giúp mình với

Câu 8. Để xác định vec tơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) trong không gian Oxyz, ta cần so sánh các vec tơ chỉ phương đã cho với vec tơ chỉ phương của đường thẳng \(d\). Đường thẳng \(d\) có phương trình tham số: \[ d: \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + i \\ y = 1 - 2i \\ z = -1 + 3i \end{array} \right. \] Từ phương trình tham số này, ta thấy vec tơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là: \[ \overrightarrow{u_d} = (1, -2, 3) \] Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng vec tơ chỉ phương đã cho để xem có vec tơ nào trùng với vec tơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) hay không. A. \(\overrightarrow{b_1} = (2, 1, -1)\) - Vec tơ này không trùng với \(\overrightarrow{u_d} = (1, -2, 3)\). B. \(\overrightarrow{u_2} = (1, 2, 3)\) - Vec tơ này không trùng với \(\overrightarrow{u_d} = (1, -2, 3)\). C. \(\overrightarrow{u_5} = (1, -2, 3)\) - Vec tơ này trùng với \(\overrightarrow{u_d} = (1, -2, 3)\). D. \(\overrightarrow{u_4} = (2, 1, 1)\) - Vec tơ này không trùng với \(\overrightarrow{u_d} = (1, -2, 3)\). Vậy, vec tơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là: \[ \boxed{C. \overrightarrow{u_5} = (1, -2, 3)} \] Câu 9. Để xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng: - Mặt phẳng (P): \(2x - 5y - 3z + 1 = 0\) Vectơ pháp tuyến của (P) là \(\vec{n}_1 = (2, -5, -3)\). - Mặt phẳng (Q): \(-3x + y - 2z - 7 = 0\) Vectơ pháp tuyến của (Q) là \(\vec{n}_2 = (-3, 1, -2)\). 2. Tính tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến: \[ \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 2 \times (-3) + (-5) \times 1 + (-3) \times (-2) = -6 - 5 + 6 = -5 \] 3. Tính độ dài của mỗi vectơ pháp tuyến: \[ |\vec{n}_1| = \sqrt{2^2 + (-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 25 + 9} = \sqrt{38} \] \[ |\vec{n}_2| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14} \] 4. Tính cosin của góc giữa hai vectơ pháp tuyến: \[ \cos \theta = \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|} = \frac{-5}{\sqrt{38} \times \sqrt{14}} = \frac{-5}{\sqrt{532}} \] 5. Tính góc giữa hai mặt phẳng: \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{-5}{\sqrt{532}}\right) \] 6. Tính giá trị của góc: \[ \theta \approx \cos^{-1}\left(\frac{-5}{\sqrt{532}}\right) \approx 107,67^\circ \] 7. Tính góc giữa hai mặt phẳng: Góc giữa hai mặt phẳng là: \[ \alpha = 180^\circ - \theta \approx 180^\circ - 107,67^\circ = 72,33^\circ \] Vậy góc giữa mặt phẳng (P) với mặt phẳng (Q) là \(72,33^\circ\). Đáp án đúng là: D. 72,33° Câu 10. Phương trình mặt cầu đã cho là $(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=4$. Ta nhận thấy rằng phương trình này có dạng chuẩn của phương trình mặt cầu $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, trong đó $(a, b, c)$ là tọa độ tâm của mặt cầu và $R$ là bán kính. So sánh phương trình đã cho với phương trình chuẩn, ta có: - Tọa độ tâm của mặt cầu là $I(a, b, c) = I(1, -2, 3)$. - Bán kính của mặt cầu là $R = \sqrt{4} = 2$. Do đó, tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu là: - Tâm: $I(1, -2, 3)$ - Bán kính: $R = 2$ Vậy đáp án đúng là: $C.~I(1,-2;3);R=2.$ Câu 11. Để tính $P(A|B)$, ta sử dụng công thức xác suất điều kiện: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] Vì A và B là hai biến cố độc lập, nên ta có: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \] Thay các giá trị đã cho vào công thức trên: \[ P(A \cap B) = 0,2024 \cdot 0,2025 \] Tính $P(A \cap B)$: \[ P(A \cap B) = 0,2024 \times 0,2025 = 0,041006 \] Bây giờ, thay vào công thức xác suất điều kiện: \[ P(A|B) = \frac{0,041006}{0,2025} \] Tính $P(A|B)$: \[ P(A|B) = \frac{0,041006}{0,2025} \approx 0,2024 \] Vậy đáp án đúng là: D. 0,2024 Đáp số: D. 0,2024 Câu 12. Để tìm xác suất để viên đạn đó trúng đích, ta sẽ sử dụng công thức xác suất tổng hợp. Bước 1: Xác định các biến cố liên quan: - Biến cố B: Chọn xạ thủ loại I bắn. - Biến cố $\overline{B}$: Chọn xạ thủ loại II bắn. - Biến cố A: Viên đạn trúng đích. Bước 2: Tính xác suất của các biến cố: - Số xạ thủ loại I là 2, tổng số xạ thủ là 10. Vậy xác suất chọn xạ thủ loại I là: \[ P(B) = \frac{2}{10} = 0,2 \] - Số xạ thủ loại II là 8, tổng số xạ thủ là 10. Vậy xác suất chọn xạ thủ loại II là: \[ P(\overline{B}) = \frac{8}{10} = 0,8 \] Bước 3: Xác định xác suất điều kiện: - Xác suất viên đạn trúng đích khi chọn xạ thủ loại I bắn là: \[ P(A|B) = 0,9 \] - Xác suất viên đạn trúng đích khi chọn xạ thủ loại II bắn là: \[ P(A|\overline{B}) = 0,7 \] Bước 4: Áp dụng công thức xác suất tổng hợp: \[ P(A) = P(B) \cdot P(A|B) + P(\overline{B}) \cdot P(A|\overline{B}) \] \[ P(A) = 0,2 \cdot 0,9 + 0,8 \cdot 0,7 \] \[ P(A) = 0,18 + 0,56 \] \[ P(A) = 0,74 \] Vậy xác suất để viên đạn đó trúng đích là 0,74. Đáp án đúng là: A. 0,74. Câu 1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Kiểm tra điểm M(2;1;1) có thuộc vùng phủ sóng hay không Vùng phủ sóng của thiết bị là một mặt cầu tâm tại A(2;0;0) và bán kính R = 1. Ta kiểm tra khoảng cách từ điểm M đến tâm A: \[ d(A, M) = \sqrt{(2 - 2)^2 + (0 - 1)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2} \] Vì \(\sqrt{2} > 1\), nên điểm M không thuộc vùng phủ sóng. Bước 2: Xác định phương trình mặt cầu giới hạn vùng phủ sóng Phương trình mặt cầu tâm tại A(2;0;0) và bán kính R = 1 là: \[ (x - 2)^2 + y^2 + z^2 = 1 \] Bước 3: Xác định vị trí của mặt phẳng (Q) Phương trình mặt phẳng (Q) là: \[ 2x + y + 2z - 3 = 0 \] Bước 4: Kiểm tra xem mặt phẳng (Q) có chắn được sóng của thiết bị hay không Để kiểm tra xem mặt phẳng (Q) có chắn được sóng của thiết bị hay không, ta cần kiểm tra xem có điểm nào trên mặt cầu nằm trên mặt phẳng (Q) hay không. Ta thay phương trình mặt cầu vào phương trình mặt phẳng: \[ 2x + y + 2z - 3 = 0 \] với điều kiện: \[ (x - 2)^2 + y^2 + z^2 = 1 \] Giả sử có điểm (x, y, z) thỏa mãn cả hai phương trình trên. Ta sẽ thử thay các giá trị x, y, z vào phương trình mặt phẳng và kiểm tra xem có thỏa mãn phương trình mặt cầu hay không. Chọn một điểm trên mặt phẳng (Q), ví dụ điểm (1, 1, 0): \[ 2(1) + 1 + 2(0) - 3 = 0 \quad \text{(thỏa mãn)} \] Kiểm tra điểm này có thuộc mặt cầu hay không: \[ (1 - 2)^2 + 1^2 + 0^2 = 1 + 1 + 0 = 2 \neq 1 \] Vậy điểm (1, 1, 0) không thuộc mặt cầu. Chọn điểm khác, ví dụ điểm (1, 0, 1): \[ 2(1) + 0 + 2(1) - 3 = 0 \quad \text{(thỏa mãn)} \] Kiểm tra điểm này có thuộc mặt cầu hay không: \[ (1 - 2)^2 + 0^2 + 1^2 = 1 + 0 + 1 = 2 \neq 1 \] Vậy điểm (1, 0, 1) cũng không thuộc mặt cầu. Từ các phép tính trên, ta thấy rằng không có điểm nào trên mặt phẳng (Q) nằm trên mặt cầu. Do đó, mặt phẳng (Q) không chắn được sóng của thiết bị. Kết luận: - Điểm M(2;1;1) không thuộc vùng phủ sóng. - Tập hợp tất cả các điểm thuộc vùng phủ sóng của thiết bị được giới hạn bởi mặt cầu có phương trình \((x - 2)^2 + y^2 + z^2 = 1\). - Mặt phẳng (Q) không chắn được sóng của thiết bị.