của :
- Áp dụng công thức đạo hàm , ta có:
3. Kết hợp các kết quả trên để tìm đạo hàm của tổng:
- Đạo hàm của tổng bằng tổng các đạo hàm:
Vậy đạo hàm của hàm số là: