Chép đề bài ra, không cần giải

Câu 56. Để tính khoảng cách từ O đến mặt (SCD), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích đáy (SCD): - Ta biết rằng SABCD là hình chóp đều, do đó đáy ABCD là hình vuông. - Diện tích đáy ABCD là: \[ S_{ABCD} = AB^2 = 5,1^2 = 26,01 \text{ cm}^2 \] - Diện tích tam giác SCD là một phần tư diện tích toàn bộ đáy ABCD: \[ S_{SCD} = \frac{1}{4} \times 26,01 = 6,5025 \text{ cm}^2 \] 2. Tính chiều cao SO của hình chóp: - Vì SABCD là hình chóp đều, SO là đường cao hạ từ đỉnh S xuống tâm O của đáy ABCD. - Ta có: \[ SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} \] - Trong đó, OA là bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD, tức là: \[ OA = \frac{AC}{2} = \frac{AB\sqrt{2}}{2} = \frac{5,1\sqrt{2}}{2} = 3,609 \text{ cm} \] - Do đó: \[ SO = \sqrt{8,6^2 - 3,609^2} = \sqrt{73,96 - 13,02} = \sqrt{60,94} \approx 7,8 \text{ cm} \] 3. Tính thể tích hình chóp SABCD: - Thể tích hình chóp SABCD là: \[ V_{SABCD} = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SO = \frac{1}{3} \times 26,01 \times 7,8 \approx 67,626 \text{ cm}^3 \] 4. Tính thể tích hình chóp SBCD: - Vì SBCD là một phần tư của SABCD, nên thể tích của nó là: \[ V_{SBCD} = \frac{1}{4} \times V_{SABCD} = \frac{1}{4} \times 67,626 \approx 16,9065 \text{ cm}^3 \] 5. Tính khoảng cách từ O đến mặt (SCD): - Gọi khoảng cách từ O đến mặt (SCD) là h. - Thể tích hình chóp SBCD cũng có thể được tính qua diện tích đáy SCD và khoảng cách từ O đến mặt (SCD): \[ V_{SBCD} = \frac{1}{3} \times S_{SCD} \times h \] - Do đó: \[ 16,9065 = \frac{1}{3} \times 6,5025 \times h \] - Giải ra h: \[ h = \frac{16,9065 \times 3}{6,5025} \approx 8 \text{ cm} \] Vậy khoảng cách từ O đến mặt (SCD) là 8 cm. Câu 57. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình parabol: Ta giả sử rằng đỉnh của parabol nằm ở điểm $(0, h)$ và hai điểm đầu cầu nằm ở $(\pm 200, 0)$. Phương trình parabol có dạng: \[ y = ax^2 + h \] Vì hai điểm đầu cầu là $(\pm 200, 0)$, ta thay vào phương trình: \[ 0 = a(200)^2 + h \implies 0 = 40000a + h \implies h = -40000a \] 2. Tìm đạo hàm để xác định độ dốc: Độ dốc của parabol tại bất kỳ điểm nào trên đó được xác định bởi đạo hàm của phương trình parabol: \[ y' = 2ax \] Độ dốc tại điểm $(x, y)$ là $2ax$. Theo đề bài, độ dốc không vượt quá 10', tức là: \[ |2ax| \leq \tan(10') = \tan\left(\frac{\pi}{108}\right) \] Ta biết rằng $\tan(10')$ rất nhỏ, gần bằng 0.002908882. Do đó: \[ |2ax| \leq 0.002908882 \] Tại điểm xa nhất từ đỉnh cầu, $x = 200$, ta có: \[ |2a \cdot 200| \leq 0.002908882 \implies |400a| \leq 0.002908882 \implies |a| \leq \frac{0.002908882}{400} \approx 0.000007272 \] 3. Tính chiều cao giới hạn: Ta đã có $h = -40000a$. Thay giá trị của $a$ vào: \[ h = -40000 \times (-0.000007272) \approx 0.29088 \] Vậy chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường là khoảng 0.3 mét (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất). Đáp số: Chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường là 0.3 mét.