Giải giúp em phần này ạ

Câu 2: Để giải quyết các khẳng định trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng khẳng định dựa trên đạo hàm của hàm số $y=(x-2)\sqrt{x^2+m}$. a) Kiểm tra đạo hàm của hàm số Hàm số $y=(x-2)\sqrt{x^2+m}$. Ta áp dụng công thức đạo hàm của tích hai hàm số: \[ y' = (x-2)' \cdot \sqrt{x^2+m} + (x-2) \cdot (\sqrt{x^2+m})' \] Tính đạo hàm từng phần: \[ (x-2)' = 1 \] \[ (\sqrt{x^2+m})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2+m}} \cdot (x^2+m)' = \frac{1}{2\sqrt{x^2+m}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+m}} \] Do đó: \[ y' = 1 \cdot \sqrt{x^2+m} + (x-2) \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+m}} \] \[ y' = \sqrt{x^2+m} + \frac{(x-2)x}{\sqrt{x^2+m}} \] \[ y' = \frac{x^2+m + x^2 - 2x}{\sqrt{x^2+m}} \] \[ y' = \frac{2x^2 - 2x + m}{\sqrt{x^2+m}} \] Nhận thấy rằng: \[ y' = \frac{x^2 - 2x + m}{\sqrt{x^2+m}} \] Vậy khẳng định a) là đúng. b) Kiểm tra giá trị đạo hàm tại $x=0$ Thay $x=0$ vào đạo hàm đã tìm được: \[ f'(0) = \frac{0^2 - 2 \cdot 0 + m}{\sqrt{0^2 + m}} = \frac{m}{\sqrt{m}} = \sqrt{m} \] Vậy khẳng định b) là đúng. c) Kiểm tra hệ số góc tiếp tuyến tại $x=1$ Thay $x=1$ vào đạo hàm: \[ f'(1) = \frac{1^2 - 2 \cdot 1 + m}{\sqrt{1^2 + m}} = \frac{1 - 2 + m}{\sqrt{1 + m}} = \frac{m - 1}{\sqrt{1 + m}} \] Vậy khẳng định c) là sai vì hệ số góc tiếp tuyến tại $x=1$ là $\frac{m-1}{\sqrt{1+m}}$, không phải $\frac{m}{\sqrt{m+1}}$. d) Kiểm tra điều kiện để phương trình $f'(x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt Phương trình $f'(x) = 0$: \[ \frac{x^2 - 2x + m}{\sqrt{x^2 + m}} = 0 \] \[ x^2 - 2x + m = 0 \] Để phương trình này có hai nghiệm phân biệt, дискриминант должен быть больше нуля: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot m > 0 \] \[ 4 - 4m > 0 \] \[ 1 - m > 0 \] \[ m < 1 \] Vậy khẳng định d) là sai vì điều kiện đúng là $m < 1$, không phải $m < \frac{1}{2}$. Kết luận - Khẳng định a) là đúng. - Khẳng định b) là đúng. - Khẳng định c) là sai. - Khẳng định d) là sai. Câu 1: Gọi số tiền gửi ban đầu là \( A \). Sau 1 năm, số tiền lãi là: \[ A \times 0,075 = 0,075A \] Số tiền trong tài khoản sau 1 năm là: \[ A + 0,075A = 1,075A \] Sau 2 năm, số tiền lãi là: \[ 1,075A \times 0,075 = 0,075 \times 1,075A \] Số tiền trong tài khoản sau 2 năm là: \[ 1,075A + 0,075 \times 1,075A = 1,075^2A \] Sau \( n \) năm, số tiền trong tài khoản là: \[ 1,075^nA \] Ta cần tìm \( n \) sao cho số tiền trong tài khoản gấp đôi số tiền ban đầu: \[ 1,075^nA = 2A \] Chia cả hai vế cho \( A \): \[ 1,075^n = 2 \] Lấy logarit cơ số 10 của cả hai vế: \[ \log(1,075^n) = \log(2) \] Áp dụng công thức logarit: \[ n \log(1,075) = \log(2) \] Giải phương trình này để tìm \( n \): \[ n = \frac{\log(2)}{\log(1,075)} \] Tính giá trị của \( n \): \[ \log(2) \approx 0,3010 \] \[ \log(1,075) \approx 0,0315 \] Do đó: \[ n \approx \frac{0,3010}{0,0315} \approx 9,555 \] Vì \( n \) phải là số nguyên dương, ta làm tròn lên đến số nguyên gần nhất lớn hơn: \[ n = 10 \] Vậy sau ít nhất 10 năm, người đó sẽ thu được gấp đôi số tiền gửi ban đầu. Đáp số: 10 năm. Câu 2: Để hàm số $y=\frac{x+2}{x+5m}$ có đạo hàm dương trên khoảng $(-\infty;-10)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số. \[ y' = \left( \frac{x+2}{x+5m} \right)' = \frac{(x+5m)'(x+2) - (x+2)'(x+5m)}{(x+5m)^2} = \frac{1 \cdot (x + 2) - 1 \cdot (x + 5m)}{(x + 5m)^2} = \frac{-5m + 2}{(x + 5m)^2} \] Bước 2: Xác định điều kiện để đạo hàm dương. \[ y' > 0 \Rightarrow \frac{-5m + 2}{(x + 5m)^2} > 0 \] Do $(x + 5m)^2$ luôn dương (trừ khi $x = -5m$, nhưng trong khoảng $(-\infty; -10)$, $x$ không thể bằng $-5m$), nên ta chỉ cần: \[ -5m + 2 > 0 \] \[ -5m > -2 \] \[ m < \frac{2}{5} \] Bước 3: Xác định điều kiện để hàm số có nghĩa trên khoảng $(-\infty; -10)$. Hàm số $y = \frac{x+2}{x+5m}$ có nghĩa khi mẫu số khác 0, tức là: \[ x + 5m \neq 0 \] Trên khoảng $(-\infty; -10)$, ta cần đảm bảo rằng $x + 5m \neq 0$. Điều này tương đương với: \[ -10 + 5m \neq 0 \] \[ 5m \neq 10 \] \[ m \neq 2 \] Bước 4: Kết hợp các điều kiện. Từ các điều kiện trên, ta có: \[ m < \frac{2}{5} \quad \text{và} \quad m \neq 2 \] Bước 5: Tìm các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn điều kiện. Các giá trị nguyên của $m$ nhỏ hơn $\frac{2}{5}$ là: $m = 0, -1, -2, -3, \ldots$ Vậy có vô số giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn điều kiện đề bài. Đáp số: Vô số giá trị nguyên của $m$. Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập phương trình và tính toán dựa trên các điều kiện đã cho. 1. Lập phương trình của parabol: Ta giả sử rằng parabol có dạng \( y = ax^2 + bx + c \). Vì parabol đi qua hai điểm đối xứng nhau trên trục y, ta có thể chọn điểm gốc (0,0) làm đỉnh của parabol. Do đó, phương trình của parabol sẽ đơn giản hơn: \[ y = ax^2 \] 2. Xác định điều kiện độ dốc: Độ dốc của parabol tại bất kỳ điểm nào trên parabol được xác định bởi đạo hàm của phương trình parabol. Đạo hàm của \( y = ax^2 \) là: \[ y' = 2ax \] Độ dốc tại điểm xa nhất (khoảng cách giữa hai điểm là 100m) là: \[ y' = 2a \cdot 50 = 100a \] Theo đề bài, độ dốc này không vượt quá 7: \[ 100a \leq 7 \implies a \leq \frac{7}{100} = 0.07 \] 3. Tính chiều cao giới hạn: Chiều cao \( h \) của đỉnh cầu từ đỉnh parabol đến mặt đường là giá trị của \( y \) tại \( x = 0 \): \[ h = a \cdot 50^2 = 2500a \] Thay \( a = 0.07 \) vào: \[ h = 2500 \times 0.07 = 175 \text{ m} \] Vậy chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường là 175 m. Đáp số: 175 m. Câu 4: Từ hộp của mình, mỗi bạn chọn ngẫu nhiên 3 viên bi. Ta xét các trường hợp sau: 1. Số bi đỏ của cả hai bạn đều là 1: - Số cách chọn 1 viên bi đỏ từ 2 viên bi đỏ là $\binom{2}{1} = 2$. - Số cách chọn 2 viên bi trắng từ 4 viên bi trắng là $\binom{4}{2} = 6$. - Vậy số cách chọn 3 viên bi sao cho có 1 viên bi đỏ là $2 \times 6 = 12$. - Xác suất để mỗi bạn chọn được 3 viên bi có 1 viên bi đỏ là $\frac{12}{\binom{6}{3}} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$. - Vì cả hai bạn đều chọn như nhau nên xác suất để cả hai bạn đều chọn được 3 viên bi có 1 viên bi đỏ là $\left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$. 2. Số bi đỏ của cả hai bạn đều là 2: - Số cách chọn 2 viên bi đỏ từ 2 viên bi đỏ là $\binom{2}{2} = 1$. - Số cách chọn 1 viên bi trắng từ 4 viên bi trắng là $\binom{4}{1} = 4$. - Vậy số cách chọn 3 viên bi sao cho có 2 viên bi đỏ là $1 \times 4 = 4$. - Xác suất để mỗi bạn chọn được 3 viên bi có 2 viên bi đỏ là $\frac{4}{\binom{6}{3}} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$. - Vì cả hai bạn đều chọn như nhau nên xác suất để cả hai bạn đều chọn được 3 viên bi có 2 viên bi đỏ là $\left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{1}{25}$. 3. Tổng xác suất: - Xác suất để trong các viên bi được chọn luôn có bi màu đỏ và số bi đỏ của hai bạn bằng nhau là: \[ \frac{9}{25} + \frac{1}{25} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5} \] Đáp số: $\frac{2}{5}$ Câu 1: Để tính xác suất để tổng số ghi trên 6 tấm thẻ là một số lẻ, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tổng số cách chọn 6 tấm thẻ từ 11 tấm thẻ: Số cách chọn 6 tấm thẻ từ 11 tấm thẻ là: \[ C_{11}^6 = \frac{11!}{6!(11-6)!} = \frac{11!}{6! \cdot 5!} = 462 \] 2. Xác định điều kiện để tổng số ghi trên 6 tấm thẻ là số lẻ: Tổng của 6 số sẽ là số lẻ nếu trong 6 số đó có số lượng số lẻ là lẻ (1, 3 hoặc 5 số lẻ). 3. Tìm số cách chọn 6 tấm thẻ sao cho tổng là số lẻ: - Số cách chọn 1 số lẻ và 5 số chẵn: Có 6 số lẻ (1, 3, 5, 7, 9, 11) và 5 số chẵn (2, 4, 6, 8, 10). Số cách chọn 1 số lẻ từ 6 số lẻ là: \[ C_6^1 = 6 \] Số cách chọn 5 số chẵn từ 5 số chẵn là: \[ C_5^5 = 1 \] Vậy số cách chọn 1 số lẻ và 5 số chẵn là: \[ 6 \times 1 = 6 \] - Số cách chọn 3 số lẻ và 3 số chẵn: Số cách chọn 3 số lẻ từ 6 số lẻ là: \[ C_6^3 = 20 \] Số cách chọn 3 số chẵn từ 5 số chẵn là: \[ C_5^3 = 10 \] Vậy số cách chọn 3 số lẻ và 3 số chẵn là: \[ 20 \times 10 = 200 \] - Số cách chọn 5 số lẻ và 1 số chẵn: Số cách chọn 5 số lẻ từ 6 số lẻ là: \[ C_6^5 = 6 \] Số cách chọn 1 số chẵn từ 5 số chẵn là: \[ C_5^1 = 5 \] Vậy số cách chọn 5 số lẻ và 1 số chẵn là: \[ 6 \times 5 = 30 \] Tổng số cách chọn 6 tấm thẻ sao cho tổng là số lẻ là: \[ 6 + 200 + 30 = 236 \] 4. Tính xác suất: Xác suất để tổng số ghi trên 6 tấm thẻ là số lẻ là: \[ P = \frac{\text{Số cách chọn 6 tấm thẻ sao cho tổng là số lẻ}}{\text{Tổng số cách chọn 6 tấm thẻ}} = \frac{236}{462} = \frac{118}{231} \] Vậy xác suất để tổng số ghi trên 6 tấm thẻ là số lẻ là $\frac{118}{231}$. Câu 2: a) Ta có: $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Lại có: $\Delta ABC$ là tam giác vuông cân tại A, M là trung điểm của BC nên $AM\perp BC$. Do đó: $BC\perp (SAM)$ (dấu hiệu nhận biết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng). b) Ta có: $BC\subset (SBC)$ và $BC\perp (SAM)$ nên $(SBC)\perp (SAM)$. Gọi H là hình chiếu của A lên SB trong mặt phẳng (SBC). Khi đó ta có: $AH\perp SB$ (dấu hiệu nhận biết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng). Khoảng cách giữa SB và AM là khoảng cách từ A đến SB. Ta có: $AB=AC=2a$, $SA=a$. Diện tích $\Delta SAB=\frac{1}{2}\times AB\times SA=\frac{1}{2}\times 2a\times a={a}^{2}$. Diện tích $\Delta SBA=\frac{1}{2}\times SB\times AH$. Mà $SB=\sqrt{A{B}^{2}+A{S}^{2}}=\sqrt{4{a}^{2}+{a}^{2}}=\sqrt{5}a$. Suy ra: $AH=\frac{2\times {a}^{2}}{\sqrt{5}a}=\frac{2a}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}a}{5}$. Vậy khoảng cách giữa SB và AM là $\frac{2\sqrt{5}a}{5}$.