trả lời và giải thích dùm e với ạ

Câu 1: Ta có: \[ \sqrt[4]{a^5} = (a^5)^{\frac{1}{4}} = a^{5 \cdot \frac{1}{4}} = a^{\frac{5}{4}} \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~a^{\frac{5}{4}} \] Câu 2: Để tìm tập xác định của hàm số $y=\log_2(3-x)+(x-1)~\pi$, ta cần đảm bảo rằng các thành phần trong hàm số đều có nghĩa. 1. Xét phần $\log_2(3-x)$: - Để $\log_2(3-x)$ có nghĩa, ta cần $3-x > 0$. - Giải bất phương trình này: \[ 3 - x > 0 \implies x < 3 \] 2. Xét phần $(x-1)~\pi$: - Phần này luôn có nghĩa với mọi giá trị của $x$ vì nó là một đa thức. Do đó, tập xác định của hàm số $y=\log_2(3-x)+(x-1)~\pi$ là tất cả các giá trị $x$ sao cho $x < 3$. Vậy tập xác định của hàm số là $(-\infty; 3)$. Đáp án đúng là: $A.~(-\infty;3)\setminus\{1\}.$ Tuy nhiên, vì phần $(x-1)~\pi$ không giới hạn thêm bất kỳ điều kiện nào khác, nên tập xác định chính xác là $(-\infty; 3)$. Câu 3: Để giải phương trình $3^{x^2-2x-5} = 27$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Phương trình đã cho là phương trình mũ, do đó không cần xác định thêm điều kiện nào khác. Bước 2: Chuyển về cùng cơ số Ta nhận thấy rằng $27 = 3^3$. Do đó, phương trình trở thành: \[ 3^{x^2-2x-5} = 3^3 \] Bước 3: So sánh các mũ Vì hai vế có cùng cơ số, ta so sánh các mũ: \[ x^2 - 2x - 5 = 3 \] Bước 4: Giải phương trình bậc hai Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để giải phương trình bậc hai: \[ x^2 - 2x - 5 - 3 = 0 \] \[ x^2 - 2x - 8 = 0 \] Bước 5: Tìm nghiệm của phương trình bậc hai Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -8\). Thay vào công thức: \[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm 6}{2} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4 \] \[ x_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2 \] Bước 6: Kiểm tra điều kiện và tính tổng các nghiệm Cả hai nghiệm đều thỏa mãn ĐKXĐ, do đó tổng các nghiệm là: \[ x_1 + x_2 = 4 + (-2) = 2 \] Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 2. Đáp án đúng là: D. 2 Câu 4: Để giải bất phương trình $\log^2_2(2x) - 4\log_2(4x) + 4 < 0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với $\log_2(2x)$, ta cần $2x > 0 \Rightarrow x > 0$. - Đối với $\log_2(4x)$, ta cần $4x > 0 \Rightarrow x > 0$. Vậy ĐKXĐ là $x > 0$. 2. Biến đổi bất phương trình: Ta có: \[ \log^2_2(2x) - 4\log_2(4x) + 4 < 0 \] Biến đổi $\log_2(4x)$: \[ \log_2(4x) = \log_2(4) + \log_2(x) = 2 + \log_2(x) \] Thay vào bất phương trình: \[ \log^2_2(2x) - 4(2 + \log_2(x)) + 4 < 0 \] \[ \log^2_2(2x) - 8 - 4\log_2(x) + 4 < 0 \] \[ \log^2_2(2x) - 4\log_2(x) - 4 < 0 \] 3. Đặt ẩn phụ: Đặt $t = \log_2(x)$, ta có: \[ \log_2(2x) = \log_2(2) + \log_2(x) = 1 + t \] Thay vào bất phương trình: \[ (1 + t)^2 - 4t - 4 < 0 \] \[ 1 + 2t + t^2 - 4t - 4 < 0 \] \[ t^2 - 2t - 3 < 0 \] 4. Giải bất phương trình bậc hai: Ta giải phương trình $t^2 - 2t - 3 = 0$: \[ t^2 - 2t - 3 = (t - 3)(t + 1) = 0 \] Các nghiệm là $t = 3$ và $t = -1$. Bất phương trình $t^2 - 2t - 3 < 0$ có nghiệm trong khoảng $( -1, 3 )$. 5. Quay về biến ban đầu: Ta có: \[ -1 < \log_2(x) < 3 \] Điều này tương đương với: \[ 2^{-1} < x < 2^3 \] \[ \frac{1}{2} < x < 8 \] 6. Tìm các nghiệm nguyên: Các số nguyên thỏa mãn $\frac{1}{2} < x < 8$ là $x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$. Vậy số nghiệm nguyên của bất phương trình là 7. Đáp án đúng là: C. 7. Câu 5: A. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại. - Đây là mệnh đề đúng vì nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng sẽ vuông góc với đường thẳng còn lại do tính chất của đường thẳng song song và đường thẳng vuông góc. B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau. - Đây là mệnh đề sai vì hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng có thể song song với nhau chứ không nhất thiết phải vuông góc với nhau. C. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với đường thẳng còn lại. - Đây là mệnh đề sai vì nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì nó không nhất thiết phải song song với đường thẳng còn lại. Chúng có thể cắt nhau hoặc vuông góc với nhau. D. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. - Đây là mệnh đề đúng vì hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng sẽ song song với nhau do tính chất của đường thẳng vuông góc và đường thẳng song song. Vậy, các mệnh đề đúng là: - A. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại. - D. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. Đáp án: A và D. Câu 6: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần dựa vào các tính chất của hình chóp và các điều kiện đã cho. 1. Điều kiện đã cho: - \( SA \perp AB \) - \( SA \perp AC \) 2. Phân tích từng mệnh đề: - Mệnh đề A: \( SA \perp (SAC) \) - Điều này không đúng vì \( SA \) nằm trong mặt phẳng \( (SAC) \). - Mệnh đề B: \( SA \perp (SBC) \) - Để \( SA \perp (SBC) \), \( SA \) phải vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phằng \( (SBC) \). Tuy nhiên, từ điều kiện đã cho, ta chỉ biết \( SA \perp AB \) và \( SA \perp AC \), không đủ để suy ra \( SA \perp (SBC) \). - Mệnh đề C: \( SA \perp (SAB) \) - Điều này không đúng vì \( SA \) nằm trong mặt phẳng \( (SAB) \). - Mệnh đề D: \( SA \perp (ABC) \) - Để \( SA \perp (ABC) \), \( SA \) phải vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng \( (ABC) \). Từ điều kiện \( SA \perp AB \) và \( SA \perp AC \), ta thấy rằng \( SA \) vuông góc với hai đường thẳng \( AB \) và \( AC \) nằm trong mặt phẳng \( (ABC) \). Do đó, theo tính chất của đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong cùng một mặt phẳng, ta có \( SA \perp (ABC) \). Vậy, mệnh đề đúng là: \[ D.~SA \perp (ABC). \] Câu 7: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định khẳng định nào là sai. 1. Khẳng định A: $(ADH) \perp (ABC)$ - Ta biết rằng $DH$ là đường cao của tứ diện $ABCD$, tức là $DH \perp (ABC)$. - Mặt khác, $AD$ nằm trong mặt phẳng $(ADH)$ và cũng nằm trong mặt phằng $(ACD)$. - Vì $(ACD) \perp (BCD)$ nên $AD \perp BC$. - Do đó, $(ADH) \perp (ABC)$ là đúng. 2. Khẳng định B: $(ADH) \perp (BCD)$ - Ta đã biết $DH \perp (ABC)$, do đó $DH \perp BC$. - Mặt khác, $AD \perp BC$ vì $(ACD) \perp (BCD)$. - Vậy $(ADH) \perp (BCD)$ là đúng. 3. Khẳng định C: $(ABC) \perp (BCD)$ - Ta biết rằng $(ABD) \perp (BCD)$ và $(ACD) \perp (BCD)$. - Tuy nhiên, không có thông tin nào cho thấy $(ABC) \perp (BCD)$. - Do đó, khẳng định này có thể là sai. 4. Khẳng định D: $(ACD) \perp (BCD)$ - Ta đã biết $(ACD) \perp (BCD)$ là đúng theo đề bài. Từ những lập luận trên, khẳng định sai là: \[ \boxed{C} \] Câu 8: Để tính thể tích khối chóp S.ABC, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích đáy ABC: - Đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = a và AC = 2a. - Diện tích tam giác ABC là: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times a \times 2a = a^2 \] 2. Xác định chiều cao của khối chóp: - Chiều cao của khối chóp S.ABC là đoạn thẳng SA, với SA = a. 3. Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp: - Thể tích khối chóp S.ABC được tính theo công thức: \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SA \] - Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times a^2 \times a = \frac{a^3}{3} \] Vậy thể tích khối chóp S.ABC là $\frac{a^3}{3}$. Đáp án đúng là: $C.~\frac{a^3}3.$ Câu 9: Để tính xác suất chọn 2 học sinh gồm 1 nam và 1 nữ từ nhóm có 4 nam và 6 nữ, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số cách chọn 2 học sinh từ nhóm 10 học sinh: Số cách chọn 2 học sinh từ 10 học sinh là: \[ C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \] 2. Tính số cách chọn 1 nam và 1 nữ: - Số cách chọn 1 nam từ 4 nam là: \[ C_4^1 = 4 \] - Số cách chọn 1 nữ từ 6 nữ là: \[ C_6^1 = 6 \] - Vậy số cách chọn 1 nam và 1 nữ là: \[ 4 \times 6 = 24 \] 3. Tính xác suất chọn 2 học sinh gồm 1 nam và 1 nữ: Xác suất là tỉ số giữa số cách chọn 1 nam và 1 nữ và tổng số cách chọn 2 học sinh: \[ P = \frac{24}{45} = \frac{8}{15} \] Vậy xác suất chọn 2 học sinh gồm 1 nam và 1 nữ là $\frac{8}{15}$.