Giai giip toi vs

Câu 2: Để giải quyết các câu hỏi trên, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. a) Hàm số không có đạo hàm tại \( x_0 = 2 \). Hàm số \( y = \frac{x+1}{x-2} \) có dạng phân thức. Để tìm đạo hàm của hàm số này, ta sử dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \Rightarrow f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \] Trong đó: - \( u(x) = x + 1 \) - \( v(x) = x - 2 \) Tính đạo hàm của \( u(x) \) và \( v(x) \): - \( u'(x) = 1 \) - \( v'(x) = 1 \) Áp dụng công thức đạo hàm của thương: \[ f'(x) = \frac{(1)(x-2) - (x+1)(1)}{(x-2)^2} = \frac{x-2 - x - 1}{(x-2)^2} = \frac{-3}{(x-2)^2} \] Nhận thấy rằng tại \( x = 2 \), mẫu số \((x-2)^2\) bằng 0, do đó đạo hàm không tồn tại tại điểm này. Vậy hàm số không có đạo hàm tại \( x_0 = 2 \). b) Đạo hàm của hàm số tại \( x_0 = 1 \) là \( f'(1) = 3 \). Thay \( x = 1 \) vào biểu thức đạo hàm: \[ f'(1) = \frac{-3}{(1-2)^2} = \frac{-3}{(-1)^2} = \frac{-3}{1} = -3 \] Vậy đạo hàm của hàm số tại \( x_0 = 1 \) là \( f'(1) = -3 \). c) Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ \( x_0 = 1 \) có hệ số góc là \( k = -3 \). Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \( x_0 = 1 \) chính là giá trị của đạo hàm tại điểm đó. Như đã tính ở phần b), ta có: \[ f'(1) = -3 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M có hoành độ \( x_0 = 1 \) là \( k = -3 \). d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ \( x_0 = 1 \) là \( y = -3x - 1 \). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm \( (x_0, y_0) \) có dạng: \[ y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0 \] Tại \( x_0 = 1 \), ta có: - \( y_0 = f(1) = \frac{1+1}{1-2} = \frac{2}{-1} = -2 \) - \( f'(1) = -3 \) Thay vào phương trình tiếp tuyến: \[ y = -3(x - 1) - 2 \] \[ y = -3x + 3 - 2 \] \[ y = -3x + 1 \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ \( x_0 = 1 \) là \( y = -3x + 1 \). Kết luận: - a) Đúng, vì hàm số không có đạo hàm tại \( x_0 = 2 \). - b) Sai, vì đạo hàm của hàm số tại \( x_0 = 1 \) là \( f'(1) = -3 \). - c) Đúng, vì hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M có hoành độ \( x_0 = 1 \) là \( k = -3 \). - d) Sai, vì phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ \( x_0 = 1 \) là \( y = -3x + 1 \). Câu 1: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định hằng số tăng trưởng \( k \): - Biết rằng số lượng bầy ruồi tăng gấp đôi sau 9 ngày, tức là \( N(9) = 2N_0 \). - Thay vào công thức \( N(t) = N_0 e^{kt} \), ta có: \[ 2N_0 = N_0 e^{9k} \] - Chia cả hai vế cho \( N_0 \): \[ 2 = e^{9k} \] - Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế: \[ \ln(2) = 9k \] - Giải ra \( k \): \[ k = \frac{\ln(2)}{9} \] 2. Tìm thời gian \( t \) để bầy ruồi có 800 con: - Ta có \( N(t) = 800 \) và \( N_0 = 100 \). Thay vào công thức \( N(t) = N_0 e^{kt} \), ta có: \[ 800 = 100 e^{\left(\frac{\ln(2)}{9}\right)t} \] - Chia cả hai vế cho 100: \[ 8 = e^{\left(\frac{\ln(2)}{9}\right)t} \] - Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế: \[ \ln(8) = \left(\frac{\ln(2)}{9}\right)t \] - Giải ra \( t \): \[ t = \frac{9 \ln(8)}{\ln(2)} \] - Vì \( \ln(8) = \ln(2^3) = 3 \ln(2) \), nên: \[ t = \frac{9 \cdot 3 \ln(2)}{\ln(2)} = 27 \] Vậy sau 27 ngày, bầy ruồi sẽ có 800 con. Câu 2: Để tìm khoảng cách ngắn nhất từ một điểm trên mặt bên của kim tự tháp Kheops đến tâm đáy, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm chiều cao của kim tự tháp: - Ta biết rằng kim tự tháp Kheops là hình chóp tứ giác đều, do đó đáy là hình vuông với cạnh đáy \( a = 262 \) mét. - Chiều cao của kim tự tháp là \( h \). 2. Tính chiều cao của tam giác đều ở mặt bên: - Mặt bên của kim tự tháp là tam giác đều với cạnh đáy \( a = 262 \) mét và cạnh bên \( l = 230 \) mét. - Chiều cao của tam giác đều này là \( h_{\text{tam giác}} \). 3. Áp dụng công thức tính chiều cao của tam giác đều: \[ h_{\text{tam giác}} = \sqrt{l^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} \] Thay số vào: \[ h_{\text{tam giác}} = \sqrt{230^2 - \left(\frac{262}{2}\right)^2} = \sqrt{230^2 - 131^2} = \sqrt{52900 - 17161} = \sqrt{35739} \approx 189 \text{ mét} \] 4. Tìm khoảng cách từ tâm đáy đến tâm của một cạnh đáy: - Tâm đáy của hình vuông cách mỗi đỉnh đáy một khoảng \( \frac{a}{2} = \frac{262}{2} = 131 \) mét. 5. Tính khoảng cách từ tâm đáy đến tâm của một cạnh đáy: - Khoảng cách này là bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông, tức là: \[ R = \frac{a}{2} = 131 \text{ mét} \] 6. Tìm khoảng cách ngắn nhất từ tâm đáy đến tâm của một cạnh đáy: - Khoảng cách này là khoảng cách từ tâm đáy đến tâm của một cạnh đáy, tức là: \[ d = \sqrt{R^2 + h_{\text{tam giác}}^2} = \sqrt{131^2 + 189^2} = \sqrt{17161 + 35721} = \sqrt{52882} \approx 229.9 \text{ mét} \] Vậy khoảng cách xây đường hầm đó là khoảng 230.0 mét (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất). Đáp số: 230.0 mét. Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình parabol: Ta giả sử rằng đỉnh của parabol nằm ở điểm $(0, h)$ và hai điểm đầu của cầu nằm ở $(\pm 200, 0)$. Phương trình parabol có dạng: \[ y = ax^2 + h \] Vì hai điểm đầu của cầu nằm trên trục hoành, ta có: \[ 0 = a(200)^2 + h \implies 0 = 40000a + h \implies h = -40000a \] 2. Tìm đạo hàm của phương trình parabol: Đạo hàm của phương trình parabol là: \[ y' = 2ax \] Độ dốc của mặt cầu tại điểm $(x, y)$ là $y'$, và theo đề bài, độ dốc không vượt quá $\tan(10^\circ)$. Ta có: \[ |2ax| \leq \tan(10^\circ) \] Tại điểm xa nhất từ đỉnh cầu (tức là $x = 200$), ta có: \[ |2a \cdot 200| \leq \tan(10^\circ) \implies |400a| \leq \tan(10^\circ) \] Biết rằng $\tan(10^\circ) \approx 0.1763$, ta có: \[ |400a| \leq 0.1763 \implies |a| \leq \frac{0.1763}{400} \implies |a| \leq 0.00044075 \] 3. Tìm giá trị của $h$: Ta đã biết $h = -40000a$. Để tối đa hóa $h$, ta chọn giá trị lớn nhất của $|a|$: \[ a = -0.00044075 \quad (\text{vì } h = -40000a \text{ và } a < 0) \] Do đó: \[ h = -40000 \times (-0.00044075) = 17.63 \] Vậy chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường là: \[ \boxed{17.6 \text{ m}} \] Câu 4: Để tính gia tốc của vật tại thời điểm \( t = 0,25 \) giờ, ta cần biết rằng gia tốc là đạo hàm của vận tốc theo thời gian. Trước tiên, ta xác định phương trình của đường parabol dựa trên thông tin về đỉnh và trục đối xứng. Phương trình tổng quát của đường parabol có đỉnh \( I \left( \frac{1}{2}, 8 \right) \) và trục đối xứng song song với trục tung là: \[ v(t) = a \left( t - \frac{1}{2} \right)^2 + 8 \] Ta cần xác định hệ số \( a \). Vì đồ thị đi qua điểm \( (0, 0) \) (vì khi \( t = 0 \), \( v = 0 \)), ta thay vào phương trình: \[ 0 = a \left( 0 - \frac{1}{2} \right)^2 + 8 \] \[ 0 = a \left( \frac{1}{4} \right) + 8 \] \[ 0 = \frac{a}{4} + 8 \] \[ \frac{a}{4} = -8 \] \[ a = -32 \] Vậy phương trình của đường parabol là: \[ v(t) = -32 \left( t - \frac{1}{2} \right)^2 + 8 \] Bây giờ, ta tính đạo hàm của \( v(t) \) để tìm gia tốc \( a(t) \): \[ v(t) = -32 \left( t^2 - t + \frac{1}{4} \right) + 8 \] \[ v(t) = -32t^2 + 32t - 8 + 8 \] \[ v(t) = -32t^2 + 32t \] Đạo hàm của \( v(t) \) là: \[ a(t) = \frac{d}{dt} (-32t^2 + 32t) \] \[ a(t) = -64t + 32 \] Tại thời điểm \( t = 0,25 \) giờ, ta thay vào phương trình gia tốc: \[ a(0,25) = -64 \times 0,25 + 32 \] \[ a(0,25) = -16 + 32 \] \[ a(0,25) = 16 \] Vậy gia tốc của vật lúc \( t = 0,25 \) giờ là \( 16 \) đơn vị gia tốc.