giải chi tiết hết các câu này giúp mình nhé PHẦN IV. Tự luận (3 điểm),Câu 1. a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{2x-3}$ tại điểm có,hoành độ $x_0=-1.$,b) Một vật chuyển động theo quy luật $s=-\frac12t^3+3t^2+20$ với t là khoảng thời,gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s là quãng đường vật di chuyển được,trong khoảng thời gian đó. Tính quãng đường vật đi được tính từ lúc bắt đầu chuyển,động đến lúc vật đạt vận tốc lớn nhất.,Câu 2. Cho A và B là hai biến cố độc lập với nhau.,a) Biết $P(A)=0,4$ và $P(\overline AB)=0,3.$ Tính xác suất của các biến cố B và AUB.,b) Biết $P(\overline AB)=0,4$ và $P(A\cup B)=0,9.$ Tính xác suất của các biến cố A,B và AB.,Câu 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a.,a) Chứng minh: $(SAC)\bot(SBD).$,b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

Question

Mua hàng shopee · Accepted Answer

{"userId":5189267,"userName":"Hmyyy"}

Câu 1:

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x+1}{2x-3}$ tại điểm có hoành độ $x_0 = -1$.

* Ta có $y' = \dfrac{(2x-3) - 2(x+1)}{(2x-3)^2} = \dfrac{2x-3-2x-2}{(2x-3)^2} = \dfrac{-5}{(2x-3)^2}$

* Với $x_0 = -1 \Rightarrow y_0 = \dfrac{-1+1}{2(-1)-3} = \dfrac{0}{-5} = 0$

* $y'(-1) = \dfrac{-5}{(2(-1)-3)^2} = \dfrac{-5}{(-5)^2} = \dfrac{-5}{25} = -\dfrac{1}{5}$

* Phương trình tiếp tuyến tại điểm $x_0 = -1$ là: $y = y'(-1)(x - (-1)) + y_0$

* $\Rightarrow y = -\dfrac{1}{5}(x+1) + 0 = -\dfrac{1}{5}x - \dfrac{1}{5}$

b) Một vật chuyển động theo quy luật $s = -\dfrac{1}{2}t^3 + 3t^2 + 20$ với $t$ là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và $s$ là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Tính quãng đường vật đi được tính từ lúc bắt đầu chuyển động đến lúc vật đạt vận tốc lớn nhất.

* Vận tốc của vật là $v(t) = s'(t) = -\dfrac{3}{2}t^2 + 6t$

* Gia tốc của vật là $a(t) = v'(t) = -3t + 6$

* Vận tốc lớn nhất khi $a(t) = 0 \Leftrightarrow -3t + 6 = 0 \Leftrightarrow t = 2$

* Quãng đường vật đi được khi $t = 2$ là $s(2) = -\dfrac{1}{2}(2^3) + 3(2^2) + 20 = -\dfrac{1}{2}(8) + 3(4) + 20 = -4 + 12 + 20 = 28$

Câu 2:

a) Biết $P(A) = 0.4$ và $P(\overline{AB}) = 0.3$. Tính xác suất của các biến cố $B$ và $A \cup B$.

* Vì $A$ và $B$ độc lập nên $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = (1 - P(A)) \cdot (1 - P(B))$

* Ta có $P(\overline{A \cup B}) = P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0.3$

* $\Rightarrow (1 - 0.4) \cdot (1 - P(B)) = 0.3 \Rightarrow 0.6 \cdot (1 - P(B)) = 0.3$

* $\Rightarrow 1 - P(B) = \dfrac{0.3}{0.6} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow P(B) = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} = 0.5$

* $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B)$ (do $A$ và $B$ độc lập)

* $\Rightarrow P(A \cup B) = 0.4 + 0.5 - (0.4 \cdot 0.5) = 0.9 - 0.2 = 0.7$

b) Biết $P(\overline{AB}) = 0.4$ và $P(A \cup B) = 0.9$. Tính xác suất của các biến cố $A, B$ và $AB$.

* Ta có $P(\overline{A \cap B}) = 1 - P(A \cap B) = 0.4 \Rightarrow P(A \cap B) = 1 - 0.4 = 0.6$

* $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

* $\Rightarrow 0.9 = P(A) + P(B) - 0.6 \Rightarrow P(A) + P(B) = 0.9 + 0.6 = 1.5$

* $P(A) \cdot P(B) = P(A \cap B) = 0.6$ (do $A, B$ độc lập)

* Gọi $P(A) = x$, $P(B) = y$. Ta có hệ phương trình:

* $x + y = 1.5$

* $x \cdot y = 0.6$

* $x(1.5-x) = 0.6 \Rightarrow 1.5x - x^2 = 0.6 \Rightarrow x^2 - 1.5x + 0.6 = 0$

* $\Delta = (-1.5)^2 - 4(1)(0.6) = 2.25 - 2.4 = -0.15 < 0$. Vậy không tồn tại $P(A), P(B)$ thỏa mãn.

Câu 3:

a) Chứng minh: $(SAC) \perp (SBD)$.

* Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AC \perp BD$ tại $O$.

* Vì $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên $SO \perp (ABCD) \Rightarrow SO \perp BD$

* Ta có $BD \perp AC$ và $BD \perp SO \Rightarrow BD \perp (SAC)$.

* Vì $BD \subset (SBD)$ nên $(SAC) \perp (SBD)$

b) Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

* Gọi $I$ là trung điểm của $BC$. Vì $ riangle SBC$ cân tại $S$ nên $SI \perp BC$.

* Ta có $BC \perp SI$ và $BC \perp SO \Rightarrow BC \perp (SOI) \Rightarrow (SBC) \perp (SOI)$

* Kẻ $AH \perp SI$ tại $H$. Vì $(SBC) \perp (SOI)$ nên $AH \perp (SBC)$.

* Khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ là $AH$.

* Xét $ riangle ABC$ vuông tại $B$, $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$

* $AO = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

* Xét $ riangle SOA$ vuông tại $O$, $SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{(2a)^2 - (\dfrac{a\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{4a^2 - \dfrac{2a^2}{4}} = \sqrt{\dfrac{14a^2}{4}} = \dfrac{a\sqrt{14}}{2}$

* Xét $ riangle SBC$ vuông tại $I$, $SI = \sqrt{SB^2 - BI^2} = \sqrt{(2a)^2 - (\dfrac{a}{2})^2} = \sqrt{4a^2 - \dfrac{a^2}{4}} = \sqrt{\dfrac{15a^2}{4}} = \dfrac{a\sqrt{15}}{2}$

* Vì $AI \perp BC$ và $AI = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{a}{2}$

* $\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{AI^2} + \dfrac{1}{SO^2} = \dfrac{1}{(\dfrac{a}{2})^2} + \dfrac{1}{(\dfrac{a\sqrt{15}}{2})^2} = \dfrac{4}{a^2} + \dfrac{4}{15a^2} = \dfrac{60+4}{15a^2} = \dfrac{64}{15a^2}$

* $\Rightarrow AH^2 = \dfrac{15a^2}{64} \Rightarrow AH = \sqrt{\dfrac{15a^2}{64}} = \dfrac{a\sqrt{15}}{8}$

Timi · Answer

Câu 1.
a) Ta có $y&#x27;=\frac{-5}{(2x-3)^2}$. 
Điểm tiếp xúc có hoành độ $x_0=-1$ có tung độ $y_0=\frac{-1+1}{2\times (-1)-3}=0$. 
Tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc là $y&#x27;|_{x=-1}=\frac{-5}{(2\times (-1)-3)^2}=\frac{-1}{5}$. 
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y= \frac{-1}{5}(x+1)$.
b) Vận tốc của vật là $v=s&#x27;=-\frac{3}{2}t^2+6t$. 
Để tìm thời điểm vật đạt vận tốc lớn nhất ta giải phương trình $v&#x27;=0$, tức là $-\frac{3}{2}\times 2t+6=0$. 
Giải ra ta được $t=2$. 
Quãng đường vật đi được tính từ lúc bắt đầu chuyển động đến lúc vật đạt vận tốc lớn nhất là $s|_{t=2}=-\frac{1}{2}\times 2^3+3\times 2^2+20=32$.

Câu 2.
a) Biết $P(A)=0,4$ và $P(\overline AB)=0,3.$ Tính xác suất của các biến cố B và AUB.

- Ta có:
$$ P(\overline{A}B) = P(\overline{A}) \cdot P(B) $$
$$ P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,4 = 0,6 $$

- Thay vào công thức trên:
$$ 0,3 = 0,6 \cdot P(B) $$
$$ P(B) = \frac{0,3}{0,6} = 0,5 $$

- Xác suất của biến cố $ A \cup B $:
$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) $$
$$ P(AB) = P(A) \cdot P(B) = 0,4 \cdot 0,5 = 0,2 $$
$$ P(A \cup B) = 0,4 + 0,5 - 0,2 = 0,7 $$

b) Biết $P(\overline{A}B)=0,4$ và $P(A \cup B)=0,9.$ Tính xác suất của các biến cố A, B và AB.

- Ta có:
$$ P(\overline{A}B) = P(\overline{A}) \cdot P(B) $$
$$ P(\overline{A}) = 1 - P(A) $$

- Thay vào công thức trên:
$$ 0,4 = (1 - P(A)) \cdot P(B) $$

- Xác suất của biến cố $ A \cup B $:
$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) $$
$$ P(AB) = P(A) \cdot P(B) $$
$$ 0,9 = P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B) $$

- Gọi $ P(A) = x $ và $ P(B) = y $. Ta có hệ phương trình:
$$ 0,4 = (1 - x) \cdot y $$
$$ 0,9 = x + y - xy $$

- Giải hệ phương trình này:
$$ y = \frac{0,4}{1 - x} $$
$$ 0,9 = x + \frac{0,4}{1 - x} - x \cdot \frac{0,4}{1 - x} $$
$$ 0,9 = x + \frac{0,4}{1 - x} - \frac{0,4x}{1 - x} $$
$$ 0,9 = x + \frac{0,4 - 0,4x}{1 - x} $$
$$ 0,9 = x + \frac{0,4(1 - x)}{1 - x} $$
$$ 0,9 = x + 0,4 $$
$$ x = 0,5 $$

- Thay $ x = 0,5 $ vào $ y = \frac{0,4}{1 - x} $:
$$ y = \frac{0,4}{1 - 0,5} = \frac{0,4}{0,5} = 0,8 $$

- Xác suất của biến cố $ AB $:
$$ P(AB) = P(A) \cdot P(B) = 0,5 \cdot 0,8 = 0,4 $$

Đáp số:
a) $ P(B) = 0,5 $ và $ P(A \cup B) = 0,7 $
b) $ P(A) = 0,5 $, $ P(B) = 0,8 $ và $ P(AB) = 0,4 $

Câu 3.
a) Chứng minh: $(SAC)\bot(SBD).$

Trong hình chóp tứ giác đều S.ABCD, ta có:
- Đỉnh S thẳng đứng trên đáy ABCD.
- Các mặt bên là các tam giác đều.

Ta cần chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SBD).

Xét tam giác SAB và SAD:
- SA = SB = SD = 2a (cạnh bên của hình chóp).
- AB = AD = a (cạnh đáy của hình chóp).

Do đó, tam giác SAB và SAD là các tam giác cân tại S. Vì vậy, đường cao hạ từ S xuống đáy AB và AD sẽ là đường trung trực của AB và AD.

Xét giao điểm O của AC và BD:
- O là tâm của hình vuông ABCD.
- SO là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD.

Vì SO vuông góc với đáy ABCD, nên SO vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong đáy ABCD, bao gồm cả AC và BD.

Do đó, SO vuông góc với AC và SO vuông góc với BD.

Vậy SO là đường thẳng chung vuông góc với cả hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). Do đó, mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SBD).

b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

Để tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC), ta sử dụng phương pháp thể tích.

Xét khối chóp SABC:
- Diện tích đáy SBC là tam giác đều với cạnh 2a.
- Thể tích khối chóp SABC là $\frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao}$.

Diện tích đáy SBC:
$$
\text{Diện tích SBC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (2a)^2 = \sqrt{3}a^2
$$

Chiều cao hạ từ A xuống đáy SBC là khoảng cách cần tìm, gọi là h.

Thể tích khối chóp SABC cũng có thể tính qua diện tích đáy ABC và chiều cao hạ từ S xuống đáy ABC:
$$
\text{Diện tích đáy ABC} = a^2
$$
$$
\text{Chiều cao từ S xuống đáy ABC} = \sqrt{(2a)^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{4a^2 - \frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{7a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{14}}{2}
$$

Thể tích khối chóp SABC:
$$
V = \frac{1}{3} \times a^2 \times \frac{a\sqrt{14}}{2} = \frac{a^3\sqrt{14}}{6}
$$

Bây giờ, ta tính lại thể tích khối chóp SABC qua diện tích đáy SBC và chiều cao h:
$$
V = \frac{1}{3} \times \sqrt{3}a^2 \times h
$$

Bằng nhau hai thể tích này:
$$
\frac{a^3\sqrt{14}}{6} = \frac{1}{3} \times \sqrt{3}a^2 \times h
$$

Giải ra h:
$$
h = \frac{a\sqrt{14}}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{42}}{6}
$$

Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) là:
$$
\boxed{\frac{a\sqrt{42}}{6}}
$$