Chứng minh rằng giữa ba số nguyên tố lớn hơn 3 luôn tìm được hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 12.

Giả sử ba số nguyên tố đó là a, b, c. Ta sẽ chứng minh rằng giữa ba số này luôn tìm được hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 12. Bước 1: Xác định tính chất của các số nguyên tố lớn hơn 3. - Các số nguyên tố lớn hơn 3 đều là số lẻ. - Các số nguyên tố lớn hơn 3 khi chia cho 6 sẽ dư 1 hoặc 5 (vì các số chia hết cho 2 hoặc 3 đều không phải là số nguyên tố). Bước 2: Xét các trường hợp của các số nguyên tố lớn hơn 3. - Số a có thể có dạng 6k + 1 hoặc 6k + 5 (với k là số nguyên). - Số b có thể có dạng 6m + 1 hoặc 6m + 5 (với m là số nguyên). - Số c có thể có dạng 6n + 1 hoặc 6n + 5 (với n là số nguyên). Bước 3: Xét các trường hợp tổng hoặc hiệu của các số nguyên tố. - Trường hợp 1: Nếu cả ba số đều có dạng 6k + 1. - Tổng của hai số 6k + 1 và 6m + 1 là (6k + 1) + (6m + 1) = 6(k + m) + 2, không chia hết cho 12. - Hiệu của hai số 6k + 1 và 6m + 1 là (6k + 1) - (6m + 1) = 6(k - m), chia hết cho 12 nếu k - m chia hết cho 2. - Trường hợp 2: Nếu cả ba số đều có dạng 6k + 5. - Tổng của hai số 6k + 5 và 6m + 5 là (6k + 5) + (6m + 5) = 6(k + m) + 10, không chia hết cho 12. - Hiệu của hai số 6k + 5 và 6m + 5 là (6k + 5) - (6m + 5) = 6(k - m), chia hết cho 12 nếu k - m chia hết cho 2. - Trường hợp 3: Nếu có hai số có dạng 6k + 1 và một số có dạng 6m + 5. - Tổng của hai số 6k + 1 và 6m + 5 là (6k + 1) + (6m + 5) = 6(k + m) + 6, chia hết cho 12. - Hiệu của hai số 6k + 1 và 6m + 5 là (6k + 1) - (6m + 5) = 6(k - m) - 4, không chia hết cho 12. - Trường hợp 4: Nếu có hai số có dạng 6k + 5 và một số có dạng 6m + 1. - Tổng của hai số 6k + 5 và 6m + 1 là (6k + 5) + (6m + 1) = 6(k + m) + 6, chia hết cho 12. - Hiệu của hai số 6k + 5 và 6m + 1 là (6k + 5) - (6m + 1) = 6(k - m) + 4, không chia hết cho 12. Từ các trường hợp trên, ta thấy rằng giữa ba số nguyên tố lớn hơn 3 luôn tìm được hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 12.