toán toán toán toán đề 3

Câu 1 Để rút gọn biểu thức \( Q = b^{\frac{5}{3}} : \sqrt[4]{b} \) với \( b > 0 \), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Viết lại căn bậc bốn dưới dạng lũy thừa: \[ \sqrt[4]{b} = b^{\frac{1}{4}} \] 2. Thay vào biểu thức ban đầu: \[ Q = b^{\frac{5}{3}} : b^{\frac{1}{4}} \] 3. Áp dụng quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số: \[ b^{\frac{5}{3}} : b^{\frac{1}{4}} = b^{\left(\frac{5}{3} - \frac{1}{4}\right)} \] 4. Tính hiệu của hai số mũ: \[ \frac{5}{3} - \frac{1}{4} = \frac{5 \times 4}{3 \times 4} - \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{20}{12} - \frac{3}{12} = \frac{17}{12} \] 5. Viết kết quả cuối cùng: \[ Q = b^{\frac{17}{12}} \] Như vậy, biểu thức đã được rút gọn thành \( Q = b^{\frac{17}{12}} \). Đáp án: \( Q = b^{\frac{17}{12}} \). Câu 2: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit để đơn giản hóa biểu thức \( A = \log_{\frac{1}{a}} \sqrt[3]{a^s} \). Bước 1: Áp dụng tính chất của căn bậc ba: \[ \sqrt[3]{a^s} = a^{\frac{s}{3}} \] Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ A = \log_{\frac{1}{a}} a^{\frac{s}{3}} \] Bước 3: Áp dụng tính chất của logarit \(\log_b (x^y) = y \cdot \log_b x\): \[ A = \frac{s}{3} \cdot \log_{\frac{1}{a}} a \] Bước 4: Áp dụng tính chất của logarit \(\log_{\frac{1}{a}} a = -1\) (vì \(\log_{\frac{1}{a}} a = \log_{a^{-1}} a = -1\)): \[ A = \frac{s}{3} \cdot (-1) = -\frac{s}{3} \] Bây giờ, chúng ta cần biết giá trị của \( s \). Tuy nhiên, trong đề bài không cung cấp giá trị cụ thể của \( s \). Do đó, chúng ta cần kiểm tra lại các đáp án đã cho để xác định giá trị của \( s \). - Đáp án A: \( -\frac{8}{3} \) - Đáp án B: \( -2 \) - Đáp án C: \( \frac{5}{3} \) - Đáp án D: \( 4 \) Chúng ta thấy rằng \( -\frac{8}{3} \) là giá trị phù hợp với biểu thức \( -\frac{s}{3} \) khi \( s = 8 \). Vậy giá trị của \( A \) là: \[ A = -\frac{8}{3} \] Đáp án đúng là: A. \( -\frac{8}{3} \) Câu 3: Để tìm tập xác định \( D \) của hàm số \( y = \log_s(2x + 6) \), ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong dấu logarit dương vì logarit chỉ được xác định khi đối số dương. Bước 1: Xác định điều kiện để biểu thức trong dấu logarit dương: \[ 2x + 6 > 0 \] Bước 2: Giải bất phương trình: \[ 2x + 6 > 0 \] \[ 2x > -6 \] \[ x > -3 \] Bước 3: Kết luận tập xác định \( D \): \[ D = (-3; +\infty) \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~D = (-3; +\infty) \] Câu 4: Để giải bất phương trình $(\frac{2}{3})^{x^2 - x + 1} > (\frac{2}{3})^{2x - 1}$, ta cần so sánh các mũ của hai vế. Bước 1: So sánh các mũ của hai vế. Do $\frac{2}{3} < 1$, nên hàm số $f(t) = (\frac{2}{3})^t$ là hàm giảm. Do đó, bất phương trình $(\frac{2}{3})^{x^2 - x + 1} > (\frac{2}{3})^{2x - 1}$ tương đương với: \[ x^2 - x + 1 < 2x - 1 \] Bước 2: Giải bất phương trình bậc hai. \[ x^2 - x + 1 < 2x - 1 \] \[ x^2 - x + 1 - 2x + 1 < 0 \] \[ x^2 - 3x + 2 < 0 \] Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình bậc hai. \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \] Phương trình này có dạng $ax^2 + bx + c = 0$. Ta sử dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} \] \[ x = \frac{3 \pm 1}{2} \] \[ x_1 = 2, \quad x_2 = 1 \] Bước 4: Xác định khoảng nghiệm của bất phương trình. Phương trình $x^2 - 3x + 2 = 0$ có hai nghiệm là $x = 1$ và $x = 2$. Bất phương trình $x^2 - 3x + 2 < 0$ sẽ đúng trong khoảng giữa hai nghiệm này: \[ 1 < x < 2 \] Bước 5: Kết luận tập nghiệm và tính $b - a$. Tập nghiệm của bất phương trình là $S = (1; 2)$. Vậy $a = 1$ và $b = 2$. \[ b - a = 2 - 1 = 1 \] Đáp án: B. 1 Câu 5: Trước tiên, ta xét hình chóp S.ABC với SA vuông góc với mặt đáy (ABC). - Vì SA vuông góc với mặt đáy (ABC), nên SA sẽ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt đáy (ABC). Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: A. \(SA \bot SB\): - Để \(SA \bot SB\), thì B phải nằm trong mặt phẳng chứa SA và vuông góc với SA. Tuy nhiên, B nằm trong mặt đáy (ABC), do đó không chắc chắn rằng \(SA \bot SB\). B. \(SA \bot SC\): - Tương tự như trên, để \(SA \bot SC\), thì C phải nằm trong mặt phẳng chứa SA và vuông góc với SA. Tuy nhiên, C nằm trong mặt đáy (ABC), do đó không chắc chắn rằng \(SA \bot SC\). C. \(SA \bot AB\): - Vì AB nằm trong mặt đáy (ABC), và SA vuông góc với mặt đáy (ABC), nên \(SA \bot AB\). D. \(SB \bot SC\): - Để \(SB \bot SC\), thì B và C phải tạo thành hai đường thẳng vuông góc với nhau trong mặt phẳng (SBC). Điều này không chắc chắn vì chưa biết vị trí cụ thể của B và C trong mặt đáy (ABC). Từ các lập luận trên, ta thấy rằng mệnh đề đúng là: C. \(SA \bot AB\). Đáp án: C. \(SA \bot AB\). Câu 6: Để tìm khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích của tam giác SAB: - Tam giác SAB là tam giác vuông tại A vì SA vuông góc với mặt phẳng đáy. - Diện tích tam giác SAB: \[ S_{SAB} = \frac{1}{2} \times AB \times SA = \frac{1}{2} \times 2a \times 5a = 5a^2 \] 2. Tính thể tích của khối chóp SABC: - Diện tích đáy ABCD là: \[ S_{ABCD} = AB \times AD = 2a \times 3a = 6a^2 \] - Thể tích khối chóp SABCD: \[ V_{SABCD} = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SA = \frac{1}{3} \times 6a^2 \times 5a = 10a^3 \] - Thể tích khối chóp SABC (vì C nằm trên đáy ABCD): \[ V_{SABC} = \frac{1}{2} \times V_{SABCD} = \frac{1}{2} \times 10a^3 = 5a^3 \] 3. Tính diện tích tam giác ABC: - Tam giác ABC là tam giác vuông tại B vì ABCD là hình chữ nhật. - Diện tích tam giác ABC: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 2a \times 3a = 3a^2 \] 4. Tìm khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB): - Gọi khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) là h. - Thể tích khối chóp SABC cũng có thể tính qua diện tích tam giác SAB và khoảng cách h: \[ V_{SABC} = \frac{1}{3} \times S_{SAB} \times h \] - Thay các giá trị đã biết vào: \[ 5a^3 = \frac{1}{3} \times 5a^2 \times h \] - Giải phương trình để tìm h: \[ 5a^3 = \frac{5a^2 \times h}{3} \] \[ 15a^3 = 5a^2 \times h \] \[ h = \frac{15a^3}{5a^2} = 3a \] Vậy khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) là \(3a\). Đáp án đúng là: A. 3a. Câu 7: Để tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng \(a\), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích đáy của khối lăng trụ: - Đáy của khối lăng trụ là một tam giác đều có cạnh bằng \(a\). - Diện tích \(S\) của tam giác đều có công thức: \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \] 2. Tính chiều cao của khối lăng trụ: - Vì khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng \(a\), chiều cao của khối lăng trụ cũng sẽ là \(a\). 3. Tính thể tích của khối lăng trụ: - Thể tích \(V\) của khối lăng trụ được tính bằng diện tích đáy nhân với chiều cao: \[ V = S \times \text{chiều cao} = \left(\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\right) \times a = \frac{a^3 \sqrt{3}}{4} \] Vậy thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng \(a\) là: \[ \boxed{\frac{a^3 \sqrt{3}}{4}} \] Đáp án đúng là: \(A.~\frac{a^3 \sqrt{3}}{4}\). Câu 8: Ta biết rằng nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \] Biết rằng: \[ P(A) = \frac{1}{5} \] \[ P(A \cup B) = \frac{1}{3} \] Thay vào công thức trên ta có: \[ \frac{1}{3} = \frac{1}{5} + P(B) \] Giải phương trình này để tìm \( P(B) \): \[ P(B) = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \] Quy đồng mẫu số: \[ P(B) = \frac{5}{15} - \frac{3}{15} = \frac{2}{15} \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~\frac{2}{15} \] Câu 9: Xác suất của biến cố "Cả hai xạ thủ đều bắn trúng" là tích của xác suất bắn trúng của mỗi xạ thủ vì khả năng bắn trúng của hai xạ thủ là độc lập. Xác suất của biến cố "Cả hai xạ thủ đều bắn trúng" là: \[ P = 0,3 \times 0,2 = 0,06 \] Đáp án đúng là: B. 0,06. Câu 10: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ tính số gia của hàm số \( f(x) = 2x \) ứng với số gia \( \Delta x \) tại điểm \( x_0 = 1 \). Bước 1: Xác định giá trị của hàm số tại điểm \( x_0 \): \[ f(x_0) = f(1) = 2 \cdot 1 = 2 \] Bước 2: Xác định giá trị của hàm số tại điểm \( x_0 + \Delta x \): \[ f(x_0 + \Delta x) = f(1 + \Delta x) = 2 \cdot (1 + \Delta x) = 2 + 2\Delta x \] Bước 3: Tính số gia của hàm số \( \Delta y \): \[ \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = (2 + 2\Delta x) - 2 = 2\Delta x \] Vậy, số gia của hàm số \( f(x) = 2x \) ứng với số gia \( \Delta x \) tại điểm \( x_0 = 1 \) là: \[ \Delta y = 2\Delta x \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \underline{B.}~\Delta y = 2\Delta x \] Câu 11: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \). 2. Giải bất phương trình \( f'(x) < 0 \). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \). Hàm số đã cho là: \[ f(x) = x^3 - 3x + 2 \] Tìm đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 2) = 3x^2 - 3 \] Bước 2: Giải bất phương trình \( f'(x) < 0 \). Ta có: \[ f'(x) = 3x^2 - 3 \] Đặt \( f'(x) < 0 \): \[ 3x^2 - 3 < 0 \] \[ 3(x^2 - 1) < 0 \] \[ x^2 - 1 < 0 \] \[ (x - 1)(x + 1) < 0 \] Giải bất phương trình \( (x - 1)(x + 1) < 0 \): - Xác định các điểm làm thay đổi dấu của bất phương trình: \( x = -1 \) và \( x = 1 \). - Xét dấu của \( (x - 1)(x + 1) \) trên các khoảng: - Khi \( x < -1 \), cả hai thừa số \( (x - 1) \) và \( (x + 1) \) đều âm, tích là số dương. - Khi \( -1 < x < 1 \), thừa số \( (x - 1) \) âm và thừa số \( (x + 1) \) dương, tích là số âm. - Khi \( x > 1 \), cả hai thừa số \( (x - 1) \) và \( (x + 1) \) đều dương, tích là số dương. Do đó, bất phương trình \( (x - 1)(x + 1) < 0 \) đúng trong khoảng \( (-1, 1) \). Vậy tập nghiệm của bất phương trình \( f'(x) < 0 \) là: \[ (-1, 1) \] Đáp án đúng là: \( D.~(-1;1) \) Đáp số: \( D.~(-1;1) \) Câu 12: Để tìm gia tốc tức thời của chuyển động, ta cần tính đạo hàm thứ hai của phương trình chuyển động \( S(t) \). Phương trình chuyển động đã cho là: \[ S(t) = 7t^5 - 3t + 2 \] Bước 1: Tính vận tốc tức thời \( v(t) \) bằng cách lấy đạo hàm của \( S(t) \): \[ v(t) = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(7t^5 - 3t + 2) \] \[ v(t) = 35t^4 - 3 \] Bước 2: Tính gia tốc tức thời \( a(t) \) bằng cách lấy đạo hàm của \( v(t) \): \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(35t^4 - 3) \] \[ a(t) = 140t^3 \] Vậy gia tốc tức thời của chuyển động là: \[ \boxed{140t^3} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \underline{D.}~140t^3 \] Câu 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần hiểu về tính chất của các biến cố độc lập trong lý thuyết xác suất. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu xác suất của biến cố A không phụ thuộc vào việc biến cố B đã xảy ra hay chưa, và ngược lại. Điều này có nghĩa là xác suất của biến cố A không thay đổi khi biết rằng biến cố B đã xảy ra, và ngược lại. Trong trường hợp hai biến cố độc lập, xác suất của cả hai biến cố cùng xảy ra (biến cố AB) được tính bằng cách nhân xác suất của mỗi biến cố riêng lẻ. Công thức này được viết dưới dạng: \[ P(AB) = P(A) \cdot P(B) \] Do đó, trong các lựa chọn được đưa ra, đáp án đúng là: \[ B.~P(AB)=P(A).P(B) \] Lập luận từng bước: 1. Xác định tính chất của các biến cố độc lập: Xác suất của biến cố A không phụ thuộc vào việc biến cố B đã xảy ra hay chưa. 2. Áp dụng công thức xác suất của biến cố độc lập: \( P(AB) = P(A) \cdot P(B) \). Vậy đáp án đúng là: \[ B.~P(AB)=P(A).P(B) \] Câu 2. Để tính thể tích của khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D', ta sử dụng công thức tính thể tích của khối hộp chữ nhật: \[ V = l \times w \times h \] Trong đó: - \( l \) là chiều dài (AB), - \( w \) là chiều rộng (AD), - \( h \) là chiều cao (AA'). Theo đề bài, ta có: - \( AB = 3 \) - \( AD = 4 \) - \( AA' = 8 \) Thay các giá trị này vào công thức, ta có: \[ V = 3 \times 4 \times 8 \] Tính toán: \[ V = 3 \times 4 = 12 \] \[ V = 12 \times 8 = 96 \] Vậy thể tích của khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' là 96. Đáp án đúng là: A. 96 Câu 3. Để tìm xác suất của biến cố đối $\overline{A}$, ta sử dụng công thức: \[ P(A) + P(\overline{A}) = 1 \] Trong đó: - \( P(A) \) là xác suất của biến cố \( A \) - \( P(\overline{A}) \) là xác suất của biến cố đối \( \overline{A} \) Biết rằng \( P(A) = 0,8 \), ta thay vào công thức trên: \[ 0,8 + P(\overline{A}) = 1 \] Từ đó, ta giải ra \( P(\overline{A}) \): \[ P(\overline{A}) = 1 - 0,8 \] \[ P(\overline{A}) = 0,2 \] Vậy, \( P(\overline{A}) \) bằng 0,2. Đáp án đúng là: D. 0,2. Câu 4. Thể tích của khối chóp được tính theo công thức: \[ V = \frac{1}{3} Sh \] Trong đó: - \( S \) là diện tích đáy của khối chóp. - \( h \) là chiều cao của khối chóp. Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~V = \frac{1}{3} S.h \] Câu 5. Để xác định đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $P$, ta cần kiểm tra các điều kiện sau: - A.~$\Delta$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mp $P$. - Điều này có nghĩa là đường thẳng $\Delta$ vuông góc với tất cả các đường thẳng nằm trong mặt phẳng $P$. Đây là điều kiện đủ để khẳng định $\Delta$ vuông góc với $P$. - B.~$\Delta$ vuông góc với đường thẳng $a$ mà $a$ song song với mp $P$. - Nếu $\Delta$ vuông góc với một đường thẳng $a$ mà $a$ song song với $P$, thì điều này không đủ để khẳng định $\Delta$ vuông góc với $P$. Vì có thể tồn tại nhiều đường thẳng khác nằm trong $P$ mà $\Delta$ không vuông góc với chúng. - C.~$\Delta$ vuông góc với đường thẳng $a$ nằm trong mp $P$. - Nếu $\Delta$ vuông góc với một đường thẳng $a$ nằm trong $P$, điều này cũng chưa đủ để khẳng định $\Delta$ vuông góc với $P$. Vì có thể tồn tại nhiều đường thẳng khác nằm trong $P$ mà $\Delta$ không vuông góc với chúng. - D.~$\Delta$ vuông góc với hai đường thẳng phân biệt nằm trong mp $P$. - Nếu $\Delta$ vuông góc với hai đường thẳng phân biệt nằm trong $P$, điều này cũng chưa đủ để khẳng định $\Delta$ vuông góc với $P$. Vì hai đường thẳng đó có thể song song hoặc cắt nhau, nhưng vẫn chưa bao quát hết các đường thẳng trong $P$. Từ các lập luận trên, ta thấy rằng chỉ có điều kiện A là đủ để khẳng định đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $P$. Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{A} \] Câu 6. Để giải bất phương trình $\log_3(x-5) \geq 2$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log_3(x-5)$, ta cần đảm bảo rằng $x-5 > 0$. Do đó: \[ x > 5 \] 2. Giải bất phương trình: - Ta có $\log_3(x-5) \geq 2$. Để giải bất phương trình này, ta chuyển về dạng tương đương: \[ \log_3(x-5) \geq \log_3(9) \] - Vì hàm số $\log_3$ là hàm số đồng biến trên tập xác định của nó, nên ta có: \[ x-5 \geq 9 \] - Giải phương trình này: \[ x \geq 14 \] 3. Kiểm tra điều kiện xác định: - Ta đã xác định điều kiện $x > 5$. Kết hợp với điều kiện $x \geq 14$, ta thấy rằng $x \geq 14$ đã bao gồm điều kiện $x > 5$. 4. Kết luận: - Vậy tập nghiệm của bất phương trình $\log_3(x-5) \geq 2$ là: \[ [14; +\infty) \] Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~[14;+\infty). \]