toán toán toán đề 2 tiếp theo

Câu 1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt tính xác suất của các biến cố A, B và AB, sau đó tính xác suất của biến cố "rút được thẻ mang số chia hết cho 2 hoặc 3". a) Tính xác suất của biến cố A Biến cố A là "Rút được thẻ đánh số chia hết cho 2". Các số chia hết cho 2 trong khoảng từ 1 đến 20 là: \[ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 \] Có tổng cộng 10 số chia hết cho 2 trong khoảng từ 1 đến 20. Xác suất của biến cố A là: \[ P(A) = \frac{\text{số lượng kết quả thuận lợi}}{\text{số lượng kết quả có thể xảy ra}} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \] b) Tính xác suất của biến cố B Biến cố B là "Rút được thẻ đánh số chia hết cho 3". Các số chia hết cho 3 trong khoảng từ 1 đến 20 là: \[ 3, 6, 9, 12, 15, 18 \] Có tổng cộng 6 số chia hết cho 3 trong khoảng từ 1 đến 20. Xác suất của biến cố B là: \[ P(B) = \frac{\text{số lượng kết quả thuận lợi}}{\text{số lượng kết quả có thể xảy ra}} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} \] c) Tính xác suất của biến cố AB Biến cố AB là "Rút được thẻ đánh số chia hết cho cả 2 và 3", tức là chia hết cho 6. Các số chia hết cho 6 trong khoảng từ 1 đến 20 là: \[ 6, 12, 18 \] Có tổng cộng 3 số chia hết cho 6 trong khoảng từ 1 đến 20. Xác suất của biến cố AB là: \[ P(AB) = \frac{\text{số lượng kết quả thuận lợi}}{\text{số lượng kết quả có thể xảy ra}} = \frac{3}{20} \] d) Tính xác suất của biến cố "rút được thẻ mang số chia hết cho 2 hoặc 3" Xác suất của biến cố "rút được thẻ mang số chia hết cho 2 hoặc 3" là: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) \] \[ P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{10} - \frac{3}{20} \] Chuyển tất cả các phân số về cùng mẫu số: \[ P(A \cup B) = \frac{10}{20} + \frac{6}{20} - \frac{3}{20} = \frac{13}{20} \] Vậy xác suất để rút được thẻ mang số chia hết cho 2 hoặc 3 là: \[ \frac{13}{20} \] Đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{13}{20}} \] Câu 2. Để giải quyết các câu hỏi về hàm số $y=-4x^3+\frac{x^2}2-2x+3$, ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phần của câu hỏi. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số Hàm số đã cho là: \[ y = -4x^3 + \frac{x^2}{2} - 2x + 3 \] Tính đạo hàm của hàm số này: \[ y' = \frac{d}{dx}\left(-4x^3 + \frac{x^2}{2} - 2x + 3\right) \] \[ y' = -12x^2 + x - 2 \] Như vậy, ta có: \[ y' = -12x^2 + x - 2 \] So sánh với dạng tổng quát $y' = ax^2 + bx + c$, ta nhận thấy: \[ a = -12, \quad b = 1, \quad c = -2 \] Bước 2: Kiểm tra các lựa chọn a) $a + b + c = -10$ Ta tính: \[ a + b + c = -12 + 1 - 2 = -13 \] Vậy, $a + b + c = -13$, không phải là $-10$. Do đó, lựa chọn này sai. b) Phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt Phương trình $y' = 0$ là: \[ -12x^2 + x - 2 = 0 \] Ta kiểm tra xem phương trình này có hai nghiệm phân biệt hay không bằng cách tính $\Delta$ (discriminant): \[ \Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(-12)(-2) = 1 - 96 = -95 \] Vì $\Delta < 0$, phương trình này không có nghiệm thực, do đó không có hai nghiệm phân biệt. Lựa chọn này sai. c) Đồ thị hàm số $y'$ cắt trục tung tại điểm $(0; -2)$ Đồ thị hàm số $y'$ cắt trục tung tại điểm có hoành độ $x = 0$. Thay $x = 0$ vào phương trình $y'$: \[ y'(0) = -12(0)^2 + 0 - 2 = -2 \] Vậy, đồ thị hàm số $y'$ cắt trục tung tại điểm $(0; -2)$. Lựa chọn này đúng. d) Đồ thị hàm số $y'$ cắt đường thẳng $y = 3$ tại hai điểm phân biệt Để tìm giao điểm của đồ thị hàm số $y'$ với đường thẳng $y = 3$, ta giải phương trình: \[ -12x^2 + x - 2 = 3 \] \[ -12x^2 + x - 5 = 0 \] Kiểm tra $\Delta$ của phương trình này: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(-12)(-5) = 1 - 240 = -239 \] Vì $\Delta < 0$, phương trình này không có nghiệm thực, do đó không có hai điểm giao phân biệt. Lựa chọn này sai. Kết luận Câu trả lời đúng là: c) Đồ thị hàm số $y'$ cắt trục tung tại điểm $(0; -2)$. Câu 1. Để giải bất phương trình $\log_3(x+4) \leq 2$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log_3(x+4)$, ta cần đảm bảo rằng $x + 4 > 0$. Do đó: \[ x > -4 \] 2. Giải bất phương trình: - Ta có $\log_3(x+4) \leq 2$. Điều này tương đương với: \[ x + 4 \leq 3^2 \] - Tính toán $3^2$: \[ x + 4 \leq 9 \] - Giải phương trình này để tìm $x$: \[ x \leq 9 - 4 \] \[ x \leq 5 \] 3. Tìm giao của các điều kiện: - Kết hợp điều kiện $x > -4$ và $x \leq 5$, ta có: \[ -4 < x \leq 5 \] 4. Xác định các nghiệm nguyên: - Các số nguyên thỏa mãn $-4 < x \leq 5$ là: \[ x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 \] 5. Kết luận: - Số lượng nghiệm nguyên của bất phương trình là 9. Vậy, bất phương trình $\log_3(x+4) \leq 2$ có 9 nghiệm nguyên. Câu 2. Để tính thể tích của khối chóp S.ABC, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích đáy ABC: - Đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = 2 và AC = 3. - Diện tích đáy ABC: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3 \] 2. Tính chiều cao SA: - Vì SA vuông góc với đáy, nên SA là chiều cao của khối chóp. - Xét tam giác SAC vuông tại A, ta có: \[ \sin(30^\circ) = \frac{SA}{SC} \] Biết rằng $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, ta có: \[ \frac{1}{2} = \frac{SA}{SC} \] Do đó: \[ SC = 2 \times SA \] - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác SAC: \[ SC^2 = SA^2 + AC^2 \] Thay $SC = 2 \times SA$ vào: \[ (2 \times SA)^2 = SA^2 + 3^2 \] \[ 4 \times SA^2 = SA^2 + 9 \] \[ 3 \times SA^2 = 9 \] \[ SA^2 = 3 \] \[ SA = \sqrt{3} \] 3. Tính thể tích khối chóp S.ABC: - Thể tích khối chóp S.ABC: \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SA = \frac{1}{3} \times 3 \times \sqrt{3} = \sqrt{3} \] - Làm tròn kết quả đến một chữ số thập phân: \[ \sqrt{3} \approx 1.7 \] Vậy thể tích của khối chóp S.ABC là 1.7. Câu 3. Để tính xác suất để học sinh được chọn học giỏi môn Toán hoặc môn Văn, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm số học sinh giỏi môn Toán hoặc môn Văn: - Số học sinh giỏi môn Toán: 10 em. - Số học sinh giỏi môn Văn: 7 em. - Số học sinh giỏi cả hai môn Toán và Văn: 4 em. Theo công thức tính số phần tử của tập hợp hợp của hai tập hợp: \[ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \] Ta có: \[ |A \cup B| = 10 + 7 - 4 = 13 \text{ em} \] 2. Tính xác suất: - Tổng số học sinh trong lớp: 30 em. - Số học sinh giỏi môn Toán hoặc môn Văn: 13 em. Xác suất để học sinh được chọn học giỏi môn Toán hoặc môn Văn là: \[ P = \frac{|A \cup B|}{\text{Tổng số học sinh}} = \frac{13}{30} \approx 0.43 \] Vậy xác suất để học sinh được chọn học giỏi môn Toán hoặc môn Văn là khoảng 0.43. Câu 4. Để tính vận tốc của viên bi tại thời điểm \( t = 10 \) giây, ta cần tìm đạo hàm của phương trình chuyển động \( h(t) \). Phương trình chuyển động của viên bi là: \[ h(t) = 4,9t^2 \] Vận tốc \( v(t) \) của viên bi là đạo hàm của \( h(t) \): \[ v(t) = \frac{d}{dt} h(t) = \frac{d}{dt} (4,9t^2) \] Áp dụng công thức đạo hàm của hàm bậc hai: \[ \frac{d}{dt} (4,9t^2) = 4,9 \cdot 2t = 9,8t \] Do đó, vận tốc của viên bi tại thời điểm \( t = 10 \) giây là: \[ v(10) = 9,8 \cdot 10 = 98 \text{ m/s} \] Đáp số: Vận tốc của viên bi tại thời điểm \( t = 10 \) giây là \( 98 \text{ m/s} \). Câu 1. Để tính tổng diện tích cần sơn, ta cần tính diện tích toàn phần của hình chóp cụt lục giác đều, bao gồm diện tích đáy lớn, diện tích đáy nhỏ và diện tích xung quanh. Bước 1: Tính diện tích đáy lớn (hình lục giác đều cạnh 1m). Diện tích của một tam giác đều cạnh 1m là: \[ S_{\text{tam giác}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 1^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \] Diện tích đáy lớn (hình lục giác đều) là: \[ S_{\text{đáy lớn}} = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \] Bước 2: Tính diện tích đáy nhỏ (hình lục giác đều cạnh 0,7m). Diện tích của một tam giác đều cạnh 0,7m là: \[ S_{\text{tam giác}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (0,7)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 0,49 = \frac{0,49\sqrt{3}}{4} \] Diện tích đáy nhỏ (hình lục giác đều) là: \[ S_{\text{đáy nhỏ}} = 6 \times \frac{0,49\sqrt{3}}{4} = \frac{2,94\sqrt{3}}{4} = \frac{1,47\sqrt{3}}{2} \] Bước 3: Tính diện tích xung quanh. Diện tích một mặt bên (hình thang cân) là: \[ S_{\text{thang}} = \frac{1}{2} \times (1 + 0,7) \times \text{chiều cao} \] Ta cần tính chiều cao của hình thang này. Chiều cao của hình thang này là: \[ h = \sqrt{(0,3)^2 - (0,15)^2} = \sqrt{0,09 - 0,0225} = \sqrt{0,0675} = 0,26 \] Diện tích một mặt bên là: \[ S_{\text{thang}} = \frac{1}{2} \times (1 + 0,7) \times 0,26 = \frac{1}{2} \times 1,7 \times 0,26 = 0,221 \] Diện tích xung quanh là: \[ S_{\text{xung quanh}} = 6 \times 0,221 = 1,326 \] Bước 4: Tính tổng diện tích cần sơn. Tổng diện tích cần sơn là: \[ S_{\text{tổng}} = S_{\text{đáy lớn}} + S_{\text{đáy nhỏ}} + S_{\text{xung quanh}} \] \[ S_{\text{tổng}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{1,47\sqrt{3}}{2} + 1,326 \] \[ S_{\text{tổng}} = \frac{4,47\sqrt{3}}{2} + 1,326 \] \[ S_{\text{tổng}} = 2,235\sqrt{3} + 1,326 \] Vậy tổng diện tích cần sơn là: \[ 2,235\sqrt{3} + 1,326 \] Câu 2. Để tính xác suất của biến cố "sinh viên được chọn không học tiếng Anh và tiếng Pháp", chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm số lượng sinh viên học ít nhất một trong hai ngoại ngữ (tiếng Anh hoặc tiếng Pháp): - Số sinh viên học tiếng Anh: 40 - Số sinh viên học tiếng Pháp: 30 - Số sinh viên học cả hai ngoại ngữ: 20 Theo nguyên lý bao gồm, số sinh viên học ít nhất một ngoại ngữ là: \[ 40 + 30 - 20 = 50 \] 2. Tìm số lượng sinh viên không học bất kỳ ngoại ngữ nào: - Tổng số sinh viên trong lớp: 60 - Số sinh viên học ít nhất một ngoại ngữ: 50 Số sinh viên không học bất kỳ ngoại ngữ nào là: \[ 60 - 50 = 10 \] 3. Tính xác suất của biến cố "sinh viên được chọn không học tiếng Anh và tiếng Pháp": Xác suất của biến cố này là tỷ lệ giữa số sinh viên không học bất kỳ ngoại ngữ nào và tổng số sinh viên trong lớp: \[ P(\text{không học tiếng Anh và tiếng Pháp}) = \frac{10}{60} = \frac{1}{6} \] Vậy xác suất của biến cố "sinh viên được chọn không học tiếng Anh và tiếng Pháp" là $\frac{1}{6}$.