Giúp tôi nhé

Câu 12: Để tìm $P(B|A)$, ta sử dụng công thức xác suất điều kiện: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] \[ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \] Trước tiên, ta tính $P(A \cap B)$ từ công thức xác suất điều kiện đã cho: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] \[ 0,5 = \frac{P(A \cap B)}{0,6} \] \[ P(A \cap B) = 0,5 \times 0,6 = 0,3 \] Bây giờ, ta tính $P(B|A)$: \[ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \] \[ P(B|A) = \frac{0,3}{0,4} = \frac{3}{4} \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~\frac{3}{4} \] Câu 1: a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là $\overrightarrow{AB} = (3-1; 4-2; -3-1) = (2; 2; -4)$. Ta thấy rằng $\overrightarrow{a} = (1; 1; -2)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB vì $\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{a}$. b) Để kiểm tra xem đường thẳng AB và mặt phẳng (P) có cắt nhau tại B hay không, ta thay tọa độ của B vào phương trình của mặt phẳng (P): \[ 3 + 2 \cdot 4 + 2 \cdot (-3) + 5 = 3 + 8 - 6 + 5 = 10 \neq 0 \] Do đó, điểm B không thuộc mặt phẳng (P). Vì vậy, đường thẳng AB và mặt phẳng (P) không cắt nhau tại B. c) Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P) được tính bằng công thức: \[ \sin \theta = \frac{|\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{n}|} \] Trong đó, $\overrightarrow{a} = (1; 1; -2)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB và $\overrightarrow{n} = (1; 2; 2)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{n} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 2 = 1 + 2 - 4 = -1 \] Tính độ dài của các vectơ: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \] \[ |\overrightarrow{n}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] Do đó: \[ \sin \theta = \frac{|-1|}{\sqrt{6} \cdot 3} = \frac{1}{3\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{18} \] Góc $\theta$ là: \[ \theta = \arcsin \left( \frac{\sqrt{6}}{18} \right) \approx 10^\circ \] d) Đường thẳng $\Delta$ đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình chính tắc là: \[ \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 1}{2} \] Đáp số: a) $\overrightarrow{a} = (1; 1; -2)$ b) Đường thẳng AB và mặt phẳng (P) không cắt nhau tại B. c) Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P) là khoảng 10°. d) Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ là $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 1}{2}$. Câu 2: a) Xác suất của biến cố $\overline A$ là 0,6. Giải: Xác suất của biến cố $\overline A$ là xác suất của biến cố "Học sinh được chọn là nam". Vì lớp có 40% học sinh là nữ nên 60% học sinh là nam. Vậy xác suất của biến cố $\overline A$ là 0,6. b) Xác suất của biến cố B là 0,52. Giải: Xác suất của biến cố B là xác suất của biến cố "Học sinh được chọn đạt danh hiệu học sinh giỏi". Tỉ lệ học sinh nữ đạt danh hiệu học sinh giỏi là 70%, tức là 0,7. Tỉ lệ học sinh nam đạt danh hiệu học sinh giỏi là 40%, tức là 0,4. Xác suất của biến cố "Học sinh được chọn là nữ và đạt danh hiệu học sinh giỏi" là $0,4 \times 0,7 = 0,28$. Xác suất của biến cố "Học sinh được chọn là nam và đạt danh hiệu học sinh giỏi" là $0,6 \times 0,4 = 0,24$. Vậy xác suất của biến cố B là $0,28 + 0,24 = 0,52$. c) A và B là hai biến cố độc lập. Giải: A và B là hai biến cố độc lập nếu xác suất của biến cố "Học sinh được chọn là nữ và đạt danh hiệu học sinh giỏi" bằng tích của xác suất của biến cố "Học sinh được chọn là nữ" và xác suất của biến cố "Học sinh được chọn đạt danh hiệu học sinh giỏi". Xác suất của biến cố "Học sinh được chọn là nữ và đạt danh hiệu học sinh giỏi" là $0,28$. Xác suất của biến cố "Học sinh được chọn là nữ" là $0,4$. Xác suất của biến cố "Học sinh được chọn đạt danh hiệu học sinh giỏi" là $0,52$. Tích của xác suất của biến cố "Học sinh được chọn là nữ" và xác suất của biến cố "Học sinh được chọn đạt danh hiệu học sinh giỏi" là $0,4 \times 0,52 = 0,208$. Vì $0,28 \neq 0,208$, nên A và B không phải là hai biến cố độc lập. d) Xác suất của biến cố A với điều kiện B là $\frac7{13}$. Giải: Xác suất của biến cố A với điều kiện B là xác suất của biến cố "Học sinh được chọn là nữ" khi biết rằng "Học sinh được chọn đạt danh hiệu học sinh giỏi". Xác suất của biến cố "Học sinh được chọn là nữ và đạt danh hiệu học sinh giỏi" là $0,28$. Xác suất của biến cố "Học sinh được chọn đạt danh hiệu học sinh giỏi" là $0,52$. Vậy xác suất của biến cố A với điều kiện B là $\frac{0,28}{0,52} = \frac{7}{13}$. Câu 1: Để tìm giá trị của biểu thức \( P = 20a - 100b \), chúng ta cần xác định các hệ số \( a \) và \( b \) từ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = e^x - 3\sin x \). Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( f(x) \). Nguyên hàm của \( e^x \) là \( e^x + C_1 \). Nguyên hàm của \( -3\sin x \) là \( 3\cos x + C_2 \). Do đó, nguyên hàm của \( f(x) \) là: \[ F(x) = e^x + 3\cos x + C \] Bước 2: So sánh với họ nguyên hàm đã cho \( F(x) = ae^x + b\cos x + C \). Từ đây, ta thấy rằng: \[ a = 1 \] \[ b = 3 \] Bước 3: Tính giá trị của biểu thức \( P = 20a - 100b \). Thay \( a = 1 \) và \( b = 3 \) vào biểu thức \( P \): \[ P = 20(1) - 100(3) \] \[ P = 20 - 300 \] \[ P = -280 \] Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là \(-280\). Câu 2: Để tìm quãng đường mà ô tô đi được kể từ lúc hãm phanh đến khi dừng, ta cần tính tích phân của tốc độ theo thời gian từ lúc bắt đầu hãm phanh cho đến khi dừng hẳn. Bước 1: Xác định thời điểm dừng của ô tô. - Ô tô dừng hẳn khi tốc độ \( v(t) = 0 \). - Ta có phương trình: \( 30 - 6t = 0 \). - Giải phương trình này: \[ 30 - 6t = 0 \\ 6t = 30 \\ t = 5 \text{ giây} \] Bước 2: Tính quãng đường ô tô đi được trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây. - Quãng đường \( s \) được tính bằng tích phân của tốc độ \( v(t) \) theo thời gian \( t \): \[ s = \int_{0}^{5} v(t) \, dt = \int_{0}^{5} (30 - 6t) \, dt \] Bước 3: Tính tích phân. \[ s = \int_{0}^{5} (30 - 6t) \, dt = \left[ 30t - 3t^2 \right]_{0}^{5} \] - Thay giá trị vào: \[ s = \left[ 30 \cdot 5 - 3 \cdot 5^2 \right] - \left[ 30 \cdot 0 - 3 \cdot 0^2 \right] \\ = \left[ 150 - 75 \right] - [0] \\ = 75 \text{ mét} \] Vậy, kể từ lúc hãm phanh đến khi dừng, ô tô đi được quãng đường là 75 mét. Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm khoảng cách từ điểm \( A \) đến mặt phẳng \( (\alpha) \): - Mặt phẳng \( (\alpha) \) có phương trình: \( x + 2y + 2z - 5 = 0 \). - Điểm \( A \) có tọa độ \( (2, 2, 3) \). Khoảng cách từ điểm \( A \) đến mặt phẳng \( (\alpha) \) được tính bằng công thức: \[ d(A, (\alpha)) = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Thay vào các giá trị: \[ d(A, (\alpha)) = \frac{|2 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 3 - 5|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{|2 + 4 + 6 - 5|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|7|}{3} = \frac{7}{3} \] 2. Tìm phương trình của mặt phẳng \( (B) \): - Mặt phẳng \( (B) \) song song với mặt phẳng \( (\alpha) \), do đó nó có cùng các hệ số \( a, b, c \) nhưng khác \( d \). Ta có phương trình \( x + 2y + 2z + d' = 0 \). Khoảng cách từ điểm \( A \) đến mặt phẳng \( (B) \) là 5. Do đó: \[ d(A, (B)) = \frac{|2 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + d'|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = 5 \] Thay vào các giá trị: \[ \frac{|2 + 4 + 6 + d'|}{3} = 5 \implies |12 + d'| = 15 \] Điều này dẫn đến hai trường hợp: \[ 12 + d' = 15 \quad \text{hoặc} \quad 12 + d' = -15 \] Giải ra: \[ d' = 3 \quad \text{hoặc} \quad d' = -27 \] Vì \( d' \) phải là số thực dương, ta chọn \( d' = 3 \). 3. Tìm giá trị của biểu thức \( S = 2b + 5c - d \): - Từ phương trình \( x + 2y + 2z + 3 = 0 \), ta thấy \( b = 2 \), \( c = 2 \), và \( d = 3 \). Thay vào biểu thức \( S \): \[ S = 2b + 5c - d = 2 \cdot 2 + 5 \cdot 2 - 3 = 4 + 10 - 3 = 11 \] Vậy giá trị của biểu thức \( S \) là \( 11 \). Câu 4: Để tìm giá trị của biểu thức \( P = b^2 + c^2 \), chúng ta cần xác định các giá trị của \( b \) và \( c \) từ phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \( M(1;2;2) \) và vuông góc với mặt phẳng \( (P): 4x + 2y - 8z + 5 = 0 \). Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \( (P) \). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \( (P) \) là \( \vec{n} = (4, 2, -8) \). Bước 2: Đường thẳng đi qua điểm \( M \) và vuông góc với mặt phẳng \( (P) \) sẽ có vectơ chỉ phương là \( \vec{n} \). Do đó, phương trình tham số của đường thẳng có dạng: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 4t \\ y = 2 + 2t \\ z = 2 - 8t \end{array} \right. \] Bước 3: So sánh với phương trình tham số đã cho: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 - 2t \\ y = 2 + bt \\ z = 2 + ct \end{array} \right. \] Ta thấy rằng: \[ 4t = -2t \Rightarrow t = -\frac{1}{2}t \Rightarrow 4 = -2 \text{ (sai)} \] Do đó, ta cần điều chỉnh các hệ số để phù hợp: \[ 4t = -2t \Rightarrow t = -\frac{1}{2}t \Rightarrow 4 = -2 \text{ (sai)} \] Bước 4: So sánh các hệ số tương ứng: \[ 4t = -2t \Rightarrow t = -\frac{1}{2}t \Rightarrow 4 = -2 \text{ (sai)} \] Bước 5: Xác định giá trị của \( b \) và \( c \): \[ 2t = bt \Rightarrow b = 2 \] \[ -8t = ct \Rightarrow c = -8 \] Bước 6: Tính giá trị của biểu thức \( P = b^2 + c^2 \): \[ P = b^2 + c^2 = 2^2 + (-8)^2 = 4 + 64 = 68 \] Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là: \[ \boxed{68} \] Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ tâm I của mặt cầu. 2. Tìm tọa độ điểm J, hình chiếu vuông góc của tâm I trên mặt sân. 3. Tính khoảng cách từ điểm M đến điểm J. Bước 1: Xác định tọa độ tâm I của mặt cầu. Phương trình mặt cầu là $(S):~(x-30)^2+(y-15)^2+(z-15)^2=250$. Tâm của mặt cầu là I(30, 15, 15). Bước 2: Tìm tọa độ điểm J, hình chiếu vuông góc của tâm I trên mặt sân. Mặt sân có phương trình $z=0$. Hình chiếu vuông góc của tâm I trên mặt sân là điểm J có tọa độ (30, 15, 0). Bước 3: Tính khoảng cách từ điểm M đến điểm J. Vì M nằm trên mặt sân nên tọa độ của M có dạng (x, y, 0). Ta cần tìm khoảng cách từ M đến J. Khoảng cách giữa hai điểm M(x, y, 0) và J(30, 15, 0) là: \[ MJ = \sqrt{(x - 30)^2 + (y - 15)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(x - 30)^2 + (y - 15)^2} \] Do M thuộc mặt cầu, nên tọa độ của M thỏa mãn phương trình mặt cầu: \[ (x - 30)^2 + (y - 15)^2 + (0 - 15)^2 = 250 \] \[ (x - 30)^2 + (y - 15)^2 + 225 = 250 \] \[ (x - 30)^2 + (y - 15)^2 = 25 \] Vậy khoảng cách MJ là: \[ MJ = \sqrt{(x - 30)^2 + (y - 15)^2} = \sqrt{25} = 5 \] Đáp số: Khoảng cách từ vị trí M của quả bóng đến điểm J là 5 mét. Câu 2: Để tính diện tích của cửa, ta cần tính diện tích của hình vuông và diện tích của phần parabol phía trên. 1. Tính diện tích hình vuông: Diện tích hình vuông là: \[ S_{vuông} = a^2 = 8^2 = 64 \text{ m}^2 \] 2. Tính diện tích phần parabol: Ta biết rằng phần parabol nằm trên đỉnh của hình vuông và có chiều cao là \( b = 2 \text{ m} \). Diện tích của một nửa parabol có thể được tính bằng công thức: \[ S_{parabol} = \frac{2}{3} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao} \] Đáy của parabol là \( a = 8 \text{ m} \) và chiều cao là \( b = 2 \text{ m} \): \[ S_{parabol} = \frac{2}{3} \times 8 \times 2 = \frac{2}{3} \times 16 = \frac{32}{3} \approx 10.67 \text{ m}^2 \] 3. Tổng diện tích cửa: Tổng diện tích cửa là tổng diện tích của hình vuông và phần parabol: \[ S_{tổng} = S_{vuông} + S_{parabol} = 64 + 10.67 = 74.67 \text{ m}^2 \] 4. Tính số tiền để làm cửa: Số tiền để làm 1 m² cửa là 1 triệu đồng. Vậy số tiền để làm cửa là: \[ \text{Số tiền} = 74.67 \times 1 = 74.67 \text{ triệu đồng} \] Vậy số tiền để làm cửa là 74.67 triệu đồng (làm tròn đến 1 số thập phân sau dấu phẩy). Đáp số: 74.67 triệu đồng. Câu 3: Gọi A là biến cố "Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất là bi đỏ", $\overline{A}$ là biến cố "Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất là bi xanh". Gọi B là biến cố "Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi từ hộp thứ hai là bi đỏ". Ta có: $P(A)=\frac{7}{10}$ $P(\overline{A})=\frac{3}{10}$ $P(B|A)=\frac{C_{9}^{2}}{C_{13}^{2}}=\frac{36}{78}$ $P(B|\overline{A})=\frac{C_{8}^{2}}{C_{13}^{2}}=\frac{28}{78}$ $P(B)=P(A).P(B|A)+P(\overline{A}).P(B|\overline{A})=\frac{7}{10}\times \frac{36}{78}+\frac{3}{10}\times \frac{28}{78}=\frac{168}{390}$ Xác suất cần tìm là $P(A|B)=\frac{P(A).P(B|A)}{P(B)}=\frac{\frac{7}{10}\times \frac{36}{78}}{\frac{168}{390}}=0,7$ Đáp số: 0,7