Chjyffhhgfffghvv

Câu 4. Để giải quyết các khẳng định trên, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một cách chi tiết. a) \( CD \perp (ABCD) \) - Đáy ABCD là hình chữ nhật, do đó \( CD \subset (ABCD) \). - Mặt khác, \( SA \perp (ABCD) \), nên \( SA \perp CD \). - Tuy nhiên, \( CD \) nằm trong mặt phẳng \( (ABCD) \), do đó không thể vuông góc với chính mặt phẳng của nó. - Kết luận: Khẳng định này sai. b) \( (SAB) \perp (SAC) \) - \( SA \perp (ABCD) \), do đó \( SA \perp AB \) và \( SA \perp AC \). - \( AB \subset (SAB) \) và \( AC \subset (SAC) \). - Vì \( SA \) chung và vuông góc với cả hai mặt phẳng \( (SAB) \) và \( (SAC) \), nên \( (SAB) \perp (SAC) \). - Kết luận: Khẳng định này đúng. c) Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc \( \widehat{SCA} = 60^\circ \) - \( SA \perp (ABCD) \), do đó \( \widehat{SCA} \) là góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD). - Theo đề bài, góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là \( 60^\circ \). - Kết luận: Khẳng định này đúng. d) \( \tan \alpha = 2 \) với \( \alpha = [A, DC, S] \) - \( \alpha = [A, DC, S] \) là góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (DCS). - \( SA \perp (ABCD) \), do đó \( SA \perp DC \). - \( \alpha \) là góc giữa SA và mặt phẳng (DCS), tức là góc giữa SA và hình chiếu của SA lên (DCS). - Ta có \( \tan \alpha = \frac{SA}{AD} \). Ta biết rằng: \[ AD = a\sqrt{3} \] \[ SA = a \] Do đó: \[ \tan \alpha = \frac{SA}{AD} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \neq 2 \] Kết luận: Khẳng định này sai. Tóm lại: - a) Sai - b) Đúng - c) Đúng - d) Sai Câu 1. Để giải phương trình $\log_3(2x-3)=\log_3(x-2)+1$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Phương trình có dạng $\log_3(2x-3)=\log_3(x-2)+1$. Để các biểu thức logarit có nghĩa, ta cần: \[2x - 3 > 0 \quad \text{và} \quad x - 2 > 0.\] Giải các bất đẳng thức này: \[2x - 3 > 0 \implies x > \frac{3}{2},\] \[x - 2 > 0 \implies x > 2.\] Vậy ĐKXĐ của phương trình là: \[x > 2.\] Bước 2: Chuyển đổi phương trình về cùng cơ số Ta có: \[\log_3(2x-3) = \log_3(x-2) + \log_3(3).\] Sử dụng tính chất của logarit $\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc)$, ta có: \[\log_3(2x-3) = \log_3((x-2) \cdot 3).\] Bước 3: Bỏ dấu logarit và giải phương trình Do hai biểu thức logarit có cùng cơ số, ta có thể bỏ dấu logarit: \[2x - 3 = 3(x - 2).\] Giải phương trình này: \[2x - 3 = 3x - 6,\] \[2x - 3x = -6 + 3,\] \[-x = -3,\] \[x = 3.\] Bước 4: Kiểm tra điều kiện xác định Kiểm tra xem giá trị $x = 3$ có thỏa mãn ĐKXĐ hay không: \[x > 2.\] Thật vậy, $3 > 2$, nên $x = 3$ thỏa mãn ĐKXĐ. Kết luận: Giá trị của $x$ thỏa mãn phương trình là $x = 3$. Câu 2. Trước tiên, ta xác định các điểm và đường thẳng liên quan trong hình chóp S.ABCD. - Đáy ABCD là hình vuông, do đó các cạnh AB, BC, CD, DA đều bằng nhau và các góc ở đáy đều là 90°. - SA là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD, tức là SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Ta xác định các điểm: - I là trung điểm của AB. - J là trung điểm của BC. - K là trung điểm của SB. Bây giờ, ta cần xác định góc giữa hai đường thẳng KJ và BD. 1. Xác định vị trí của các điểm: - Điểm I nằm chính giữa đoạn AB. - Điểm J nằm chính giữa đoạn BC. - Điểm K nằm chính giữa đoạn SB. 2. Ta vẽ đường thẳng KJ và BD trên hình chóp. 3. Để xác định góc giữa hai đường thẳng KJ và BD, ta cần tìm giao điểm của chúng hoặc một mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng này. 4. Ta thấy rằng đường thẳng BD nằm trong mặt phẳng (ABCD), còn đường thẳng KJ nằm trong mặt phẳng (SBD). 5. Ta cần tìm giao điểm của hai đường thẳng KJ và BD. Ta thấy rằng đường thẳng KJ cắt BD tại điểm O, là trung điểm của BD. 6. Ta xác định góc giữa hai đường thẳng KJ và BD bằng cách vẽ đường thẳng từ điểm K đến điểm O và từ điểm J đến điểm O. 7. Ta thấy rằng góc giữa hai đường thẳng KJ và BD chính là góc KOD. 8. Ta tính góc KOD bằng cách sử dụng các tính chất của hình chóp và hình vuông. 9. Ta thấy rằng góc KOD là góc vuông, tức là 90°. Vậy góc giữa hai đường thẳng KJ và BD là 90°. Đáp số: 90°. Câu 1. Để giải bất phương trình $\log_2(x^2+3x)\leq2$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Điều kiện để $\log_2(x^2+3x)$ có nghĩa là: \[ x^2 + 3x > 0 \] Phân tích biểu thức $x^2 + 3x$: \[ x(x + 3) > 0 \] Tìm các giá trị của $x$ thỏa mãn điều kiện trên: - $x > 0$ hoặc $x < -3$ Bước 2: Giải bất phương trình $\log_2(x^2+3x)\leq2$ Ta có: \[ \log_2(x^2+3x) \leq 2 \] Đổi về dạng số mũ: \[ x^2 + 3x \leq 2^2 \] \[ x^2 + 3x \leq 4 \] Bước 3: Giải bất phương trình bậc hai \[ x^2 + 3x - 4 \leq 0 \] Tìm nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x^2 + 3x - 4 = 0 \] Áp dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} \] \[ x = \frac{-3 \pm 5}{2} \] Có hai nghiệm: \[ x = 1 \quad \text{và} \quad x = -4 \] Phương trình $x^2 + 3x - 4 = 0$ có hai nghiệm là $x = 1$ và $x = -4$. Do đó, bất phương trình $x^2 + 3x - 4 \leq 0$ có tập nghiệm là: \[ -4 \leq x \leq 1 \] Bước 4: Kết hợp điều kiện xác định Chúng ta đã có điều kiện xác định là $x > 0$ hoặc $x < -3$. Kết hợp điều kiện này với tập nghiệm của bất phương trình bậc hai, ta có: \[ -4 \leq x \leq 1 \quad \text{và} \quad (x > 0 \text{ hoặc } x < -3) \] Do đó, tập nghiệm cuối cùng là: \[ -4 \leq x < -3 \quad \text{hoặc} \quad 0 < x \leq 1 \] Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình $\log_2(x^2+3x)\leq2$ là: \[ [-4, -3) \cup (0, 1] \] Câu 2. Để tính gia tốc của vật tại thời điểm \( t = 3 \) giây, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vận tốc tức thời của vật: Vận tốc tức thời \( v(t) \) là đạo hàm của phương trình chuyển động \( S(t) \). \[ S(t) = t^4 - 3t^3 - 3t^2 + 2t + 1 \] Ta tính đạo hàm của \( S(t) \): \[ v(t) = \frac{dS}{dt} = 4t^3 - 9t^2 - 6t + 2 \] 2. Tìm gia tốc tức thời của vật: Gia tốc tức thời \( a(t) \) là đạo hàm của vận tốc tức thời \( v(t) \). Ta tính đạo hàm của \( v(t) \): \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = 12t^2 - 18t - 6 \] 3. Tính gia tốc tại thời điểm \( t = 3 \) giây: Thay \( t = 3 \) vào phương trình gia tốc tức thời: \[ a(3) = 12(3)^2 - 18(3) - 6 \] \[ a(3) = 12 \cdot 9 - 18 \cdot 3 - 6 \] \[ a(3) = 108 - 54 - 6 \] \[ a(3) = 48 \text{ m/s}^2 \] Vậy gia tốc của vật tại thời điểm \( t = 3 \) giây là \( 48 \text{ m/s}^2 \). Câu 3. Để tính diện tích bóng đổ (hình chiếu vuông góc) của tam giác ABA' lên mặt phẳng (BCC'B'), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích tam giác ABC: - Tam giác ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = 2,4 m và BC = 2 m. - Ta vẽ đường cao AH từ đỉnh A xuống cạnh BC, chia tam giác ABC thành hai tam giác vuông AHB và AHC. - Trong tam giác AHB, ta có: \[ BH = HC = \frac{BC}{2} = \frac{2}{2} = 1 \text{ m} \] - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác AHB: \[ AH^2 + BH^2 = AB^2 \implies AH^2 + 1^2 = 2,4^2 \implies AH^2 + 1 = 5,76 \implies AH^2 = 4,76 \implies AH = \sqrt{4,76} \approx 2,18 \text{ m} \] - Diện tích tam giác ABC: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AH = \frac{1}{2} \times 2 \times 2,18 = 2,18 \text{ m}^2 \] 2. Tính diện tích tam giác ABA': - Tam giác ABA' có đáy AB = 2,4 m và chiều cao AA' = 3 m. - Diện tích tam giác ABA': \[ S_{ABA'} = \frac{1}{2} \times AB \times AA' = \frac{1}{2} \times 2,4 \times 3 = 3,6 \text{ m}^2 \] 3. Tính diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác ABA' lên mặt phẳng (BCC'B'): - Hình chiếu vuông góc của tam giác ABA' lên mặt phẳng (BCC'B') là tam giác BCA'. - Diện tích tam giác BCA' bằng diện tích tam giác ABC vì AA' vuông góc với mặt đáy ABC. - Do đó, diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác ABA' lên mặt phẳng (BCC'B') là: \[ S_{BCA'} = S_{ABC} = 2,18 \text{ m}^2 \] Đáp số: Diện tích bóng đổ (hình chiếu vuông góc) của tam giác ABA' lên mặt phẳng (BCC'B') là 2,18 m². Câu 4. Để tính góc tạo bởi hai tấm kính, ta cần tìm góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (OBC). Bước 1: Xác định các điểm và vectơ cần thiết - Điểm O là giao điểm của các đường chéo đáy ABCD, do đó O là trung điểm của AC và BD. - Ta có SO là đường cao của hình chóp đều, vì vậy SO vuông góc với đáy ABCD. Bước 2: Tìm vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng - Mặt phẳng (OBC) có vectơ pháp tuyến $\vec{n_1} = \vec{SO}$. - Mặt phẳng (SBC) có vectơ pháp tuyến $\vec{n_2}$, ta tìm $\vec{n_2}$ bằng cách lấy tích vector của hai vectơ nằm trong mặt phẳng (SBC). Bước 3: Tính góc giữa hai vectơ pháp tuyến - Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (OBC) bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến $\vec{n_1}$ và $\vec{n_2}$. Bước 4: Tính toán chi tiết - Ta có $\vec{SO} = (0, 0, h)$, trong đó $h$ là chiều cao của hình chóp. - Ta có $\vec{SB} = (a/2, a/2, h)$ và $\vec{SC} = (-a/2, a/2, h)$. - Tích vector $\vec{SB} \times \vec{SC} = (a^2, 0, 0)$, do đó $\vec{n_2} = (a^2, 0, 0)$. Bước 5: Tính góc giữa hai vectơ pháp tuyến - Ta có $\cos(\theta) = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} = \frac{0}{h \cdot a^2} = 0$. - Do đó, $\theta = 90^\circ$. Vậy góc tạo bởi hai tấm kính là $90^\circ$.