helpppppppp

Câu 73. Để giải quyết các câu hỏi về khoảng cách trong hình chóp S.ABCD, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) 1. Xác định tâm O của đáy ABCD: Vì ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O của đáy là giao điểm của các đường chéo AC và BD. Ta có OA = OB = OC = OD = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$. 2. Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC): - Mặt phẳng (SBC) đi qua B, C và S. - Ta hạ đường cao DH từ D vuông góc với mặt phẳng (SBC). 3. Tính diện tích SBC: - Diện tích tam giác SBC = $\frac{1}{2} \times BC \times SO$. - SO là đường cao hạ từ S xuống đáy ABCD, vì SA = $a\sqrt{3}$ và SA vuông góc với đáy, ta có SO = $a\sqrt{2}$. - Diện tích SBC = $\frac{1}{2} \times a \times a\sqrt{2} = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}$. 4. Diện tích SBD: - Diện tích tam giác SBD = $\frac{1}{2} \times BD \times SO$. - BD = $a\sqrt{2}$. - Diện tích SBD = $\frac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times a\sqrt{2} = \frac{a^2}{2}$. 5. Áp dụng công thức thể tích chóp: - Thể tích chóp SBCD = $\frac{1}{3} \times S_{BCD} \times SO$. - SBCD = $\frac{1}{2} \times a \times a = \frac{a^2}{2}$. - Thể tích chóp SBCD = $\frac{1}{3} \times \frac{a^2}{2} \times a\sqrt{2} = \frac{a^3\sqrt{2}}{6}$. 6. Tính khoảng cách DH: - Thể tích chóp SBCD cũng có thể tính qua diện tích SBC và khoảng cách DH. - $\frac{1}{3} \times S_{SBC} \times DH = \frac{a^3\sqrt{2}}{6}$. - $\frac{1}{3} \times \frac{a^2\sqrt{2}}{2} \times DH = \frac{a^3\sqrt{2}}{6}$. - $DH = \frac{a^3\sqrt{2}}{6} \times \frac{6}{a^2\sqrt{2}} = a$. b) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SDB) 1. Xác định tâm O của đáy ABCD: Tâm O của đáy là giao điểm của các đường chéo AC và BD. Ta có OA = OB = OC = OD = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$. 2. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SDB): - Mặt phẳng (SDB) đi qua D, B và S. - Ta hạ đường cao CH từ C vuông góc với mặt phẳng (SDB). 3. Tính diện tích SDB: - Diện tích tam giác SDB = $\frac{1}{2} \times BD \times SO$. - BD = $a\sqrt{2}$. - Diện tích SDB = $\frac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times a\sqrt{2} = \frac{a^2}{2}$. 4. Diện tích SDC: - Diện tích tam giác SDC = $\frac{1}{2} \times DC \times SO$. - DC = a. - Diện tích SDC = $\frac{1}{2} \times a \times a\sqrt{2} = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}$. 5. Áp dụng công thức thể tích chóp: - Thể tích chóp SDCB = $\frac{1}{3} \times S_{DCB} \times SO$. - SDCB = $\frac{1}{2} \times a \times a = \frac{a^2}{2}$. - Thể tích chóp SDCB = $\frac{1}{3} \times \frac{a^2}{2} \times a\sqrt{2} = \frac{a^3\sqrt{2}}{6}$. 6. Tính khoảng cách CH: - Thể tích chóp SDCB cũng có thể tính qua diện tích SDB và khoảng cách CH. - $\frac{1}{3} \times S_{SDB} \times CH = \frac{a^3\sqrt{2}}{6}$. - $\frac{1}{3} \times \frac{a^2}{2} \times CH = \frac{a^3\sqrt{2}}{6}$. - $CH = \frac{a^3\sqrt{2}}{6} \times \frac{6}{a^2} = a\sqrt{2}$. c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC 1. Xác định tâm O của đáy ABCD: Tâm O của đáy là giao điểm của các đường chéo AC và BD. Ta có OA = OB = OC = OD = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$. 2. Tìm mặt phẳng chứa SC và song song với AD: - Mặt phẳng này sẽ chứa SC và song song với AD. - Ta hạ đường cao từ A vuông góc với SC, gọi giao điểm là H. 3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC: - Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm trên một đường thẳng đến mặt phẳng chứa đường thẳng còn lại và song song với đường thẳng đó. - Ta hạ đường cao từ A vuông góc với SC, gọi giao điểm là H. - Khoảng cách giữa AD và SC là khoảng cách từ A đến SC. 4. Tính khoảng cách AH: - Ta có SA = $a\sqrt{3}$ và SC = $a\sqrt{3}$. - Diện tích tam giác SAC = $\frac{1}{2} \times SA \times SC \times \sin(\angle ASC)$. - Diện tích tam giác SAC = $\frac{1}{2} \times a\sqrt{3} \times a\sqrt{3} \times \sin(90^\circ) = \frac{3a^2}{2}$. - Diện tích tam giác SAC cũng có thể tính qua SC và khoảng cách AH. - $\frac{1}{2} \times SC \times AH = \frac{3a^2}{2}$. - $\frac{1}{2} \times a\sqrt{3} \times AH = \frac{3a^2}{2}$. - $AH = \frac{3a^2}{2} \times \frac{2}{a\sqrt{3}} = a\sqrt{3}$. Đáp số: - Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) là $a$. - Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SDB) là $a\sqrt{2}$. - Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC là $a\sqrt{3}$.