giải bài tập trắc nghiệm toán

Câu 11: Để tính tích phân $\int^3_1\frac{x+2}{x}\,dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tách phân thức trong tích phân: \[ \int^3_1 \frac{x+2}{x} \, dx = \int^3_1 \left( \frac{x}{x} + \frac{2}{x} \right) \, dx = \int^3_1 \left( 1 + \frac{2}{x} \right) \, dx \] Bước 2: Tính từng phần của tích phân: \[ \int^3_1 \left( 1 + \frac{2}{x} \right) \, dx = \int^3_1 1 \, dx + \int^3_1 \frac{2}{x} \, dx \] Bước 3: Tính từng tích phân riêng lẻ: \[ \int^3_1 1 \, dx = [x]_1^3 = 3 - 1 = 2 \] \[ \int^3_1 \frac{2}{x} \, dx = 2 \int^3_1 \frac{1}{x} \, dx = 2 [\ln |x|]_1^3 = 2 (\ln 3 - \ln 1) = 2 \ln 3 \] Bước 4: Cộng lại các kết quả: \[ \int^3_1 \frac{x+2}{x} \, dx = 2 + 2 \ln 3 \] So sánh với dạng $a + b \ln c$: \[ 2 + 2 \ln 3 = a + b \ln c \] Ta nhận thấy rằng $a = 2$, $b = 2$, và $c = 3$. Bước 5: Tính tổng $S = a + b + c$: \[ S = 2 + 2 + 3 = 7 \] Vậy đáp án đúng là: C. 7 Câu 12: Để tính $P(B|A)$, ta cần sử dụng công thức xác suất điều kiện và các thông tin đã cho. Trước tiên, ta biết rằng: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] Từ đó suy ra: \[ P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) \] \[ P(A \cap B) = 0,3 \cdot 0,7 = 0,21 \] Tiếp theo, ta sử dụng công thức xác suất điều kiện để tính $P(B|A)$: \[ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \] \[ P(B|A) = \frac{0,21}{0,5} = \frac{21}{50} \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~\frac{21}{50} \] Câu 13. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một để xác định mệnh đề nào là sai. - Mệnh đề A: $\int f(x)dx = F(x) + C$ Đây là định nghĩa của nguyên hàm. Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$, thì $\int f(x)dx = F(x) + C$, trong đó $C$ là hằng số tích phân. Mệnh đề này đúng. - Mệnh đề B: $(\int f(x)dx)' = f(x)$ Theo định lý cơ bản của Calculus, đạo hàm của nguyên hàm của một hàm số lại chính là hàm số ban đầu. Do đó, $(\int f(x)dx)' = f(x)$. Mệnh đề này đúng. - Mệnh đề C: $(\int f(x)dx)' = f'(x)$ Đạo hàm của nguyên hàm của $f(x)$ là $f(x)$, không phải là đạo hàm của $f(x)$. Do đó, $(\int f(x)dx)' = f(x)$, không phải là $f'(x)$. Mệnh đề này sai. - Mệnh đề D: $(\int f(x)dx)' = F'(x)$ Vì $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$, nên đạo hàm của $F(x)$ là $f(x)$. Do đó, $(\int f(x)dx)' = F'(x) = f(x)$. Mệnh đề này đúng. Từ các phân tích trên, chúng ta thấy rằng mệnh đề C là mệnh đề sai. Đáp án: C. Câu 14. Để tính \( I = \int_{0}^{2} f(3x) \, dx \), ta thực hiện phép đổi biến số. Gọi \( u = 3x \). Khi đó, \( du = 3 \, dx \) hoặc \( dx = \frac{1}{3} \, du \). Khi \( x = 0 \), ta có \( u = 3 \cdot 0 = 0 \). Khi \( x = 2 \), ta có \( u = 3 \cdot 2 = 6 \). Do đó, ta có thể viết lại tích phân \( I \) dưới dạng: \[ I = \int_{0}^{2} f(3x) \, dx = \int_{0}^{6} f(u) \cdot \frac{1}{3} \, du = \frac{1}{3} \int_{0}^{6} f(u) \, du. \] Theo đề bài, ta biết rằng: \[ \int_{0}^{6} f(x) \, dx = 12. \] Vậy: \[ I = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4. \] Đáp án đúng là: \( D.~I = 4 \). Câu 15. Để tính quãng đường mà vật đã di chuyển trong khoảng thời gian từ \( t = 0 \) đến \( t = \frac{3\pi}{4} \), ta cần sử dụng công thức tính quãng đường từ vận tốc \( v(t) \): \[ s(t) = \int_{0}^{\frac{3\pi}{4}} |v(t)| \, dt \] Trong đó, \( v(t) = 1 - 2\sin(2t) \). Ta sẽ kiểm tra dấu của \( v(t) \) trên khoảng thời gian từ \( t = 0 \) đến \( t = \frac{3\pi}{4} \): - Khi \( t = 0 \): \[ v(0) = 1 - 2\sin(0) = 1 \] - Khi \( t = \frac{\pi}{4} \): \[ v\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 - 2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 - 2 = -1 \] - Khi \( t = \frac{3\pi}{4} \): \[ v\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 1 - 2\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 1 + 2 = 3 \] Như vậy, \( v(t) \) thay đổi dấu ở \( t = \frac{\pi}{4} \). Do đó, ta cần chia tích phân thành hai phần để tính quãng đường: \[ s(t) = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} |1 - 2\sin(2t)| \, dt + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} |1 - 2\sin(2t)| \, dt \] Trên khoảng \( [0, \frac{\pi}{4}] \), \( 1 - 2\sin(2t) \leq 0 \), nên \( |1 - 2\sin(2t)| = -(1 - 2\sin(2t)) = 2\sin(2t) - 1 \). Trên khoảng \( [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}] \), \( 1 - 2\sin(2t) \geq 0 \), nên \( |1 - 2\sin(2t)| = 1 - 2\sin(2t) \). Do đó, ta có: \[ s(t) = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (2\sin(2t) - 1) \, dt + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} (1 - 2\sin(2t)) \, dt \] Tính từng tích phân riêng lẻ: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (2\sin(2t) - 1) \, dt = \left[ -\cos(2t) - t \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \left( -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{\pi}{4} \right) - \left( -\cos(0) - 0 \right) = 0 - \frac{\pi}{4} + 1 = 1 - \frac{\pi}{4} \] \[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} (1 - 2\sin(2t)) \, dt = \left[ t + \cos(2t) \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} = \left( \frac{3\pi}{4} + \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) \right) - \left( \frac{\pi}{4} + \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) \right) = \frac{3\pi}{4} + 0 - \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \] Vậy tổng quãng đường là: \[ s(t) = \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right) + \frac{\pi}{2} = 1 - \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{4} = 1 + \frac{\pi}{4} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~s(t) = \int_{0}^{\frac{3\pi}{4}} (1 - 2\sin(2t)) \, dt \] Đáp án: A. Câu 16. Để tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng D quanh trục hoành, ta áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay. Hình phẳng D được giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = f(x) \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = a \) và \( x = b \) (với \( a < b \)). Khi quay hình phẳng này quanh trục hoành, ta sẽ tạo thành một khối tròn xoay. Thể tích \( V \) của khối tròn xoay này được tính theo công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Lập luận từng bước: 1. Xác định hình phẳng D: Hình phẳng D được giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = f(x) \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = a \) và \( x = b \). 2. Quay hình phẳng D quanh trục hoành: Khi quay hình phẳng này quanh trục hoành, mỗi phần tử diện tích của D sẽ tạo thành một phần tử thể tích của khối tròn xoay. 3. Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay: Công thức thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = f(x) \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = a \) và \( x = b \) quanh trục hoành là: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Câu 17. Mặt phẳng $(\alpha)$ có dạng $\frac{x}{-2} + \frac{y}{-1} + \frac{z}{3} = 1$. Ta viết lại phương trình này dưới dạng tổng quát: \[ -\frac{1}{2}x - y + \frac{1}{3}z = 1 \] Nhân cả hai vế với 6 để loại bỏ các phân số: \[ -3x - 6y + 2z = 6 \] Phương trình tổng quát của mặt phẳng là $Ax + By + Cz + D = 0$, trong đó $(A, B, C)$ là các hệ số của $x, y, z$ tương ứng. Từ phương trình trên, ta nhận thấy rằng: \[ A = -3, \quad B = -6, \quad C = 2 \] Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là $\overrightarrow{n} = (-3, -6, 2)$. So sánh với các đáp án đã cho: - A. $\overrightarrow{n} = (3, 6, -2)$ - B. $\overrightarrow{n} = (2, -1, 3)$ - C. $\overrightarrow{n} = (-3, -6, -2)$ - D. $\overrightarrow{n} = (-2, -1, 3)$ Ta thấy rằng $\overrightarrow{n} = (-3, -6, 2)$ khớp với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$. Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{D.~\overrightarrow{n} = (-2, -1, 3)} \]