giải chi tiết giúp mình Câu 1. Cho hàm số $f(x)=\frac12x^2+x-6\ln(x+2)$,a) Đạo hàm của hàm số là $f^\prime(x)=x+1-\frac6{x+2}.$,b) Trên đoạn $[-1;2],$ phương trình $f^\prime(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt.,$c)~f(-1)=-\frac12$ và $f(2)=4-12\ln2$,d) Giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $[-1;2]$ lớn hơn -5 .

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 1.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài.

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số
Hàm số đã cho là:
$$ f(x) = \frac{1}{2}x^2 + x - 6 \ln(x + 2) $$

Đạo hàm của hàm số này là:
$$ f&#x27;(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^2 + x - 6 \ln(x + 2)\right) $$
$$ f&#x27;(x) = \frac{1}{2} \cdot 2x + 1 - 6 \cdot \frac{1}{x + 2} $$
$$ f&#x27;(x) = x + 1 - \frac{6}{x + 2} $$

Bước 2: Xét phương trình đạo hàm bằng 0 trên đoạn [-1; 2]
Phương trình đạo hàm bằng 0:
$$ f&#x27;(x) = x + 1 - \frac{6}{x + 2} = 0 $$

Nhân cả hai vế với $x + 2$ để loại bỏ mẫu số:
$$ (x + 1)(x + 2) - 6 = 0 $$
$$ x^2 + 3x + 2 - 6 = 0 $$
$$ x^2 + 3x - 4 = 0 $$

Giải phương trình bậc hai:
$$ x^2 + 3x - 4 = 0 $$
$$ (x + 4)(x - 1) = 0 $$

Các nghiệm của phương trình là:
$$ x = -4 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 $$

Tuy nhiên, chỉ có $x = 1$ nằm trong đoạn $[-1; 2]$.

Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và điểm cực trị
- Tại $x = -1$:
$$ f(-1) = \frac{1}{2}(-1)^2 + (-1) - 6 \ln(-1 + 2) $$
$$ f(-1) = \frac{1}{2} - 1 - 6 \ln(1) $$
$$ f(-1) = \frac{1}{2} - 1 - 0 $$
$$ f(-1) = -\frac{1}{2} $$

- Tại $x = 1$:
$$ f(1) = \frac{1}{2}(1)^2 + 1 - 6 \ln(1 + 2) $$
$$ f(1) = \frac{1}{2} + 1 - 6 \ln(3) $$
$$ f(1) = \frac{3}{2} - 6 \ln(3) $$

- Tại $x = 2$:
$$ f(2) = \frac{1}{2}(2)^2 + 2 - 6 \ln(2 + 2) $$
$$ f(2) = \frac{1}{2} \cdot 4 + 2 - 6 \ln(4) $$
$$ f(2) = 2 + 2 - 6 \ln(4) $$
$$ f(2) = 4 - 6 \ln(4) $$
$$ f(2) = 4 - 12 \ln(2) $$

Bước 4: So sánh các giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất
Ta có các giá trị:
$$ f(-1) = -\frac{1}{2} $$
$$ f(1) = \frac{3}{2} - 6 \ln(3) $$
$$ f(2) = 4 - 12 \ln(2) $$

So sánh các giá trị này:
- $ -\frac{1}{2} \approx -0.5 $
- $ \frac{3}{2} - 6 \ln(3) \approx 1.5 - 6 \cdot 1.0986 \approx 1.5 - 6.5916 \approx -5.0916 $
- $ 4 - 12 \ln(2) \approx 4 - 12 \cdot 0.6931 \approx 4 - 8.3172 \approx -4.3172 $

Trong các giá trị trên, giá trị nhỏ nhất là $ f(1) \approx -5.0916 $.

Kết luận
Giá trị nhỏ nhất của $ f(x) $ trên đoạn $[-1; 2]$ là $ f(1) = \frac{3}{2} - 6 \ln(3) $, và nó lớn hơn -5.

Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của $ f(x) $ trên đoạn $[-1; 2]$ là $ \frac{3}{2} - 6 \ln(3) $.