Giup toi voi Đề 1: tìm nguyên hàm của h/s,$a,~f(x)=x^3-3x^2+2x$,$b,~g(x)=\cos x-x.3^x$,2) tính tích phân $S^2_1(x^3+3x^2+2x)dx$

Question

Accepted Answer

Để giải quyết các yêu cầu trong đề bài, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

Phần 1: Tìm nguyên hàm

a) Tìm nguyên hàm của $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x $

Nguyên hàm của $ f(x) $ là:
$$ F(x) = \int (x^3 - 3x^2 + 2x) \, dx $$

Ta tính từng nguyên hàm riêng lẻ:
$$ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} $$
$$ \int -3x^2 \, dx = -3 \cdot \frac{x^3}{3} = -x^3 $$
$$ \int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 $$

Vậy nguyên hàm của $ f(x) $ là:
$$ F(x) = \frac{x^4}{4} - x^3 + x^2 + C $$

b) Tìm nguyên hàm của $ g(x) = \cos x - x \cdot 3^x $

Nguyên hàm của $ g(x) $ là:
$$ G(x) = \int (\cos x - x \cdot 3^x) \, dx $$

Ta tính từng nguyên hàm riêng lẻ:
$$ \int \cos x \, dx = \sin x $$

Để tính nguyên hàm của $ x \cdot 3^x $, ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần:
$$ u = x \quad \text{và} \quad dv = 3^x \, dx $$
$$ du = dx \quad \text{và} \quad v = \frac{3^x}{\ln 3} $$

Áp dụng công thức tích phân từng phần:
$$ \int x \cdot 3^x \, dx = x \cdot \frac{3^x}{\ln 3} - \int \frac{3^x}{\ln 3} \, dx $$
$$ = x \cdot \frac{3^x}{\ln 3} - \frac{3^x}{(\ln 3)^2} $$

Vậy nguyên hàm của $ g(x) $ là:
$$ G(x) = \sin x - \left( x \cdot \frac{3^x}{\ln 3} - \frac{3^x}{(\ln 3)^2} \right) + C $$
$$ = \sin x - x \cdot \frac{3^x}{\ln 3} + \frac{3^x}{(\ln 3)^2} + C $$

Phần 2: Tính tích phân

Tính tích phân:
$$ \int_{1}^{2} (x^3 + 3x^2 + 2x) \, dx $$

Ta tính từng tích phân riêng lẻ:
$$ \int_{1}^{2} x^3 \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} $$
$$ \int_{1}^{2} 3x^2 \, dx = 3 \int_{1}^{2} x^2 \, dx = 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = 3 \left( \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} \right) = 3 \left( \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \right) = 3 \cdot \frac{7}{3} = 7 $$
$$ \int_{1}^{2} 2x \, dx = 2 \int_{1}^{2} x \, dx = 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = 2 \left( \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right) = 2 \left( 2 - \frac{1}{2} \right) = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3 $$

Vậy tích phân là:
$$ \int_{1}^{2} (x^3 + 3x^2 + 2x) \, dx = \frac{15}{4} + 7 + 3 = \frac{15}{4} + \frac{28}{4} + \frac{12}{4} = \frac{55}{4} $$

Đáp số:
1. Nguyên hàm của $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x $ là $ F(x) = \frac{x^4}{4} - x^3 + x^2 + C $
2. Nguyên hàm của $ g(x) = \cos x - x \cdot 3^x $ là $ G(x) = \sin x - x \cdot \frac{3^x}{\ln 3} + \frac{3^x}{(\ln 3)^2} + C $
3. Tích phân $ \int_{1}^{2} (x^3 + 3x^2 + 2x) \, dx = \frac{55}{4} $