giải giúp e câu 4 phần trắc nghiệm trả lời ngắn ạ Câu 4. Trong hệ trục Oxyz, cho mặt cầu $(S):~(x-4)^2+(y-2)^2+(z-5)^2=47$ và mặt phẳng,$(P):~-5x-y+4z+4=0.$ Mặt cầu (S) cắt mặt phẳng $(P):~-5x-y+4z+4=0$ theo một,đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười),KQ: $Tâm~I(4,2,5)$,,$d(I,(P))=\frac{|4.(-i)+2.-1+4.5|}{\sqrt{5^2+1^2+4^2}}$,$=\frac{\sqrt{42}}{21}$ Trang 3,DỀ ÔN TẬP CƠ BẢN

Question

giải giúp e câu 4 phần trắc nghiệm trả lời ngắn ạ Câu 4. Trong hệ trục Oxyz, cho mặt cầu $(S):~(x-4)^2+(y-2)^2+(z-5)^2=47$ và mặt phẳng,$(P):~-5x-y+4z+4=0.$ Mặt cầu (S) cắt mặt phẳng $(P):~-5x-y+4z+4=0$ theo một,đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười),KQ: $Tâm~I(4,2,5)$,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/08c41f054a21415296b6ed50b41051c0.jpg />,$d(I,(P))=\frac{|4.(-i)+2.-1+4.5|}{\sqrt{5^2+1^2+4^2}}$,$=\frac{\sqrt{42}}{21}$ Trang 3,DỀ ÔN TẬP CƠ BẢN

Accepted Answer

Câu 4.
Để tìm bán kính của đường tròn giao giữa mặt cầu $(S)$ và mặt phẳng $(P)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu:
   Mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x-4)^2 + (y-2)^2 + (z-5)^2 = 47$. 
   - Tâm của mặt cầu là $I(4, 2, 5)$.
   - Bán kính của mặt cầu là $\sqrt{47}$.

2. Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng:
   Mặt phẳng $(P)$ có phương trình $-5x - y + 4z + 4 = 0$.
   Khoảng cách từ điểm $I(4, 2, 5)$ đến mặt phẳng $(P)$ được tính bằng công thức:
   $$
   d(I, (P)) = \frac{|-5 \cdot 4 - 1 \cdot 2 + 4 \cdot 5 + 4|}{\sqrt{(-5)^2 + (-1)^2 + 4^2}}
   $$
   Thay các giá trị vào công thức:
   $$
   d(I, (P)) = \frac{|-20 - 2 + 20 + 4|}{\sqrt{25 + 1 + 16}} = \frac{|2|}{\sqrt{42}} = \frac{2}{\sqrt{42}} = \frac{2\sqrt{42}}{42} = \frac{\sqrt{42}}{21}
   $$

3. Áp dụng công thức tính bán kính của đường tròn giao:
   Bán kính của đường tròn giao giữa mặt cầu và mặt phẳng được tính bằng công thức:
   $$
   r = \sqrt{R^2 - d^2}
   $$
   Trong đó, $R$ là bán kính của mặt cầu và $d$ là khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng.
   $$
   R = \sqrt{47}, \quad d = \frac{\sqrt{42}}{21}
   $$
   Thay các giá trị vào công thức:
   $$
   r = \sqrt{(\sqrt{47})^2 - \left(\frac{\sqrt{42}}{21}\right)^2} = \sqrt{47 - \frac{42}{441}} = \sqrt{47 - \frac{2}{21}} = \sqrt{47 - 0.0952} \approx \sqrt{46.9048} \approx 6.8
   $$

Vậy bán kính của đường tròn giao giữa mặt cầu $(S)$ và mặt phẳng $(P)$ là khoảng 6.8 (làm tròn đến hàng phần mười).