Giải giúp toiii

Câu 1: Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \log x \), chúng ta cần đảm bảo rằng đối số của hàm logarit phải dương. Hàm số \( y = \log x \) được xác định khi: \[ x > 0 \] Do đó, tập xác định của hàm số \( y = \log x \) là: \[ (0; +\infty) \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~(0; +\infty) \] Câu 2: Để giải phương trình $(\frac{1}{5})^{x^2 - 2x - 3} = 5^{x + 1}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chuyển đổi cơ số của cả hai vế về cùng một cơ số: \[ (\frac{1}{5})^{x^2 - 2x - 3} = 5^{-(x^2 - 2x - 3)} \] Do đó, phương trình trở thành: \[ 5^{-(x^2 - 2x - 3)} = 5^{x + 1} \] Bước 2: Vì hai lũy thừa có cùng cơ số, ta so sánh các mũ của chúng: \[ -(x^2 - 2x - 3) = x + 1 \] Bước 3: Giải phương trình bậc hai: \[ -x^2 + 2x + 3 = x + 1 \] \[ -x^2 + 2x + 3 - x - 1 = 0 \] \[ -x^2 + x + 2 = 0 \] Nhân cả hai vế với -1 để đơn giản hóa: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Bước 4: Tìm nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Ta sử dụng phương pháp phân tích: \[ (x - 2)(x + 1) = 0 \] Vậy: \[ x - 2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 1 = 0 \] \[ x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 2 \) hoặc \( x = -1 \). Đáp án đúng là: \( A.~x = -1; x = 2 \). Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rằng giới hạn đã cho là định nghĩa của đạo hàm của hàm số \( f(x) \) tại điểm \( x = 3 \). Cụ thể, theo định nghĩa đạo hàm: \[ f'(3) = \lim_{x \to 3} \frac{f(x) - f(3)}{x - 3} \] Trong bài toán, ta đã biết: \[ \lim_{x \to 3} \frac{f(x) - f(3)}{x - 3} = 7 \] Do đó, theo định nghĩa trên, ta có: \[ f'(3) = 7 \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~f^\prime(3)=7. \] Câu 4: Để tìm góc giữa SC và mặt phẳng (ABC), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng (ABC): - Vì \( SA \perp (ABC) \), nên \( A \) là điểm trực tâm của tam giác SBC khi hạ đường cao từ \( S \) xuống \( BC \). 2. Tìm giao điểm của đường cao từ S với mặt phẳng (ABC): - Gọi \( H \) là trung điểm của \( BC \) (vì tam giác ABC đều, \( H \) cũng là chân đường cao từ \( A \) đến \( BC \)). - Đường thẳng \( SH \) sẽ vuông góc với \( BC \) và nằm trong mặt phẳng (SBC). 3. Tính khoảng cách từ S đến H: - Vì \( SA = a \) và \( SA \perp (ABC) \), ta có \( SH \) là đường cao của tam giác SBC. - Tam giác ABC đều cạnh \( a \), nên \( AH = \frac{\sqrt{3}}{2}a \). - \( SH = SA = a \). 4. Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABC): - Góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) chính là góc giữa SC và SH. - Trong tam giác SBC, \( SH \) là đường cao hạ từ \( S \) xuống \( BC \), và \( SH = a \). - \( SC \) là cạnh huyền của tam giác SBC, do đó \( SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} \). 5. Áp dụng công thức tính góc trong tam giác: - Ta có \( \sin(\angle SCH) = \frac{SH}{SC} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \). - Vậy \( \angle SCH = 45^\circ \). Do đó, góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) là \( 45^\circ \). Đáp án đúng là: A. 45^\circ. Câu 5: Để tính đạo hàm của hàm số \( y = x^3 + 2x + 1 \), ta áp dụng công thức đạo hàm của tổng và công thức đạo hàm của lũy thừa. 1. Đạo hàm của \( x^3 \): \[ \left( x^3 \right)' = 3x^2 \] 2. Đạo hàm của \( 2x \): \[ \left( 2x \right)' = 2 \] 3. Đạo hàm của hằng số 1: \[ \left( 1 \right)' = 0 \] Gộp lại theo công thức đạo hàm của tổng, ta có: \[ y' = \left( x^3 + 2x + 1 \right)' = 3x^2 + 2 + 0 = 3x^2 + 2 \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~y^\prime=3x^2+2. \] Câu 6: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định khẳng định nào là sai. 1. Khẳng định A: $(SBC) \perp (SAB)$ - Ta cần kiểm tra xem mặt phẳng $(SBC)$ có vuông góc với mặt phẳng $(SAB)$ hay không. - Vì $SA \perp (ABCD)$ nên $SA \perp AB$ và $SA \perp BC$. - Mặt khác, $AB \perp BC$ vì ABCD là hình vuông. - Do đó, $SA$ là đường thẳng chung vuông góc với cả hai đường thẳng $AB$ và $BC$, suy ra $(SBC) \perp (SAB)$. - Vậy khẳng định A là đúng. 2. Khẳng định B: $(SAB) \perp (ABCD)$ - Vì $SA \perp (ABCD)$ nên mặt phẳng $(SAB)$ chứa đường thẳng $SA$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. - Vậy khẳng định B là đúng. 3. Khẳng định C: $(SAC) \perp (ABCD)$ - Vì $SA \perp (ABCD)$ nên mặt phẳng $(SAC)$ chứa đường thẳng $SA$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. - Vậy khẳng định C là đúng. 4. Khẳng định D: $(SAC) \perp (SAD)$ - Ta cần kiểm tra xem mặt phẳng $(SAC)$ có vuông góc với mặt phẳng $(SAD)$ hay không. - Vì $SA \perp (ABCD)$ nên $SA \perp AC$ và $SA \perp AD$. - Tuy nhiên, $AC$ và $AD$ không vuông góc với nhau trong mặt phẳng $(ABCD)$ (vì ABCD là hình vuông, $AC$ và $AD$ tạo thành góc 45°). - Do đó, $(SAC)$ không vuông góc với $(SAD)$. - Vậy khẳng định D là sai. Kết luận: Khẳng định sai là D. $(SAC) \perp (SAD)$. Câu 7: Trước tiên, ta cần hiểu rằng góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng nằm trong mỗi mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó. Trong hình chóp S.ABC, đáy là tam giác ABC với góc vuông tại B, và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là đường thẳng BC. Ta cần tìm góc giữa hai đường thẳng nằm trong mỗi mặt phẳng và vuông góc với BC. - Trong mặt phẳng (SBC), đường thẳng SB vuông góc với BC vì tam giác SBC có SB là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy BC. - Trong mặt phẳng (ABC), đường thẳng AB vuông góc với BC vì tam giác ABC có góc vuông tại B. Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc giữa SB và AB, tức là góc SBA. Vậy đáp án đúng là: B. SBA. Câu 8: Để giải bất phương trình $\log_{\frac12}(x+1)< \log_{\frac12}(2x-1)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Để các biểu thức logarit có nghĩa, ta cần: \[ x + 1 > 0 \quad \text{và} \quad 2x - 1 > 0 \] Giải các bất phương trình này: \[ x > -1 \] \[ 2x > 1 \Rightarrow x > \frac{1}{2} \] Vậy ĐKXĐ là: \[ x > \frac{1}{2} \] Bước 2: So sánh các biểu thức logarit Ta có: \[ \log_{\frac12}(x+1) < \log_{\frac12}(2x-1) \] Vì cơ số của logarit là $\frac{1}{2}$ (nhỏ hơn 1), nên khi so sánh hai biểu thức logarit, ta sẽ đảo ngược dấu bất phương trình: \[ x + 1 > 2x - 1 \] Bước 3: Giải bất phương trình Giải bất phương trình: \[ x + 1 > 2x - 1 \] \[ 1 + 1 > 2x - x \] \[ 2 > x \] \[ x < 2 \] Bước 4: Kết hợp điều kiện xác định Từ ĐKXĐ và kết quả vừa tìm được, ta có: \[ \frac{1}{2} < x < 2 \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ S = \left( \frac{1}{2}, 2 \right) \] Đáp án đúng là: \[ B.~S=\left(\frac{1}{2};2\right) \] Câu 9: Để tìm vận tốc của vật tại thời điểm \( t = 4 \) giây, ta cần tính đạo hàm của hàm số \( s(t) \) để tìm được hàm vận tốc \( v(t) \). Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( s(t) \): \[ s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t \] Tính đạo hàm: \[ v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - 6t^2 + 9t) \] \[ v(t) = 3t^2 - 12t + 9 \] Bước 2: Thay \( t = 4 \) vào hàm vận tốc \( v(t) \): \[ v(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 9 \] \[ v(4) = 3 \cdot 16 - 12 \cdot 4 + 9 \] \[ v(4) = 48 - 48 + 9 \] \[ v(4) = 9 \] Vậy vận tốc của vật tại thời điểm \( t = 4 \) giây là 9 m/s. Đáp án đúng là: D. 9 m/s. Câu 10: Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$ tại giao điểm với đường thẳng $y = -2$, chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng $y = -2$. Ta thay $y = -2$ vào phương trình hàm số: \[ x^3 - 3x^2 + 2 = -2 \] \[ x^3 - 3x^2 + 4 = 0 \] Ta thử nghiệm các giá trị nguyên để tìm nghiệm của phương trình này: - Thử $x = 1$: $1^3 - 3(1)^2 + 4 = 1 - 3 + 4 = 2 \neq 0$ - Thử $x = 2$: $2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$ Vậy $x = 2$ là một nghiệm của phương trình. Ta thực hiện phép chia đa thức để tìm các nghiệm còn lại: \[ x^3 - 3x^2 + 4 = (x - 2)(x^2 - x - 2) \] \[ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) \] Do đó, phương trình $x^3 - 3x^2 + 4 = 0$ có các nghiệm là $x = 2$ và $x = -1$. Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số để tìm hệ số góc của tiếp tuyến. \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2) = 3x^2 - 6x \] Bước 3: Tính hệ số góc của tiếp tuyến tại các điểm giao. - Tại điểm $(2, -2)$: \[ y'(2) = 3(2)^2 - 6(2) = 12 - 12 = 0 \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(2, -2)$ là: \[ y - (-2) = 0(x - 2) \] \[ y = -2 \] - Tại điểm $(-1, -2)$: \[ y'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(-1, -2)$ là: \[ y - (-2) = 9(x - (-1)) \] \[ y + 2 = 9(x + 1) \] \[ y = 9x + 9 - 2 \] \[ y = 9x + 7 \] Kết luận: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với đường thẳng $y = -2$ là $y = 9x + 7$ và $y = -2$. Đáp án đúng là: C. $y = 9x + 7; y = -2$. Câu 11: Để tính thể tích của khối chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích đáy ABCD: Đáy ABCD là hình chữ nhật với \( AB = a \) và \( AD = 2a \). Diện tích đáy \( S_{ABCD} \) là: \[ S_{ABCD} = AB \times AD = a \times 2a = 2a^2 \] 2. Xác định chiều cao SA: Chiều cao SA của chóp S.ABCD là \( SA = a\sqrt{3} \). 3. Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp: Thể tích \( V \) của khối chóp S.ABCD được tính bằng công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SA \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times 2a^2 \times a\sqrt{3} = \frac{2a^3\sqrt{3}}{3} \] Vậy thể tích của khối chóp S.ABCD là: \[ \boxed{\frac{2\sqrt{3}a^3}{3}} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~\frac{2\sqrt{3}a^3}{3} \] Câu 12: Để tính xác suất chọn được hai bạn có cùng giới tính, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tổng số cách chọn 2 học sinh từ 45 học sinh: Số cách chọn 2 học sinh từ 45 học sinh là: \[ C_{45}^2 = \frac{45 \times 44}{2} = 990 \] 2. Tìm số cách chọn 2 học sinh nam từ 25 học sinh nam: Số cách chọn 2 học sinh nam từ 25 học sinh nam là: \[ C_{25}^2 = \frac{25 \times 24}{2} = 300 \] 3. Tìm số cách chọn 2 học sinh nữ từ 20 học sinh nữ: Số cách chọn 2 học sinh nữ từ 20 học sinh nữ là: \[ C_{20}^2 = \frac{20 \times 19}{2} = 190 \] 4. Tổng số cách chọn 2 học sinh có cùng giới tính: Tổng số cách chọn 2 học sinh có cùng giới tính là: \[ 300 + 190 = 490 \] 5. Tính xác suất chọn được 2 học sinh có cùng giới tính: Xác suất chọn được 2 học sinh có cùng giới tính là: \[ P = \frac{490}{990} = \frac{49}{99} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{49}{99}} \] Câu 1: a) Vì \(SA \perp (ABCD)\) nên \(SA \perp CD\). Mặt khác, \(AD \perp CD\) (vì đáy là hình vuông). Do đó, góc giữa \(CD\) và \(SA\) là góc giữa hai đường thẳng vuông góc với nhau, tức là \(45^\circ\). Vậy khẳng định a) là đúng. b) Vì \(AD \subset (ABCD)\) và \(SA \perp (ABCD)\), nên \(AD \perp SA\). Mặt khác, \(AD \perp AB\) (vì đáy là hình vuông). Do đó, \(AD \perp (SAB)\). Vậy khẳng định b) là đúng. c) Gọi \(O\) là trung điểm của \(AB\). Ta có \(SO \perp (ABCD)\) (vì \(SA \perp (ABCD)\) và \(O\) là trung điểm của \(AB\)). Do đó, góc giữa \(SC\) và mặt phẳng đáy \((ABCD)\) là góc \(SCO\). Ta có: \[ SO = SA = 2a \] \[ OC = \sqrt{OA^2 + AC^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2} \] Ta tính \(\tan \angle SCO\): \[ \tan \angle SCO = \frac{SO}{OC} = \frac{2a}{\frac{a\sqrt{5}}{2}} = \frac{4a}{a\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5} \] Do đó, góc \(SCO\) không bằng \(45^\circ\). Vậy khẳng định c) là sai. d) Gọi \(H\) là chân đường cao hạ từ \(A\) xuống \(SD\). Ta có \(AH \perp SD\) (vì \(SA \perp (ABCD)\) và \(AD \perp SD\)). Do đó, góc giữa hai mặt phẳng \(SAD\) và \(SAB\) là góc giữa hai đường thẳng \(AH\) và \(AB\). Ta có: \[ AH = AD = a \] \[ SH = SA = 2a \] Ta tính \(\cos \angle SHA\): \[ \cos \angle SHA = \frac{AH}{SH} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2} \] Do đó, góc \(SHA\) bằng \(60^\circ\). Vậy số đo của góc nhị diện \([B,SA,D]\) không bằng \(90^\circ\). Vậy khẳng định d) là sai. Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.