Bài 1. Một chiếc hộp có 20 thẻ giống nhau được đánh số từ 1 đến 20. Rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi nhân hai số ghi trên hai thẻ với nhau. Gọi A là biến cố "Rút được một thẻ đánh số chẵn và một thẻ đánh số...

Bài 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. a) Biến cố "Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn" là \(A \cup B\). - Biến cố \(A\) là "Rút được một thẻ đánh số chẵn và một thẻ đánh số lẻ". - Biến cố \(B\) là "Rút được hai thẻ đều đánh số chẵn". Tích của hai số là số chẵn nếu ít nhất một trong hai số là số chẵn. Do đó, biến cố "tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn" bao gồm cả trường hợp rút được một thẻ chẵn và một thẻ lẻ (biến cố \(A\)) và trường hợp rút được hai thẻ đều chẵn (biến cố \(B\)). Vậy biến cố này là \(A \cup B\). b) \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) Công thức tính xác suất của biến cố \(A \cup B\) là: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] Trong trường hợp này, \(A \cap B\) là rỗng vì không thể cùng lúc rút được một thẻ chẵn và một thẻ lẻ và hai thẻ đều chẵn. Do đó: \[ P(A \cap B) = 0 \] Vậy: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \] c) \(P(A) < P(B)\) - Số thẻ chẵn là 10 (2, 4, 6, ..., 20). - Số thẻ lẻ là 10 (1, 3, 5, ..., 19). Xác suất rút được một thẻ chẵn và một thẻ lẻ: \[ P(A) = \frac{\binom{10}{1} \cdot \binom{10}{1}}{\binom{20}{2}} = \frac{10 \cdot 10}{190} = \frac{100}{190} = \frac{10}{19} \] Xác suất rút được hai thẻ đều chẵn: \[ P(B) = \frac{\binom{10}{2}}{\binom{20}{2}} = \frac{45}{190} = \frac{9}{38} \] So sánh: \[ \frac{10}{19} > \frac{9}{38} \] Vậy \(P(A) > P(B)\). d) Xác suất để kết quả nhận được là một số chẵn là: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{10}{19} + \frac{9}{38} = \frac{20}{38} + \frac{9}{38} = \frac{29}{38} \] Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Xác suất để kết quả nhận được là một số chẵn là \(\frac{29}{38}\). Bài 2. a) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là BC. - Đúng vì giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng chung của chúng, ở đây là BC. b) d(D, (SAC)) = DO. - Sai vì khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAC) không phải là đoạn thẳng DO. Khoảng cách này là đường vuông góc hạ từ D xuống mặt phẳng (SAC). c) (SC, (SAD)) = CSD. - Sai vì góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD) không phải là góc CSD. Góc này là góc giữa đường thẳng SC và hình chiếu của nó lên mặt phẳng (SAD). d) d(CD, SB) = BD. - Sai vì khoảng cách giữa đường thẳng CD và SB không phải là đoạn thẳng BD. Khoảng cách này là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, thường là đường vuông góc chung của chúng. Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai. Bài 3. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Bất phương trình đã cho là \(10^{\log_3(4x^2)} \geq 10^{\log_3(12x - 5)}\). - Để các biểu thức logarit có nghĩa, ta cần: \[ 4x^2 > 0 \quad \text{và} \quad 12x - 5 > 0 \] - Điều kiện \(4x^2 > 0\) luôn đúng với mọi \(x \neq 0\). - Điều kiện \(12x - 5 > 0\) suy ra \(x > \frac{5}{12}\). 2. Giải bất phương trình: - Ta có \(10^{\log_3(4x^2)} \geq 10^{\log_3(12x - 5)}\). - Vì hàm số \(10^y\) là hàm đồng biến, nên ta có: \[ \log_3(4x^2) \geq \log_3(12x - 5) \] - Vì hàm số \(\log_3(y)\) cũng là hàm đồng biến, nên ta có: \[ 4x^2 \geq 12x - 5 \] - Đặt \(f(x) = 4x^2 - 12x + 5\), ta cần giải phương trình: \[ 4x^2 - 12x + 5 \geq 0 \] 3. Giải phương trình bậc hai: - Phương trình \(4x^2 - 12x + 5 = 0\) có: \[ \Delta = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 144 - 80 = 64 \] - Căn bậc hai của \(\Delta\) là: \[ \sqrt{\Delta} = 8 \] - Nghiệm của phương trình là: \[ x_1 = \frac{12 - 8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \] \[ x_2 = \frac{12 + 8}{8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} \] 4. Xác định khoảng nghiệm: - Ta có \(4x^2 - 12x + 5 \geq 0\) khi \(x \leq \frac{1}{2}\) hoặc \(x \geq \frac{5}{2}\). - Kết hợp với điều kiện \(x > \frac{5}{12}\), ta có: \[ \frac{5}{12} < x \leq \frac{1}{2} \quad \text{hoặc} \quad x \geq \frac{5}{2} \] 5. Tìm giá trị nhỏ nhất (m) và giá trị lớn nhất (M): - Tập nghiệm \(S\) là: \[ S = \left( \frac{5}{12}, \frac{1}{2} \right] \cup \left[ \frac{5}{2}, +\infty \right) \] - Giá trị nhỏ nhất \(m\) là \(\frac{5}{12}\). - Giá trị lớn nhất \(M\) là \(\frac{5}{2}\). 6. Kiểm tra các mệnh đề: - \(M - m = \frac{5}{2} - \frac{5}{12} = \frac{30}{12} - \frac{5}{12} = \frac{25}{12}\). - \(m + M = \frac{5}{12} + \frac{5}{2} = \frac{5}{12} + \frac{30}{12} = \frac{35}{12}\). Vậy các mệnh đề đúng là: - a) M - m = 3. (Sai) - b) M - m = 1. (Sai) - c) m + M = 3. (Sai) - d) m + M = 2. (Sai) Đáp án: Tất cả các mệnh đề đều sai.