giúp mình với

Câu 9. Để xác định khẳng định đúng về đạo hàm của hàm số \( y = f(x) \) tại điểm \( x_0 \), ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn: A. \( f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \) B. \( f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \left( \frac{f(x)}{x} - \frac{f(x_0)}{x_0} \right) \) C. \( f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{x - x_0}{f(x) - f(x_0)} \) D. \( f'(x_0) = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \) Trong đó, định nghĩa chính xác của đạo hàm của hàm số \( y = f(x) \) tại điểm \( x_0 \) là: \[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \] Do đó, khẳng định đúng là: A. \( f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \) Vậy đáp án đúng là: Đáp án: A. \( f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \) Câu 10. Ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định khẳng định nào là đúng. A. $(\sqrt{x})' = \frac{1}{\sqrt{x}}$ - Ta biết rằng đạo hàm của $\sqrt{x}$ là $\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Do đó, khẳng định này sai. B. $(x)' = 0$ - Ta biết rằng đạo hàm của $x$ là $1$. Do đó, khẳng định này sai. C. $\left(\frac{1}{x}\right)' = \frac{1}{x^2}$ - Ta biết rằng đạo hàm của $\frac{1}{x}$ là $-\frac{1}{x^2}$. Do đó, khẳng định này sai. D. $(k.x)' = k$, với $k$ là hằng số - Ta biết rằng đạo hàm của $k.x$ là $k$. Do đó, khẳng định này đúng. Vậy khẳng định đúng là: D. $(k.x)' = k$, với $k$ là hằng số. Câu 11. Để tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{2x}{x-1}$, ta sử dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số. Công thức đạo hàm của thương hai hàm số là: \[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Trong đó: - \( u = 2x \) - \( v = x - 1 \) Bước 1: Tính đạo hàm của \( u \) và \( v \): \[ u' = 2 \] \[ v' = 1 \] Bước 2: Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \left(\frac{2x}{x-1}\right)' = \frac{(2)(x-1) - (2x)(1)}{(x-1)^2} \] Bước 3: Rút gọn biểu thức: \[ y' = \frac{2(x-1) - 2x}{(x-1)^2} \] \[ y' = \frac{2x - 2 - 2x}{(x-1)^2} \] \[ y' = \frac{-2}{(x-1)^2} \] Vậy đạo hàm của hàm số \( y = \frac{2x}{x-1} \) là: \[ y' = \frac{-2}{(x-1)^2} \] Đáp án đúng là: \( C.~y^\prime=\frac{-2}{(x-1)^2}. \) Câu 12. Để tìm hệ thức liên hệ giữa \( y \) và \( y'' \) không phụ thuộc vào \( x \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm \( y' \): \[ y = (x + 2)^{-2} \] Áp dụng công thức đạo hàm của hàm lũy thừa: \[ y' = -2(x + 2)^{-3} \cdot 1 = -2(x + 2)^{-3} \] 2. Tìm đạo hàm \( y'' \): \[ y' = -2(x + 2)^{-3} \] Áp dụng lại công thức đạo hàm của hàm lũy thừa: \[ y'' = -2 \cdot (-3)(x + 2)^{-4} \cdot 1 = 6(x + 2)^{-4} \] 3. Tìm hệ thức liên hệ giữa \( y \) và \( y'' \): Ta có: \[ y = (x + 2)^{-2} \] \[ y'' = 6(x + 2)^{-4} \] Để tìm hệ thức liên hệ không phụ thuộc vào \( x \), ta nhân cả hai vế của \( y \) với 6: \[ 6y = 6(x + 2)^{-2} \] So sánh với \( y'' \): \[ y'' = 6(x + 2)^{-4} \] Ta thấy rằng: \[ y'' = 6(x + 2)^{-4} = 6 \left( (x + 2)^{-2} \right)^2 = 6y^2 \] Vậy hệ thức liên hệ giữa \( y \) và \( y'' \) là: \[ y'' - 6y^2 = 0 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~y^{\prime\prime} - 6y^2 = 0 \] Câu 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Bước 1: Xác định các biến cố - Biến cố \( A \): "Rút được một thẻ đánh số chẵn và một thẻ đánh số lẻ". - Biến cố \( B \): "Rút được hai thẻ đều đánh số chẵn". Bước 2: Xác định các biến cố liên quan - Biến cố "Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn": Để tích của hai số là số chẵn, ít nhất một trong hai số phải là số chẵn. Do đó, biến cố này bao gồm cả các trường hợp rút được một thẻ chẵn và một thẻ lẻ (biến cố \( A \)) và cả các trường hợp rút được hai thẻ đều chẵn (biến cố \( B \)). Vậy biến cố này là \( A \cup B \). Bước 3: Tính xác suất của các biến cố - Tổng số cách rút 2 thẻ từ 20 thẻ là: \[ \binom{20}{2} = \frac{20 \times 19}{2} = 190 \] - Số thẻ chẵn là 10 (từ 2, 4, 6, ..., 20). - Số thẻ lẻ là 10 (từ 1, 3, 5, ..., 19). Xác suất của biến cố \( A \): - Số cách rút một thẻ chẵn và một thẻ lẻ là: \[ 10 \times 10 = 100 \] - Xác suất của biến cố \( A \) là: \[ P(A) = \frac{100}{190} = \frac{10}{19} \] Xác suất của biến cố \( B \): - Số cách rút hai thẻ đều chẵn là: \[ \binom{10}{2} = \frac{10 \times 9}{2} = 45 \] - Xác suất của biến cố \( B \) là: \[ P(B) = \frac{45}{190} = \frac{9}{38} \] Bước 4: Kiểm tra các phát biểu a) Biến cố "Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn" là \( A \cup B \). Đúng vì đã chứng minh ở trên. b) \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \). Đúng vì \( A \) và \( B \) là hai biến cố không giao nhau. c) \( P(A) < P(B) \). Sai vì \( P(A) = \frac{10}{19} \approx 0.526 \) và \( P(B) = \frac{9}{38} \approx 0.237 \). d) Xác suất để kết quả nhận được là một số chẵn là: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{10}{19} + \frac{9}{38} = \frac{20}{38} + \frac{9}{38} = \frac{29}{38} \] Suy ra phát biểu này sai vì \(\frac{29}{38} \neq \frac{461}{722}\). Kết luận Các phát biểu đúng là: a) Biến cố "Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn" là \( A \cup B \). b) \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \). Đáp án: a) và b). Câu 2. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên tính chất và đạo hàm của hàm số $y = f(x) = \sin 2x$. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số Hàm số $y = \sin 2x$, ta có: \[ y' = \frac{d}{dx}(\sin 2x) = 2 \cos 2x \] Bước 2: Kiểm tra từng mệnh đề Mệnh đề a) $y'(0) = 2$ - Thay $x = 0$ vào đạo hàm $y'$: \[ y'(0) = 2 \cos (2 \cdot 0) = 2 \cos 0 = 2 \cdot 1 = 2 \] Vậy mệnh đề a) là đúng. Mệnh đề b) $4y + y'' = 0$ - Tính đạo hàm thứ hai của hàm số: \[ y'' = \frac{d}{dx}(2 \cos 2x) = -4 \sin 2x \] - Thay vào phương trình $4y + y''$: \[ 4y + y'' = 4 \sin 2x + (-4 \sin 2x) = 0 \] Vậy mệnh đề b) là đúng. Mệnh đề c) Có 4 giá trị nguyên của tham số m để phương trình $y' = m$ có nghiệm - Phương trình $y' = m$ trở thành: \[ 2 \cos 2x = m \] - Biến đổi phương trình: \[ \cos 2x = \frac{m}{2} \] - Để phương trình $\cos 2x = \frac{m}{2}$ có nghiệm, $\frac{m}{2}$ phải nằm trong khoảng [-1, 1]: \[ -1 \leq \frac{m}{2} \leq 1 \] \[ -2 \leq m \leq 2 \] - Các giá trị nguyên của $m$ trong khoảng này là: $-2, -1, 0, 1, 2$. Như vậy có 5 giá trị nguyên của $m$. Vậy mệnh đề c) là sai. Mệnh đề d) $yy' + y'' \cos 2x = 0$ - Thay $y$, $y'$ và $y''$ vào phương trình: \[ yy' + y'' \cos 2x = (\sin 2x)(2 \cos 2x) + (-4 \sin 2x) \cos 2x \] \[ = 2 \sin 2x \cos 2x - 4 \sin 2x \cos 2x \] \[ = -2 \sin 2x \cos 2x \] \[ = -\sin 4x \neq 0 \] Vậy mệnh đề d) là sai. Kết luận: - Mệnh đề a) là đúng. - Mệnh đề b) là đúng. - Mệnh đề c) là sai. - Mệnh đề d) là sai.