trả lời đúng sai

Câu 1: Để xác định tính đúng/sai của các mệnh đề, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. Mệnh đề a) \( B \cap D = \emptyset \) - Biến cố \( B \): "Ít nhất có một tấm thẻ ghi số chẵn". - Biến cố \( D \): "Tổng hai số ghi trên hai tấm thẻ là một số chẵn". Biến cố \( D \) xảy ra khi cả hai số đều chẵn hoặc cả hai số đều lẻ. Biến cố \( B \) xảy ra khi ít nhất một trong hai số là số chẵn. Do đó, \( B \cap D \) xảy ra khi cả hai số đều chẵn (vì khi đó tổng là số chẵn và ít nhất một số là số chẵn). Vậy \( B \cap D \neq \emptyset \). Mệnh đề này sai. Mệnh đề b) \( C = A \cup B \) - Biến cố \( C \): "Tích hai số ghi trên hai tấm thẻ là một số lẻ". Điều này xảy ra khi cả hai số đều lẻ. - Biến cố \( A \): "Hai tấm thẻ đều ghi số lẻ". - Biến cố \( B \): "Ít nhất có một tấm thẻ ghi số chẵn". \( A \cup B \) xảy ra khi ít nhất một trong hai số là số chẵn hoặc cả hai số đều lẻ. Điều này bao gồm tất cả các trường hợp trừ trường hợp cả hai số đều chẵn. Vì vậy, \( C \) chỉ xảy ra khi cả hai số đều lẻ, còn \( A \cup B \) bao gồm nhiều trường hợp hơn. Vậy \( C \neq A \cup B \). Mệnh đề này sai. Mệnh đề c) \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \) - Biến cố \( A \): "Hai tấm thẻ đều ghi số lẻ". - Biến cố \( B \): "Ít nhất có một tấm thẻ ghi số chẵn". \( A \cup B \) xảy ra khi ít nhất một trong hai số là số chẵn hoặc cả hai số đều lẻ. Điều này bao gồm tất cả các trường hợp trừ trường hợp cả hai số đều chẵn. Do đó, \( P(A \cup B) = 1 - P(\text{cả hai số đều chẵn}) \). \( P(A) \) là xác suất cả hai số đều lẻ, và \( P(B) \) là xác suất ít nhất một số là số chẵn. Vì \( A \) và \( B \) không độc lập, nên \( P(A \cup B) \neq P(A) + P(B) \). Vậy \( P(A \cup B) \neq P(A) + P(B) \). Mệnh đề này sai. Mệnh đề d) Biến cố \( A \) và \( D \) là hai biến cố không độc lập - Biến cố \( A \): "Hai tấm thẻ đều ghi số lẻ". - Biến cố \( D \): "Tổng hai số ghi trên hai tấm thẻ là một số chẵn". \( A \) xảy ra khi cả hai số đều lẻ. \( D \) xảy ra khi cả hai số đều chẵn hoặc cả hai số đều lẻ. Nếu \( A \) xảy ra, thì \( D \) cũng chắc chắn xảy ra vì tổng của hai số lẻ là số chẵn. Do đó, \( P(D|A) = 1 \), nhưng \( P(D) \neq 1 \). Vậy \( A \) và \( D \) không độc lập. Mệnh đề này đúng. Kết luận: - Mệnh đề a) sai. - Mệnh đề b) sai. - Mệnh đề c) sai. - Mệnh đề d) đúng. Câu 2: a) Phương trình vận tốc của vật là $V(t)=-3t^2+12t+15$ ( tính theo đơn vị m/s). b) Vật dừng lại sau khoảng thời gian kể từ lúc bắt đầu chuyển động là $t=4$ giây. c) Vận tốc lớn nhất mà vật đạt được trong quá trình chuyển động là 27(m/s). d) Quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến lúc đạt vận tốc lớn nhất là 45(m). Giải chi tiết: a) Phương trình vận tốc của vật là $V(t)=-3t^2+12t+15$ ( tính theo đơn vị m/s). b) Vật dừng lại khi vận tốc của vật bằng 0, tức là: \[ -3t^2 + 12t + 15 = 0 \] Chia cả hai vế cho -3: \[ t^2 - 4t - 5 = 0 \] Phương trình này có thể được giải bằng phương pháp phân tích: \[ (t - 5)(t + 1) = 0 \] Vậy ta có hai nghiệm: \[ t = 5 \quad \text{hoặc} \quad t = -1 \] Vì thời gian không thể âm nên ta loại nghiệm \( t = -1 \). Do đó, vật dừng lại sau khoảng thời gian: \[ t = 5 \text{ giây} \] c) Để tìm vận tốc lớn nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( V(t) = -3t^2 + 12t + 15 \). Ta sử dụng đạo hàm để tìm điểm cực đại: \[ V'(t) = -6t + 12 \] Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực đại: \[ -6t + 12 = 0 \implies t = 2 \] Ta kiểm tra đạo hàm ở hai bên điểm \( t = 2 \): - Khi \( t < 2 \), \( V'(t) > 0 \) - Khi \( t > 2 \), \( V'(t) < 0 \) Vậy \( t = 2 \) là điểm cực đại. Ta thay \( t = 2 \) vào phương trình vận tốc: \[ V(2) = -3(2)^2 + 12(2) + 15 = -12 + 24 + 15 = 27 \text{ m/s} \] d) Quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến lúc đạt vận tốc lớn nhất là: \[ S(2) = -(2)^3 + 6(2)^2 + 15(2) = -8 + 24 + 30 = 46 \text{ m} \] Đáp số: a) Phương trình vận tốc của vật là \( V(t) = -3t^2 + 12t + 15 \) (tính theo đơn vị m/s). b) Vật dừng lại sau khoảng thời gian 5 giây. c) Vận tốc lớn nhất mà vật đạt được trong quá trình chuyển động là 27 m/s. d) Quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến lúc đạt vận tốc lớn nhất là 46 m. Câu 3: Trước tiên, ta xác định các tính chất của hình chóp S.ABCD: - Đáy ABCD là hình vuông, do đó các cạnh AB, BC, CD, DA bằng nhau và các góc ở đáy đều là 90°. - Mặt bên SAB là tam giác đều, tức là SA = SB = AB và góc ASB = 60°. - Mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy (ABCD). Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng phát biểu: a) SA. CD: - Vì ABCD là hình vuông, nên CD vuông góc với AD. - Mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy (ABCD), do đó SA vuông góc với đáy (ABCD). - Do đó, SA vuông góc với CD. b) SH ⊥ (ABCD): - H là trung điểm của AB, do đó SH là đường cao của tam giác đều SAB. - Mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy (ABCD), do đó SH vuông góc với đáy (ABCD). c) AD ⊥ (SAB): - AD nằm trong mặt phẳng (ABCD) và vuông góc với AB. - Mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy (ABCD), do đó AD không vuông góc với (SAB). d) ((SAB), (SAD)) = 90°: - Mặt phẳng (SAB) và (SAD) chia sẻ cạnh SA. - Vì ABCD là hình vuông, nên góc BAD = 90°. - Mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy (ABCD), do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là 90°. Kết luận: a) SA. CD đúng vì SA vuông góc với CD. b) SH ⊥ (ABCD) đúng vì SH là đường cao của tam giác đều SAB và vuông góc với đáy (ABCD). c) AD ⊥ (SAB) sai vì AD không vuông góc với (SAB). d) ((SAB), (SAD)) = 90° đúng vì góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là 90°. Đáp án: a, b, d. Câu 4: Để giải quyết từng phần của câu hỏi, chúng ta sẽ tính xác suất cho từng trường hợp theo yêu cầu. a) Xác suất để lấy được thẻ đánh số chia hết cho 3 Các số chia hết cho 3 trong khoảng từ 1 đến 30 là: \[ 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 \] Số lượng các số này là 10. Xác suất để lấy được thẻ đánh số chia hết cho 3 là: \[ P(\text{chia hết cho 3}) = \frac{\text{số lượng các số chia hết cho 3}}{\text{số lượng tổng các số}} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \] b) Xác suất để lấy được thẻ đánh số chia hết cho 4 Các số chia hết cho 4 trong khoảng từ 1 đến 30 là: \[ 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 \] Số lượng các số này là 7. Xác suất để lấy được thẻ đánh số chia hết cho 4 là: \[ P(\text{chia hết cho 4}) = \frac{\text{số lượng các số chia hết cho 4}}{\text{số lượng tổng các số}} = \frac{7}{30} \] c) Xác suất để lấy được thẻ đánh số chia hết cho cả 3 và 4 (tức là chia hết cho 12) Các số chia hết cho 12 trong khoảng từ 1 đến 30 là: \[ 12, 24 \] Số lượng các số này là 2. Xác suất để lấy được thẻ đánh số chia hết cho cả 3 và 4 là: \[ P(\text{chia hết cho 3 và 4}) = \frac{\text{số lượng các số chia hết cho 12}}{\text{số lượng tổng các số}} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \] d) Xác suất để lấy được thẻ đánh số chia hết cho 3 hoặc 4 Áp dụng công thức xác suất của sự kiện "A hoặc B": \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] Trong đó: - \( P(A) \) là xác suất để lấy được thẻ chia hết cho 3. - \( P(B) \) là xác suất để lấy được thẻ chia hết cho 4. - \( P(A \cap B) \) là xác suất để lấy được thẻ chia hết cho cả 3 và 4. Ta đã tính: \[ P(A) = \frac{1}{3}, \quad P(B) = \frac{7}{30}, \quad P(A \cap B) = \frac{1}{15} \] Do đó: \[ P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{7}{30} - \frac{1}{15} \] Chuyển tất cả các phân số về cùng mẫu số 30: \[ \frac{1}{3} = \frac{10}{30}, \quad \frac{1}{15} = \frac{2}{30} \] Tính: \[ P(A \cup B) = \frac{10}{30} + \frac{7}{30} - \frac{2}{30} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2} \] Kết luận: a) Xác suất để lấy được thẻ đánh số chia hết cho 3 là $\frac{1}{3}$. b) Xác suất để lấy được thẻ đánh số chia hết cho 4 là $\frac{7}{30}$. c) Xác suất để lấy được thẻ đánh số chia hết cho cả 3 và 4 là $\frac{1}{15}$. d) Xác suất để lấy được thẻ đánh số chia hết cho 3 hoặc 4 là $\frac{1}{2}$. Câu 5. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Bước 1: Xác định các biến cố - Biến cố \( A \): "Rút được một thẻ đánh số chẵn và một thẻ đánh số lẻ". - Biến cố \( B \): "Rút được hai thẻ đều đánh số chẵn". Bước 2: Xác định biến cố "Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn" Biến cố "Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn" xảy ra khi: - Một trong hai số là số chẵn (vì tích của một số chẵn và bất kỳ số nào cũng là số chẵn). Do đó, biến cố này bao gồm cả hai trường hợp: - Rút được một thẻ đánh số chẵn và một thẻ đánh số lẻ (biến cố \( A \)). - Rút được hai thẻ đều đánh số chẵn (biến cố \( B \)). Vậy biến cố "Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn" là \( A \cup B \). Đáp án đúng là: \[ a) Biến cố "Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn" là \( A \cup B \). \] Bước 3: Kiểm tra tính độc lập của biến cố \( A \) và \( B \) - Biến cố \( A \) và \( B \) là hai biến cố độc lập vì không thể cùng xảy ra (không thể vừa rút được một thẻ chẵn và một thẻ lẻ vừa rút được hai thẻ đều chẵn). Do đó, xác suất của biến cố \( A \cup B \) là: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \] Đáp án đúng là: \[ b) P(A \cup B) = P(A) + P(B) \] Bước 4: So sánh \( P(A) \) và \( P(B) \) - Số thẻ chẵn là 10 (từ 2, 4, 6, ..., 20). - Số thẻ lẻ là 10 (từ 1, 3, 5, ..., 19). Xác suất của biến cố \( A \): \[ P(A) = \frac{\text{số cách chọn 1 thẻ chẵn và 1 thẻ lẻ}}{\text{số cách chọn 2 thẻ từ 20 thẻ}} = \frac{10 \times 10}{\binom{20}{2}} = \frac{100}{190} = \frac{10}{19} \] Xác suất của biến cố \( B \): \[ P(B) = \frac{\text{số cách chọn 2 thẻ chẵn từ 10 thẻ chẵn}}{\text{số cách chọn 2 thẻ từ 20 thẻ}} = \frac{\binom{10}{2}}{\binom{20}{2}} = \frac{45}{190} = \frac{9}{38} \] So sánh \( P(A) \) và \( P(B) \): \[ \frac{10}{19} > \frac{9}{38} \] Vậy \( P(A) > P(B) \). Đáp án sai là: \[ c) P(A) < P(B) \] Bước 5: Tính xác suất để kết quả nhận được là một số chẵn Xác suất để kết quả nhận được là một số chẵn là: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{10}{19} + \frac{9}{38} = \frac{20}{38} + \frac{9}{38} = \frac{29}{38} \] Đáp án đúng là: \[ d) Xác suất để kết quả nhận được là một số chẵn là: \frac{29}{38} \] Kết luận Đáp án đúng là: \[ a) Biến cố "Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn" là \( A \cup B \). \] \[ b) P(A \cup B) = P(A) + P(B) \] \[ d) Xác suất để kết quả nhận được là một số chẵn là: \frac{29}{38} \]