nhanh ạ em cần gấp C24 : Tìm x,y biết rằng $x^2+y^2+\frac1{x^2}+\frac1{y^2}=4$

Question

Timi · Accepted Answer

Để tìm $ x $ và $ y $ thỏa mãn điều kiện $ x^2 + y^2 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = 4 $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xét biểu thức $ x^2 + \frac{1}{x^2} $ và $ y^2 + \frac{1}{y^2} $.

Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho từng cặp $ x^2 $ và $ \frac{1}{x^2} $, $ y^2 $ và $ \frac{1}{y^2} $:

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
$$ x^2 + \frac{1}{x^2} \geq 2 $$
$$ y^2 + \frac{1}{y^2} \geq 2 $$

Bước 3: Cộng hai bất đẳng thức trên lại:
$$ x^2 + \frac{1}{x^2} + y^2 + \frac{1}{y^2} \geq 2 + 2 = 4 $$

Bước 4: So sánh với điều kiện ban đầu:
$$ x^2 + y^2 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = 4 $$

Do đó, để biểu thức bằng đúng 4, thì các bất đẳng thức phải bằng đúng, tức là:
$$ x^2 + \frac{1}{x^2} = 2 $$
$$ y^2 + \frac{1}{y^2} = 2 $$

Bước 5: Giải phương trình $ x^2 + \frac{1}{x^2} = 2 $:
$$ x^2 + \frac{1}{x^2} = 2 $$
Nhân cả hai vế với $ x^2 $:
$$ x^4 + 1 = 2x^2 $$
$$ x^4 - 2x^2 + 1 = 0 $$
$$ (x^2 - 1)^2 = 0 $$
$$ x^2 - 1 = 0 $$
$$ x^2 = 1 $$
$$ x = 1 \text{ hoặc } x = -1 $$

Tương tự, ta cũng có:
$$ y^2 = 1 $$
$$ y = 1 \text{ hoặc } y = -1 $$

Vậy các giá trị của $ x $ và $ y $ thỏa mãn điều kiện là:
$$ (x, y) = (1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1) $$