giúp tớ với ạ Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC và $SA\bot(ABC).$ Biết $AC=4a,~AB=3a,$,$BC=5a,~SA=4a.$ Tính số đo của góc nhị diện $[A,SC,B].$

Question

giúp tớ với ạ  Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC và $SA\bot(ABC).$ Biết $AC=4a,~AB=3a,$,$BC=5a,~SA=4a.$ Tính số đo của góc nhị diện $[A,SC,B].$

Mua hàng shopee · Accepted Answer

{"userId":5157448,"userName":"fishsy"}

Để tính số đo của góc nhị diện $[A, SC, B]$, ta thực hiện các bước sau:

1. Phân tích tính chất của tam giác $ABC$:

Ta có $AB = 3a$, $AC = 4a$, $BC = 5a$.

Xét $AB^2 + AC^2 = (3a)^2 + (4a)^2 = 9a^2 + 16a^2 = 25a^2$.

Mặt khác, $BC^2 = (5a)^2 = 25a^2$.

Vì $AB^2 + AC^2 = BC^2$, theo định lý Pythagoras đảo, tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Do đó, $AB \perp AC$.

2. Chứng minh $AB \perp (SAC)$:

Ta có $SA \perp (ABC)$ (giả thiết).

Vì $AC \subset (ABC)$, suy ra $SA \perp AC$.

Ta có $AB \perp AC$ (chứng minh ở trên).

Vì $AB \perp SA$ và $AB \perp AC$, mà $SA$ và $AC$ là hai đường thẳng cắt nhau chứa trong mặt phẳng $(SAC)$, suy ra $AB \perp (SAC)$.

3. Xác định góc nhị diện:

Góc nhị diện $[A, SC, B]$ là góc giữa hai mặt phẳng $(ASC)$ và $(BSC)$.

Trong mặt phẳng $(SAC)$, vì $ riangle SAC$ vuông tại $A$ (do $SA \perp AC$), kẻ đường cao $AH \perp SC$ ($H \in SC$). (1)

Vì $AB \perp (SAC)$ (chứng minh trên) và $SC \subset (SAC)$, suy ra $AB \perp SC$. (2)

Từ (1) và (2) ta có $SC \perp AH$ và $SC \perp AB$.

Hai đường thẳng $AH$ và $AB$ cắt nhau tại $A$ và cùng nằm trong mặt phẳng $(ABH)$.

Do đó, $SC \perp (ABH)$.

Vì $BH \subset (ABH)$, suy ra $SC \perp BH$. (3)

Từ (1) và (3), ta có $AH \perp SC$ và $BH \perp SC$.

Vậy, góc nhị diện $[A, SC, B]$ chính là góc $\widehat{AHB}$.

4. Tính độ dài các cạnh liên quan và số đo góc $\widehat{AHB}$:

Vì $AB \perp (SAC)$ và $AH \subset (SAC)$, suy ra $AB \perp AH$.

Do đó, tam giác $ABH$ vuông tại $A$.

Xét tam giác $SAC$ vuông tại $A$:

$SA = 4a$, $AC = 4a$.

Đây là tam giác vuông cân tại $A$.

Độ dài cạnh huyền $SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{(4a)^2 + (4a)^2} = \sqrt{16a^2 + 16a^2} = \sqrt{32a^2} = 4a\sqrt{2}$.

$AH$ là đường cao ứng với cạnh huyền $SC$, nên $AH \cdot SC = SA \cdot AC$.

$AH = \frac{SA \cdot AC}{SC} = \frac{4a \cdot 4a}{4a\sqrt{2}} = \frac{4a}{\sqrt{2}} = 2a\sqrt{2}$.

(Hoặc, do $ riangle SAC$ vuông cân tại $A$, $AH$ cũng là trung tuyến nên $AH = \frac{1}{2}SC = \frac{1}{2}(4a\sqrt{2}) = 2a\sqrt{2}$).

Xét tam giác $ABH$ vuông tại $A$:

$AB = 3a$ (giả thiết).

$AH = 2a\sqrt{2}$ (tính ở trên).

Ta có $ an(\widehat{AHB}) = \frac{AB}{AH} = \frac{3a}{2a\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Timi · Answer

Câu 3:
Trước tiên, ta xác định góc giữa hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SCB)$ là góc giữa hai đường thẳng $AD$ và $BD$, trong đó $D$ là hình chiếu của điểm $A$ lên đường thẳng $SC$.

Ta có:
- Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ vì $AC^2 + AB^2 = BC^2$ (điều này đúng theo Pythagoras).
- $SA \perp (ABC)$ nên $SA \perp AC$ và $SA \perp AB$.

Do đó, tam giác $SAC$ vuông tại $A$ và tam giác $SAB$ cũng vuông tại $A$.

Bây giờ, ta tính diện tích tam giác $SAC$ và tam giác $SCB$ để tìm chiều cao hạ từ đỉnh $A$ xuống cạnh $SC$.

Diện tích tam giác $SAC$:
$$ S_{SAC} = \frac{1}{2} \times SA \times AC = \frac{1}{2} \times 4a \times 4a = 8a^2 $$

Diện tích tam giác $SCB$:
$$ S_{SCB} = \frac{1}{2} \times SC \times BD $$
Trong đó, $SC$ là cạnh chung của cả hai tam giác $SAC$ và $SCB$. Ta tính $SC$ bằng công thức Pythagoras trong tam giác $SAC$:
$$ SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{(4a)^2 + (4a)^2} = \sqrt{16a^2 + 16a^2} = \sqrt{32a^2} = 4a\sqrt{2} $$

Diện tích tam giác $SCB$ cũng có thể tính bằng:
$$ S_{SCB} = \frac{1}{2} \times BC \times SA = \frac{1}{2} \times 5a \times 4a = 10a^2 $$

Bây giờ, ta tìm chiều cao hạ từ đỉnh $A$ xuống cạnh $SC$:
$$ AD = \frac{2 \times S_{SAC}}{SC} = \frac{2 \times 8a^2}{4a\sqrt{2}} = \frac{16a^2}{4a\sqrt{2}} = \frac{4a}{\sqrt{2}} = 2a\sqrt{2} $$

Tương tự, ta tìm chiều cao hạ từ đỉnh $B$ xuống cạnh $SC$:
$$ BD = \frac{2 \times S_{SCB}}{SC} = \frac{2 \times 10a^2}{4a\sqrt{2}} = \frac{20a^2}{4a\sqrt{2}} = \frac{5a}{\sqrt{2}} = \frac{5a\sqrt{2}}{2} $$

Góc giữa hai đường thẳng $AD$ và $BD$ chính là góc giữa hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SCB)$. Ta sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian:
$$ \cos(\theta) = \frac{AD \cdot BD}{|AD| \cdot |BD|} $$

Trong đó, $AD$ và $BD$ là các véc-tơ từ $D$ đến $A$ và $B$ tương ứng. Ta có:
$$ |AD| = 2a\sqrt{2}, \quad |BD| = \frac{5a\sqrt{2}}{2} $$

Góc $\theta$ giữa hai đường thẳng $AD$ và $BD$ là góc giữa hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SCB)$, do đó:
$$ \cos(\theta) = \frac{AD \cdot BD}{|AD| \cdot |BD|} = \frac{2a\sqrt{2} \cdot \frac{5a\sqrt{2}}{2}}{2a\sqrt{2} \cdot \frac{5a\sqrt{2}}{2}} = \frac{10a^2}{10a^2} = 1 $$

Vậy góc $\theta$ là:
$$ \theta = \cos^{-1}(1) = 0^\circ $$

Như vậy, góc nhị diện $[A,SC,B]$ là $90^\circ$.

Đáp số: Góc nhị diện $[A,SC,B]$ là $90^\circ$.