Đung hay saii Câu 4. Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-1}{x-1}&khi~x
e1\a&khi~x=1\end{array} ight.$,a) Ta có $\lim_{x ightarrow1}\frac{x^2-1}{x-1}=2$,b) Với $a=-2$ thì hàm số có đạo hàm tại $x=1$,c) Với $a=2$ thì hàm số có đạo hàm tại $x=1$,d) Với $a=m_q$ thì hàm số có đạo hàm tại $x=1,$ khi đó $:~\lim_{x ightarrow m_0}(x^2+2x-3)=5$,8

Question

Đung hay saii Câu 4. Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-1}{x-1}&khi~x
e1\a&khi~x=1\end{array}ight.$,a) Ta có $\lim_{xightarrow1}\frac{x^2-1}{x-1}=2$,b) Với $a=-2$ thì hàm số có đạo hàm tại $x=1$,c) Với $a=2$ thì hàm số có đạo hàm tại $x=1$,d) Với $a=m_q$ thì hàm số có đạo hàm tại $x=1,$ khi đó $:~\lim_{xightarrow m_0}(x^2+2x-3)=5$,8

Timi · Accepted Answer

Câu 4.
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần của câu hỏi theo thứ tự.

a) Ta có $\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2-1}{x-1}=2$

Ta có thể tính giới hạn như sau:
$$
\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2
$$
Vậy, $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2$. Đúng.

b) Với $a=-2$ thì hàm số có đạo hàm tại $x=1$

Để hàm số có đạo hàm tại $x=1$, hàm số phải liên tục tại điểm đó. Ta kiểm tra tính liên tục của hàm số tại $x=1$:
$$
\lim_{x \to 1} f(x) = 2 \quad \text{nhưng} \quad f(1) = a = -2
$$
Vì $\lim_{x \to 1} f(x) \neq f(1)$, nên hàm số không liên tục tại $x=1$ khi $a = -2$. Do đó, hàm số không có đạo hàm tại $x=1$ khi $a = -2$. Sai.

c) Với $a=2$ thì hàm số có đạo hàm tại $x=1$

Ta kiểm tra tính liên tục của hàm số tại $x=1$ khi $a = 2$:
$$
\lim_{x \to 1} f(x) = 2 \quad \text{và} \quad f(1) = a = 2
$$
Vì $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$, nên hàm số liên tục tại $x=1$ khi $a = 2$. Để kiểm tra đạo hàm, ta tính:
$$
f&#x27;(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}
$$
Khi $x \neq 1$, ta có:
$$
f(x) = x + 1 \quad \Rightarrow \quad f&#x27;(x) = 1
$$
Do đó:
$$
f&#x27;(1) = 1
$$
Vậy, hàm số có đạo hàm tại $x=1$ khi $a = 2$. Đúng.

d) Với $a=m_q$ thì hàm số có đạo hàm tại $x=1,$ khi đó $:~\lim_{x\rightarrow m_0}(x^2+2x-3)=5$

Phần này không liên quan trực tiếp đến câu hỏi ban đầu và có vẻ như có lỗi trong đề bài. Chúng ta đã kiểm tra các trường hợp $a = -2$ và $a = 2$ ở trên. Phần này không cung cấp thông tin hữu ích để xác định đạo hàm tại $x=1$.

Kết luận:
- Đáp án đúng là: c) Với $a=2$ thì hàm số có đạo hàm tại $x=1$.