jjdbfbccnjfnf

Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính tích phân của hàm số \( f(x) = 1 - \frac{1}{\cos^2 x} \). Bước 1: Tính tích phân từng phần của hàm số. \[ \int f(x) \, dx = \int \left( 1 - \frac{1}{\cos^2 x} \right) \, dx \] Bước 2: Tách tích phân thành hai phần riêng biệt. \[ \int f(x) \, dx = \int 1 \, dx - \int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx \] Bước 3: Tính từng tích phân riêng lẻ. - Tích phân của 1 là: \[ \int 1 \, dx = x + C_1 \] - Tích phân của \(\frac{1}{\cos^2 x}\): \[ \int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C_2 \] Bước 4: Kết hợp lại các kết quả đã tính. \[ \int f(x) \, dx = x + C_1 - (\tan x + C_2) \] Bước 5: Gộp hằng số tích phân lại thành một hằng số duy nhất \(C\). \[ \int f(x) \, dx = x - \tan x + C \] Như vậy, khẳng định đúng là: \[ \boxed{A.~\int f(x) \, dx = x + \tan x + C} \] Câu 10: Câu hỏi này có vẻ bị lỗi hoặc không đầy đủ thông tin. Tuy nhiên, dựa trên những gì đã cung cấp, chúng ta sẽ cố gắng giải quyết từng phần một cách logic nhất có thể. Phần A: Xác suất Phần này đề cập đến xác suất: - \( P(A) = 1 \) Điều này có nghĩa là sự kiện \( A \) chắc chắn xảy ra. Phần B: Tích phân Phần này đề cập đến tích phân: - \( \int f(x) \, dx = x - \tan x + C \) - \( \int f(x) \, dx = x - \cot x + C \) Đây là hai tích phân khác nhau của cùng một hàm \( f(x) \). Chúng ta cần kiểm tra lại xem liệu có thể có hai tích phân khác nhau như vậy hay không. Thông thường, tích phân của một hàm duy nhất sẽ chỉ dẫn đến một kết quả duy nhất (trừ hằng số \( C \)). Phần C: Tích phân xác định Phần này đề cập đến tích phân xác định: - \( \int_{a}^{b} f(x) \, dx = 10 \) - \( \int_{c}^{d} f(x) \, dx = 4 \) Điều này có nghĩa là tích phân của hàm \( f(x) \) từ \( a \) đến \( b \) là 10 và từ \( c \) đến \( d \) là 4. Phần D: Tích phân tổng quát Phần này đề cập đến tích phân tổng quát: - \( \int [f(x) \, dx \) Điều này có vẻ chưa hoàn chỉnh. Chúng ta cần thêm thông tin về hàm \( f(x) \) để tiếp tục. Kết luận Dựa trên thông tin đã cung cấp, chúng ta có thể thấy rằng: - Sự kiện \( A \) chắc chắn xảy ra (\( P(A) = 1 \)). - Tích phân của hàm \( f(x) \) có thể là \( x - \tan x + C \) hoặc \( x - \cot x + C \), nhưng cần kiểm tra lại vì thông thường chỉ có một tích phân duy nhất. - Tích phân xác định của hàm \( f(x) \) từ \( a \) đến \( b \) là 10 và từ \( c \) đến \( d \) là 4. Tuy nhiên, do câu hỏi không đầy đủ, chúng ta không thể đưa ra một kết luận cuối cùng hoàn chỉnh. Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết thêm thông tin về hàm số \( f(x) \) và khoảng tích phân cụ thể. Tuy nhiên, giả sử rằng bài toán yêu cầu tính tích phân của hàm số \( f(x) \) từ \( a \) đến \( b \). Chúng ta sẽ đi qua từng bước để giải quyết bài toán này. Bước 1: Xác định hàm số \( f(x) \) và khoảng tích phân. Giả sử hàm số \( f(x) \) đã cho và khoảng tích phân từ \( a \) đến \( b \). Bước 2: Kiểm tra điều kiện liên tục của hàm số \( f(x) \) trên khoảng \([a, b]\). Hàm số \( f(x) \) liên tục trên khoảng \([a, b]\) nên chúng ta có thể áp dụng công thức tính tích phân. Bước 3: Áp dụng công thức tính tích phân. Tích phân của hàm số \( f(x) \) từ \( a \) đến \( b \) được tính bằng: \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \] Bước 4: Tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) \). Giả sử nguyên hàm của \( f(x) \) là \( F(x) \), tức là: \[ F'(x) = f(x) \] Bước 5: Áp dụng công thức Newton-Leibniz. Theo công thức Newton-Leibniz, tích phân của \( f(x) \) từ \( a \) đến \( b \) là: \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) \] Bước 6: Thay giá trị vào và tính kết quả. Thay \( b \) và \( a \) vào nguyên hàm \( F(x) \) để tính kết quả cuối cùng. Ví dụ cụ thể: Giả sử \( f(x) = x^2 \) và khoảng tích phân từ 0 đến 1. Bước 1: Hàm số \( f(x) = x^2 \) và khoảng tích phân từ 0 đến 1. Bước 2: Hàm số \( x^2 \) liên tục trên khoảng \([0, 1]\). Bước 3: Tính tích phân: \[ \int_{0}^{1} x^2 \, dx \] Bước 4: Tìm nguyên hàm của \( x^2 \): \[ F(x) = \frac{x^3}{3} \] Bước 5: Áp dụng công thức Newton-Leibniz: \[ \int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \] Bước 6: Kết quả cuối cùng: \[ \int_{0}^{1} x^2 \, dx = \frac{1}{3} \] Vậy, tích phân của hàm số \( f(x) = x^2 \) từ 0 đến 1 là \(\frac{1}{3}\). Câu 11: Câu hỏi này không cung cấp đủ thông tin để giải quyết một bài toán cụ thể. Tuy nhiên, dựa trên các lựa chọn đã cho, chúng ta có thể giả định rằng câu hỏi liên quan đến việc tìm một giá trị nào đó từ các lựa chọn đã cho. Dưới đây là cách tiếp cận từng bước: 1. Xác định yêu cầu của câu hỏi: Tìm giá trị phù hợp trong các lựa chọn đã cho. 2. Kiểm tra từng lựa chọn: - A. 6 - B. 40 - C. 3 - D. 14 3. Vì không có thêm thông tin về ngữ cảnh hoặc yêu cầu cụ thể, chúng ta sẽ không thể xác định chính xác giá trị nào là đúng. Tuy nhiên, nếu chúng ta giả định rằng câu hỏi yêu cầu tìm một giá trị cụ thể từ các lựa chọn đã cho, chúng ta có thể chọn một trong các giá trị này tùy thuộc vào ngữ cảnh của câu hỏi. Vì vậy, câu trả lời có thể là một trong các lựa chọn đã cho, nhưng chúng ta cần thêm thông tin để xác định chính xác giá trị nào là đúng. Đáp án: A. 6, B. 40, C. 3, D. 14 (tùy thuộc vào ngữ cảnh của câu hỏi). Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = 2^x \), \( y = 1 \), \( x = 0 \), và \( x = 2 \). Bước 1: Xác định ranh giới của hình phẳng. - Ranh giới trên là đường \( y = 2^x \). - Ranh giới dưới là đường \( y = 1 \). - Ranh giới trái là đường thẳng \( x = 0 \). - Ranh giới phải là đường thẳng \( x = 2 \). Bước 2: Xác định công thức tính diện tích. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đường \( y = f(x) \) và \( y = g(x) \) từ \( x = a \) đến \( x = b \) được tính bằng: \[ S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx \] Trong trường hợp này, \( f(x) = 2^x \) và \( g(x) = 1 \). Do đó, diện tích S sẽ là: \[ S = \int_{0}^{2} |2^x - 1| \, dx \] Bước 3: Kiểm tra các đáp án đã cho. - Đáp án A: \( S = \frac{1}{4} \) - Đáp án B: \( S = \int_{0}^{2} |1 - 2^x| \, dx \) - Đáp án C: \( S = \int_{0}^{2} (2^x + 1) \, dx \) - Đáp án D: \( S = \int_{0}^{2} (1 + 2^x) \, dx \) Trong các đáp án trên, chỉ có đáp án B đúng vì nó đúng theo công thức tính diện tích đã xác định ở bước 2. Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~S = \int_{0}^{2} |1 - 2^x| \, dx} \] Câu 12: Dĩ nhiên, mình sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán theo đúng yêu cầu đã đưa ra. Tuy nhiên, bạn chưa cung cấp đầy đủ thông tin về bài toán cụ thể. Bạn vui lòng cung cấp thêm chi tiết về bài toán để mình có thể hỗ trợ tốt hơn nhé! Câu 4: Để xác định điểm nào thuộc mặt phẳng $(P):~x + y + z - 3 = 0$, ta thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình mặt phẳng và kiểm tra xem phương trình có thỏa mãn hay không. a) Thử điểm $M(-1; -1; -1)$: \[ -1 + (-1) + (-1) - 3 = -1 - 1 - 1 - 3 = -6 \neq 0 \] Do đó, điểm $M$ không thuộc mặt phẳng $(P)$. b) Thử điểm $N(1; 2; 0)$: \[ 1 + 2 + 0 - 3 = 1 + 2 + 0 - 3 = 0 \] Do đó, điểm $N$ thuộc mặt phẳng $(P)$. c) Thử điểm $P(-3; 0; 0)$: \[ -3 + 0 + 0 - 3 = -3 + 0 + 0 - 3 = -6 \neq 0 \] Do đó, điểm $P$ không thuộc mặt phẳng $(P)$. d) Thử điểm $Q(0; 0; -3)$: \[ 0 + 0 + (-3) - 3 = 0 + 0 - 3 - 3 = -6 \neq 0 \] Do đó, điểm $Q$ không thuộc mặt phẳng $(P)$. Kết luận: Điểm thuộc mặt phẳng $(P)$ là điểm $N(1; 2; 0)$. Đáp án đúng là: $B.~N(1; 2; 0)$. Câu 5: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết thêm thông tin về vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$. Tuy nhiên, giả sử rằng vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\vec{u} = (a, b, c)$. Bây giờ, chúng ta sẽ viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(2, -1, 2)$ và nhận vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a, b, c)$. Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là: \[ \begin{cases} x = 2 + at \\ y = -1 + bt \\ z = 2 + ct \end{cases} \] trong đó $t$ là tham số. Nếu chúng ta biết thêm thông tin về vectơ chỉ phương $\vec{u}$, chúng ta có thể thay các giá trị cụ thể của $a$, $b$, và $c$ vào phương trình trên để có phương trình chính xác của đường thẳng $\Delta$. Ví dụ, nếu vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\vec{u} = (1, 2, 3)$, thì phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ sẽ là: \[ \begin{cases} x = 2 + t \\ y = -1 + 2t \\ z = 2 + 3t \end{cases} \] Như vậy, để hoàn thành bài toán, chúng ta cần biết thêm thông tin về vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$. Câu 1: Để xác định phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm $B(-1;2;-1)$ và có vectơ chỉ phương là $(2, -1, 2)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ chỉ phương: Vectơ chỉ phương của đường thẳng là $(2, -1, 2)$. 2. Viết phương trình chính tắc: Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm $(x_0, y_0, z_0)$ và có vectơ chỉ phương $(a, b, c)$ là: \[ \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} \] Thay $(x_0, y_0, z_0) = (-1, 2, -1)$ và $(a, b, c) = (2, -1, 2)$ vào phương trình trên, ta được: \[ \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z + 1}{2} \] Do đó, phương trình chính tắc của đường thẳng là: \[ \boxed{\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z + 1}{2}} \] Đáp án đúng là: B. $\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z + 1}{2}$ Câu 6: Để xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng trong không gian Oxyz, ta cần biết rằng vectơ chỉ phương của đường thẳng là một vectơ có hướng và độ dài tùy ý nhưng phải song song hoặc cùng phương với đường thẳng đó. Trong các lựa chọn đã cho: - A. $\widehat{a} = (-1; 2; 0)$ - B. $\widehat{a} = (2; 1; 3)$ - C. $\widehat{a} = (1; 2; 3)$ - D. $\widehat{a} = (2; 0; -1)$ Mỗi lựa chọn đều là một vectơ có ba thành phần tương ứng với các trục x, y, z trong không gian Oxyz. Ta cần kiểm tra xem liệu có bất kỳ thông tin nào khác về đường thẳng để xác định vectơ chỉ phương cụ thể hay không. Nếu không có thêm thông tin, ta có thể chọn bất kỳ một trong các vectơ trên làm vectơ chỉ phương của đường thẳng. Tuy nhiên, nếu giả sử rằng câu hỏi yêu cầu chúng ta chọn một trong các lựa chọn đã cho, ta sẽ chọn một trong chúng. Chẳng hạn, ta chọn vectơ $\widehat{a} = (2; 0; -1)$ từ lựa chọn D. Vậy, vectơ chỉ phương của đường thẳng là: \[ \boxed{\widehat{a} = (2; 0; -1)} \] Câu 2: Tất nhiên, tôi sẽ tuân thủ các quy tắc trên để giải quyết các bài toán một cách chính xác, hiệu quả và phù hợp với trình độ của học sinh lớp 12. Dưới đây là một ví dụ về cách giải một bài toán theo các quy tắc đã nêu: Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) trên đoạn \([-2, 2]\). Giải: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = 3x^2 - 3 \] 2. Tìm các điểm cực trị: \[ f'(x) = 0 \implies 3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \] Các điểm cực trị là \( x = 1 \) và \( x = -1 \). 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn: \[ f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 2 = -8 + 6 + 2 = 0 \] \[ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 \] \[ f(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \] \[ f(2) = 2^3 - 3(2) + 2 = 8 - 6 + 2 = 4 \] 4. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: \[ f(-2) = 0, \quad f(-1) = 4, \quad f(1) = 0, \quad f(2) = 4 \] Từ đó, ta thấy: - Giá trị lớn nhất của hàm số là 4, đạt được khi \( x = -1 \) hoặc \( x = 2 \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0, đạt được khi \( x = -2 \) hoặc \( x = 1 \). Đáp số: - Giá trị lớn nhất của hàm số là 4, đạt được khi \( x = -1 \) hoặc \( x = 2 \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0, đạt được khi \( x = -2 \) hoặc \( x = 1 \). Câu 7: Để tính cosin của góc giữa hai đường thẳng \( d_1 \) và \( d_2 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng: - Đường thẳng \( d_1 \) có phương trình: \( \frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-1} \). Vectơ chỉ phương của \( d_1 \) là \( \vec{u}_1 = (2, 1, -1) \). - Đường thẳng \( d_2 \) có phương trình: \( \frac{x-1}{3} = \frac{y-1}{3} = \frac{z-1}{9} \). Vectơ chỉ phương của \( d_2 \) là \( \vec{u}_2 = (3, 3, 9) \). 2. Tính tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương: \[ \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 2 \cdot 3 + 1 \cdot 3 + (-1) \cdot 9 = 6 + 3 - 9 = 0 \] 3. Tính độ dài của mỗi vectơ chỉ phương: \[ |\vec{u}_1| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] \[ |\vec{u}_2| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 9^2} = \sqrt{9 + 9 + 81} = \sqrt{99} = 3\sqrt{11} \] 4. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng: \[ \cos \theta = \frac{\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|} = \frac{0}{\sqrt{6} \cdot 3\sqrt{11}} = 0 \] Vậy cosin của góc giữa hai đường thẳng \( d_1 \) và \( d_2 \) là \( 0 \). Đáp án đúng là: B. 0. Câu 8: Phương trình của mặt cầu (S) có tâm $I(2;-1;3)$ và bán kính $R=4$ là: \[ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 4^2 \] \[ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 16 \] Do đó, phương án đúng là: \[ B.~(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 16 \]