Câu 1.
Để giải phương trình , ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ):
- Phương trình này là phương trình mũ, không yêu cầu điều kiện xác định cụ thể.
2. Biến đổi phương trình:
- Ta nhận thấy rằng có thể viết dưới dạng lũy thừa cơ số :
- Do đó, phương trình trở thành:
3. So sánh các lũy thừa:
- Vì hai lũy thừa có cùng cơ số, ta có thể so sánh các số mũ:
4. Kiểm tra nghiệm:
- Thay vào phương trình ban đầu để kiểm tra:
- Kết quả đúng, vậy là nghiệm của phương trình.
Kết luận: Nghiệm của phương trình là .
Đáp án đúng là:
Câu 2.
Để rút gọn biểu thức với , ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Viết lại căn bậc ba dưới dạng lũy thừa:
Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu:
Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số:
Bước 4: Tính tổng các số mũ:
Bước 5: Viết kết quả cuối cùng:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 3.
Xác suất của biến cố A là tích của xác suất ném bóng trúng vào rổ của từng người.
Xác suất của biến cố A là:
Đáp án đúng là:
Câu 4.
Câu hỏi 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) là
Đáp án đúng là: C. a
Lập luận:
- Vì nên khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) chính là độ dài đoạn thẳng SA.
- Theo đề bài, .
Câu hỏi 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD và Khẳng định đúng là
Đáp án đúng là: B. BD ⊥ (SAD)
Lập luận:
- Ta biết rằng trong hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông ABCD và .
- Do đó, vì SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD), bao gồm cả BD.
- Mặt khác, trong hình vuông ABCD, ta có .
- Kết hợp hai điều trên, ta thấy BD vuông góc với cả SA và AC, mà SA và AC là hai đường thẳng thuộc mặt phẳng (SAD) và cắt nhau tại A.
- Do đó, theo tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta suy ra .
Vậy đáp án đúng là B. BD ⊥ (SAD).
Câu 6.
Để tìm tập xác định của hàm số , ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong dấu logarit phải lớn hơn 0.
Bước 1: Xác định điều kiện của biểu thức trong dấu logarit:
Bước 2: Giải bất phương trình:
Bước 3: Kết luận tập xác định:
Tập xác định của hàm số là .
Vậy đáp án đúng là:
Câu 7.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rằng giới hạn đã cho là định nghĩa của đạo hàm của hàm số tại điểm . Cụ thể, theo định nghĩa đạo hàm:
Trong bài toán, ta đã biết rằng:
Do đó, theo định nghĩa đạo hàm, ta có:
Vậy đáp án đúng là:
Đáp án:
Câu 8.
Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', các mặt phẳng của nó đều vuông góc với nhau. Ta sẽ kiểm tra từng mặt phẳng để xác định mặt phẳng nào vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
1. Mặt phẳng (ABC'D'):
- Mặt phẳng này bao gồm các điểm A, B, C' và D'.
- Vì C' nằm trên cạnh AA' và D' nằm trên cạnh BB', nên mặt phẳng này không vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
2. Mặt phẳng (CDA'B'):
- Mặt phẳng này bao gồm các điểm C, D, A' và B'.
- Vì A' nằm trên cạnh AA' và B' nằm trên cạnh BB', nên mặt phẳng này không vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
3. Mặt phẳng (AA'C'C):
- Mặt phẳng này bao gồm các điểm A, A', C và C'.
- Vì A' nằm trên cạnh AA' và C' nằm trên cạnh CC', nên mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
4. Mặt phẳng (A'B'C'D'):
- Mặt phẳng này bao gồm các điểm A', B', C' và D'.
- Vì các điểm này đều nằm trên các cạnh vuông góc với mặt phẳng (ABCD), nên mặt phẳng này không vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Từ đó, ta kết luận rằng mặt phẳng (AA'C'C) là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Đáp án đúng là: C. (AA'C'C).
Câu 9.
Để tìm đạo hàm của hàm số , ta áp dụng công thức đạo hàm từng hạng tử.
1. Đạo hàm của :
2. Đạo hàm của :
3. Đạo hàm của :
4. Đạo hàm của hằng số 2025:
Gộp lại ta có đạo hàm của hàm số:
Vậy đáp án đúng là: