người ta xếp bảy viên bi có dạng hình cầu có cùng bán kính là một cái khay hình trụ.Biết rằng các viên bi điều tiếp xúc với hai đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với sáu viên bi xung quanh và mỗi vi...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định bán kính của các viên bi và chiều cao của hình trụ. 2. Tính thể tích của hình trụ. 3. Tính thể tích của 7 viên bi. 4. Tính thể tích phần không gian rỗng trong hình trụ. 5. Tìm tỉ số giữa thể tích phần không gian rỗng và thể tích của 7 viên bi. Bước 1: Xác định bán kính của các viên bi và chiều cao của hình trụ. - Bán kính của mỗi viên bi là \( r \). - Chiều cao của hình trụ là \( h \). Do các viên bi tiếp xúc với hai đáy của hình trụ và viên bi ở giữa tiếp xúc với sáu viên bi xung quanh, ta có: - Chiều cao của hình trụ \( h = 2r \). Bước 2: Tính thể tích của hình trụ. Thể tích của hình trụ \( V_{\text{trụ}} \) được tính bằng công thức: \[ V_{\text{trụ}} = \pi R^2 h \] Trong đó, \( R \) là bán kính đáy của hình trụ và \( h \) là chiều cao của hình trụ. Do mỗi viên bi xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của hình trụ, ta có: \[ R = r \sqrt{3} \] Vậy thể tích của hình trụ là: \[ V_{\text{trụ}} = \pi (r \sqrt{3})^2 \cdot 2r = \pi \cdot 3r^2 \cdot 2r = 6\pi r^3 \] Bước 3: Tính thể tích của 7 viên bi. Thể tích của một viên bi \( V_{\text{bi}} \) được tính bằng công thức: \[ V_{\text{bi}} = \frac{4}{3} \pi r^3 \] Vậy thể tích của 7 viên bi là: \[ V_{7 \text{ bi}} = 7 \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{28}{3} \pi r^3 \] Bước 4: Tính thể tích phần không gian rỗng trong hình trụ. Thể tích phần không gian rỗng trong hình trụ \( V_{\text{rỗng}} \) là: \[ V_{\text{rỗng}} = V_{\text{trụ}} - V_{7 \text{ bi}} = 6\pi r^3 - \frac{28}{3} \pi r^3 = \left(6 - \frac{28}{3}\right) \pi r^3 = \left(\frac{18}{3} - \frac{28}{3}\right) \pi r^3 = -\frac{10}{3} \pi r^3 \] Bước 5: Tìm tỉ số giữa thể tích phần không gian rỗng và thể tích của 7 viên bi. Tỉ số giữa thể tích phần không gian rỗng và thể tích của 7 viên bi là: \[ \frac{V_{\text{rỗng}}}{V_{7 \text{ bi}}} = \frac{-\frac{10}{3} \pi r^3}{\frac{28}{3} \pi r^3} = \frac{-10}{28} = -\frac{5}{14} \] Vậy tỉ số giữa thể tích phần không gian rỗng trong hình trụ với thể tích của 7 viên bi là: \[ \boxed{-\frac{5}{14}} \]