Nsnsjsoaoaoanns

Câu 5: Để tính bán kính \( r \) của đường tròn giao tuyến giữa mặt phẳng \((P)\) và mặt cầu \((S)\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu \((S)\): Mặt cầu \((S)\) có phương trình \((x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-2)^2 = 9\). - Tâm của mặt cầu là \( I(1, 2, 2) \). - Bán kính của mặt cầu là \( R = 3 \). 2. Tìm khoảng cách từ tâm \( I \) đến mặt phẳng \((P)\): Mặt phẳng \((P)\) có phương trình \( 2x - y - 2z + 1 = 0 \). Khoảng cách \( d \) từ điểm \( I(1, 2, 2) \) đến mặt phẳng \((P)\) được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|2 \cdot 1 - 1 \cdot 2 - 2 \cdot 2 + 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2}} = \frac{|2 - 2 - 4 + 1|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|-3|}{\sqrt{9}} = \frac{3}{3} = 1 \] 3. Áp dụng công thức tính bán kính \( r \) của đường tròn giao tuyến: Bán kính \( r \) của đường tròn giao tuyến giữa mặt phẳng và mặt cầu được tính bằng công thức: \[ r = \sqrt{R^2 - d^2} \] Thay \( R = 3 \) và \( d = 1 \): \[ r = \sqrt{3^2 - 1^2} = \sqrt{9 - 1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] Vậy, bán kính \( r \) của đường tròn giao tuyến là \( 2\sqrt{2} \). Đáp án đúng là: \( A.~r = 2\sqrt{2} \). Câu 6: Để tìm đường thẳng đi qua điểm \( I(1; -2; 1) \) và song song với hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\), ta cần xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng này. 1. Xác định vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng: - Mặt phẳng \((P): x - 3z + 1 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_P = (1, 0, -3)\). - Mặt phẳng \((Q): 2y - z + 1 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_Q = (0, 2, -1)\). 2. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng: Vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với cả hai mặt phẳng sẽ vuông góc với cả hai vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_P\) và \(\vec{n}_Q\). Ta tính tích có hướng của hai vectơ này: \[ \vec{d} = \vec{n}_P \times \vec{n}_Q = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & -3 \\ 0 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot (-1) - (-3) \cdot 2) - \vec{j}(1 \cdot (-1) - (-3) \cdot 0) + \vec{k}(1 \cdot 2 - 0 \cdot 0) = \vec{i}(6) - \vec{j}(-1) + \vec{k}(2) = (6, 1, 2) \] 3. Viết phương trình đường thẳng: Đường thẳng đi qua điểm \( I(1; -2; 1) \) và có vectơ chỉ phương \(\vec{d} = (6, 1, 2)\) có phương trình: \[ \frac{x - 1}{6} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 1}{2} \] Vậy đáp án đúng là: \[ A. \frac{x - 1}{6} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 1}{2} \] Câu 7: Để tính khoảng cách từ điểm \( M(1;2;-3) \) đến mặt phẳng \( (P): x + 2y + 2z - 10 = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Công thức khoảng cách từ điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Trong đó: - \( (x_0, y_0, z_0) = (1, 2, -3) \) - \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = 2 \), \( d = -10 \) Thay các giá trị vào công thức: \[ d = \frac{|1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot (-3) - 10|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} \] \[ d = \frac{|1 + 4 - 6 - 10|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} \] \[ d = \frac{|-11|}{\sqrt{9}} \] \[ d = \frac{11}{3} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( M(1;2;-3) \) đến mặt phẳng \( (P): x + 2y + 2z - 10 = 0 \) là \( \frac{11}{3} \). Đáp án đúng là: \( A. \frac{11}{3} \).