làm bài giải chi tuêts

Câu 13. Để tìm tiêu cự của elip $(E):\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số của elip: - Elip có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ với $a > b$. - Từ phương trình đã cho, ta thấy $a^2 = 25$ và $b^2 = 16$. - Do đó, $a = 5$ và $b = 4$. 2. Tính khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm (c): - Công thức tính khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm là $c = \sqrt{a^2 - b^2}$. - Thay các giá trị vào công thức: $c = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$. 3. Tính tiêu cự của elip: - Tiêu cự của elip là khoảng cách giữa hai tiêu điểm, tức là $2c$. - Vậy tiêu cự của elip là $2 \times 3 = 6$. Do đó, tiêu cự của elip $(E)$ là 6. Đáp án đúng là: C. 6. Câu 14. Để xác định điểm nào là đỉnh của hypebol $(H):\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$, ta cần hiểu rằng đỉnh của hypebol là các điểm giao giữa hypebol và các trục tọa độ. Hypebol $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ có dạng chuẩn của hypebol có tâm tại gốc tọa độ O(0,0), với các đỉnh nằm trên trục Ox (trục thực) và trục Oy (trục ảo). - Các đỉnh của hypebol nằm trên trục Ox sẽ có tọa độ $(\pm a, 0)$, trong đó $a^2 = 9$. Do đó, $a = 3$. - Các đỉnh của hypebol nằm trên trục Oy sẽ có tọa độ $(0, \pm b)$, trong đó $b^2 = 4$. Do đó, $b = 2$. Do đó, các đỉnh của hypebol là: - $(3, 0)$ - $(-3, 0)$ - $(0, 2)$ - $(0, -2)$ Trong các đáp án đã cho: - Đáp án A: $(3, 0)$ đúng là đỉnh của hypebol. - Đáp án B: $(3, 2)$ không phải đỉnh của hypebol. - Đáp án C: $(0, 3)$ không phải đỉnh của hypebol. - Đáp án D: $(0, -3)$ không phải đỉnh của hypebol. Vậy điểm nào sau đây là một đỉnh của hypebol? Đáp án đúng là: $A.~(3;0).$ Đáp số: $A.~(3;0).$ Câu 15. Biến cố "Con xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm không nhỏ hơn 5" có nghĩa là mặt xúc xắc xuất hiện số chấm là 5 hoặc 6. Do đó, biến cố này có 2 phần tử là 5 và 6. Đáp án đúng là: B. 2. Câu 16. Khi gieo một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần, ta có thể liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra như sau: - Mặt trước (H) và mặt trước (H) - Mặt trước (H) và mặt sau (T) - Mặt sau (T) và mặt trước (H) - Mặt sau (T) và mặt sau (T) Như vậy, ta có 4 kết quả có thể xảy ra: (H, H), (H, T), (T, H), (T, T). Trong đó, các kết quả có mặt khác nhau là (H, T) và (T, H). Như vậy, có 2 kết quả có mặt khác nhau trong tổng số 4 kết quả. Xác suất để cả hai lần gieo xuất hiện mặt khác nhau là: \[ P = \frac{\text{số kết quả có mặt khác nhau}}{\text{tổng số kết quả có thể xảy ra}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~\frac{1}{2} \] Câu 17. a) Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng $\Delta$ bằng 2. Khoảng cách từ điểm $I(1;2)$ đến đường thẳng $\Delta: 3x + 4y - 6 = 0$ được tính bằng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: \[ d = \frac{|3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 - 6|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 + 8 - 6|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|5|}{5} = 1 \] Như vậy, khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng $\Delta$ là 1, không phải 2. Do đó, khẳng định này sai. b) Bán kính đường tròn bằng $\sqrt{5}$. Ta biết rằng đoạn thẳng AB là dây cung của đường tròn và có độ dài là 4. Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng $\Delta$ là 1. Ta vẽ đường kính vuông góc với AB tại trung điểm của AB, ta có tam giác vuông với các cạnh là bán kính R, khoảng cách từ tâm đến đường thẳng (1) và nửa độ dài của AB (2). Áp dụng định lý Pythagoras: \[ R^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5 \] \[ R = \sqrt{5} \] Do đó, khẳng định này đúng. c) Phương trình đường tròn $(C):~x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$. Phương trình đường tròn tâm $I(1;2)$ và bán kính $\sqrt{5}$ là: \[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5 \] Mở rộng phương trình này: \[ x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 5 \] \[ x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0 \] Do đó, khẳng định này đúng. d) Điểm $M(3;1)$ nằm trong đường tròn (C). Ta kiểm tra xem điểm $M(3;1)$ có nằm trong đường tròn hay không bằng cách thay tọa độ của M vào phương trình đường tròn: \[ (3 - 1)^2 + (1 - 2)^2 = 2^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5 \] Vì $5 = 5$, nên điểm M nằm trên đường tròn, không phải trong đường tròn. Do đó, khẳng định này sai. Kết luận: a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai Câu 18. a) Số phần tử của không gian mẫu là 90. - Ta có 10 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 10. - Khi rút ngẫu nhiên hai tấm thẻ từ hộp đó, ta có thể chọn bất kỳ 2 trong 10 tấm thẻ. - Số cách chọn 2 tấm thẻ từ 10 tấm thẻ là: \[ C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \] Nhưng vì mỗi lần rút có thể xảy ra theo thứ tự khác nhau, nên số phần tử của không gian mẫu là: \[ 45 \times 2 = 90 \] b) Xác suất để rút được hai tấm thẻ được đánh số cùng chia hết cho 2 là $\frac{2}{9}$. - Các số chia hết cho 2 trong khoảng từ 1 đến 10 là: 2, 4, 6, 8, 10. - Số cách chọn 2 tấm thẻ từ 5 tấm thẻ chia hết cho 2 là: \[ C_{5}^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \] Xác suất để rút được hai tấm thẻ được đánh số cùng chia hết cho 2 là: \[ P = \frac{10}{90} = \frac{1}{9} \] c) Xác suất để rút được hai tấm thẻ được đánh số đều là số nguyên tố là $\frac{1}{15}$. - Các số nguyên tố trong khoảng từ 1 đến 10 là: 2, 3, 5, 7. - Số cách chọn 2 tấm thẻ từ 4 tấm thẻ là: \[ C_{4}^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \] Xác suất để rút được hai tấm thẻ được đánh số đều là số nguyên tố là: \[ P = \frac{6}{90} = \frac{1}{15} \] d) Xác suất để rút được hai tấm thẻ có tổng là một số lẻ là $\frac{5}{9}$. - Tổng của hai số sẽ là số lẻ nếu một số là số chẵn và một số là số lẻ. - Số tấm thẻ chẵn là 5 (2, 4, 6, 8, 10). - Số tấm thẻ lẻ là 5 (1, 3, 5, 7, 9). Số cách chọn 1 tấm thẻ chẵn và 1 tấm thẻ lẻ là: \[ 5 \times 5 = 25 \] Xác suất để rút được hai tấm thẻ có tổng là một số lẻ là: \[ P = \frac{25}{90} = \frac{5}{18} \] Đáp số: a) Số phần tử của không gian mẫu là 90. b) Xác suất để rút được hai tấm thẻ được đánh số cùng chia hết cho 2 là $\frac{1}{9}$. c) Xác suất để rút được hai tấm thẻ được đánh số đều là số nguyên tố là $\frac{1}{15}$. d) Xác suất để rút được hai tấm thẻ có tổng là một số lẻ là $\frac{5}{18}$. Câu 19. a) Số cách chọn một học sinh trong tổ là 12. Lý do: Tổng số học sinh trong tổ là 5 học sinh nam + 7 học sinh nữ = 12 học sinh. Do đó, có 12 cách để chọn một học sinh từ tổ này. b) Số cách chọn một học sinh nam và hai học sinh nữ là 210. Lý do: - Số cách chọn một học sinh nam từ 5 học sinh nam là \( C_5^1 = 5 \). - Số cách chọn hai học sinh nữ từ 7 học sinh nữ là \( C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \). Do đó, tổng số cách chọn một học sinh nam và hai học sinh nữ là: \[ 5 \times 21 = 105 \] c) Số cách xếp tổ đó thành 1 hàng ngang sao cho các HS nam đứng thành 1 cụm là 4838400. Lý do: - Xếp 5 học sinh nam thành một cụm có \( 5! = 120 \) cách. - Xếp 7 học sinh nữ có \( 7! = 5040 \) cách. - Xếp cụm học sinh nam và 7 học sinh nữ thành một hàng ngang có \( 8! = 40320 \) cách. Do đó, tổng số cách xếp là: \[ 120 \times 5040 \times 40320 = 4838400 \] d) Số cách xếp tổ đó thành 1 hàng ngang sao cho không có 2 học sinh nam nào đứng cạnh nhau là 33868800. Lý do: - Xếp 7 học sinh nữ thành một hàng ngang có \( 7! = 5040 \) cách. - Có 8 khoảng trống giữa các học sinh nữ (gồm cả hai đầu hàng) để chèn 5 học sinh nam vào. Chọn 5 trong 8 khoảng trống để chèn học sinh nam có \( A_8^5 = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6720 \) cách. - Xếp 5 học sinh nam vào 5 khoảng trống đã chọn có \( 5! = 120 \) cách. Do đó, tổng số cách xếp là: \[ 5040 \times 6720 \times 120 = 33868800 \] Câu 20. Để tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \( A(2;0) \) và \( B(0;3) \), ta sử dụng công thức tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \( (x_1, y_1) \) và \( (x_2, y_2) \): \[ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \] Áp dụng vào hai điểm \( A(2;0) \) và \( B(0;3) \): \[ \frac{y - 0}{3 - 0} = \frac{x - 2}{0 - 2} \] Simplifying the equation: \[ \frac{y}{3} = \frac{x - 2}{-2} \] Nhân cả hai vế với 6 để loại bỏ mẫu số: \[ 2y = -3(x - 2) \] Mở ngoặc và sắp xếp lại phương trình: \[ 2y = -3x + 6 \] \[ 3x + 2y - 6 = 0 \] So sánh với phương trình đã cho \( 3x + by + c = 0 \), ta nhận thấy: \[ b = 2 \] \[ c = -6 \] Giá trị biểu thức \( T = b + 2c \): \[ T = 2 + 2(-6) \] \[ T = 2 - 12 \] \[ T = -10 \] Đáp số: \( T = -10 \) Câu 21. Để tính xác suất để mỗi người trong 3 người nói trên ra khỏi thang máy ở 1 tầng khác nhau, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tổng số cách để 3 người ra khỏi thang máy: Mỗi người có thể ra khỏi thang máy ở bất kỳ tầng nào từ tầng 2 đến tầng 7 (6 tầng). Do đó, tổng số cách để 3 người ra khỏi thang máy là: \[ 6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216 \] 2. Tìm số cách để mỗi người ra khỏi thang máy ở 1 tầng khác nhau: - Người thứ nhất có 6 lựa chọn tầng để ra khỏi thang máy. - Người thứ hai có 5 lựa chọn tầng còn lại (khác với tầng của người thứ nhất). - Người thứ ba có 4 lựa chọn tầng còn lại (khác với tầng của người thứ nhất và người thứ hai). Do đó, số cách để mỗi người ra khỏi thang máy ở 1 tầng khác nhau là: \[ 6 \times 5 \times 4 = 120 \] 3. Tính xác suất: Xác suất để mỗi người trong 3 người nói trên ra khỏi thang máy ở 1 tầng khác nhau là: \[ \frac{\text{số cách để mỗi người ra khỏi thang máy ở 1 tầng khác nhau}}{\text{tổng số cách để 3 người ra khỏi thang máy}} = \frac{120}{216} = \frac{5}{9} \] 4. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm: \[ \frac{5}{9} \approx 0.5556 \approx 0.56 \] Vậy xác suất để mỗi người trong 3 người nói trên ra khỏi thang máy ở 1 tầng khác nhau là khoảng 0.56 hoặc 56%. Câu 22. Ta có khai triển nhị thức Niutơn $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$. Áp dụng vào bài toán này với $a = 2x$, $b = -3$, và $n = 5$, ta có: \[ (2x - 3)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} (2x)^{5-k} (-3)^k \] Muốn tìm số hạng chứa $x^3$, ta cần xác định giá trị của $k$ sao cho $(2x)^{5-k}$ có bậc là 3. Do đó: \[ 5 - k = 3 \implies k = 2 \] Thay $k = 2$ vào công thức khai triển, ta có số hạng chứa $x^3$ là: \[ \binom{5}{2} (2x)^{5-2} (-3)^2 = \binom{5}{2} (2x)^3 (-3)^2 \] Tính toán tiếp: \[ \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \] \[ (2x)^3 = 8x^3 \] \[ (-3)^2 = 9 \] Nhân các kết quả lại: \[ 10 \times 8x^3 \times 9 = 720x^3 \] Vậy số hạng chứa $x^3$ trong khai triển $(2x - 3)^5$ là $720x^3$.