Giupppemvoia

Câu 8: Để tính diện tích S của hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ, chúng ta cần xem xét các phần diện tích mà hàm số \( f(x) \) tạo ra trên các khoảng đã cho. 1. Trên đoạn từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \), hàm số \( f(x) \) nằm dưới trục hoành, do đó diện tích này sẽ là giá trị âm của tích phân từ 0 đến 2 của \( f(x) \). Để có diện tích dương, chúng ta lấy giá trị tuyệt đối của tích phân này, tức là \( -\int_{0}^{2} f(x) \, dx \). 2. Trên đoạn từ \( x = 2 \) đến \( x = 4 \), hàm số \( f(x) \) nằm trên trục hoành, do đó diện tích này sẽ là tích phân từ 2 đến 4 của \( f(x) \), tức là \( \int_{2}^{4} f(x) \, dx \). Do đó, tổng diện tích S của hình phẳng được tô đậm sẽ là: \[ S = -\int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~S = -\int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx \] Câu 9: Mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x-3)^2 + (y+1)^2 + (z-2)^2 = 4$. Ta nhận thấy rằng phương trình này đã được viết dưới dạng chuẩn của phương trình mặt cầu $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, trong đó $(a, b, c)$ là tọa độ tâm của mặt cầu và $R$ là bán kính. So sánh phương trình $(x-3)^2 + (y+1)^2 + (z-2)^2 = 4$ với phương trình chuẩn, ta có: - Tọa độ tâm của mặt cầu là $I(3, -1, 2)$. - Bán kính của mặt cầu là $R = \sqrt{4} = 2$. Do đó, tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu $(S)$ là: - Tâm: $I(3, -1, 2)$ - Bán kính: $R = 2$ Vậy đáp án đúng là: \[ D.~I(3, -1, 2),~R = 2. \] Câu 10: Để tính giá trị của $\cos \alpha$, ta cần tìm góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$. Ta thực hiện theo các bước sau: 1. Tìm vector pháp tuyến của mỗi mặt phẳng: - Mặt phẳng $(P): x + 2y + 2z + 3 = 0$ có vector pháp tuyến $\vec{n}_1 = (1, 2, 2)$. - Mặt phẳng $(Q): 3x - 4y + 5 = 0$ có thể viết lại thành $3x - 4y + 0z + 5 = 0$, do đó vector pháp tuyến $\vec{n}_2 = (3, -4, 0)$. 2. Tính tích vô hướng của hai vector pháp tuyến: \[ \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 1 \cdot 3 + 2 \cdot (-4) + 2 \cdot 0 = 3 - 8 + 0 = -5 \] 3. Tính độ dài của mỗi vector pháp tuyến: \[ |\vec{n}_1| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] \[ |\vec{n}_2| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5 \] 4. Tính giá trị của $\cos \alpha$: \[ \cos \alpha = \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \frac{-5}{3 \cdot 5} = \frac{-5}{15} = -\frac{1}{3} \] Vậy giá trị của $\cos \alpha$ là: \[ \boxed{-\frac{1}{3}} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ D. \cos \alpha = -\frac{1}{3} \] Câu 11: Để tìm phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(1;1;1)\) và cắt đường thẳng \(d_1\) đồng thời vuông góc với đường thẳng \(d_2\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ chỉ phương của \(d_1\) và \(d_2\): - Đường thẳng \(d_1\) có phương trình: \(\frac{x+2}{3} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{2}\). Vectơ chỉ phương của \(d_1\) là \(\vec{u}_1 = (3, 1, 2)\). - Đường thẳng \(d_2\) có phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -2 + 2t \\ y = -5t \\ z = 2 + t \end{array} \right. \] Vectơ chỉ phương của \(d_2\) là \(\vec{u}_2 = (2, -5, 1)\). 2. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): - Gọi vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec{u} = (a, b, c)\). - Vì \(d\) vuông góc với \(d_2\), ta có: \[ \vec{u} \cdot \vec{u}_2 = 0 \implies 2a - 5b + c = 0 \] 3. Tìm giao điểm của \(d\) và \(d_1\): - Gọi giao điểm của \(d\) và \(d_1\) là \(N(x_0, y_0, z_0)\). - Đường thẳng \(d_1\) có dạng tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -2 + 3t \\ y = t \\ z = 1 + 2t \end{array} \right. \] - Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(1, 1, 1)\) và có vectơ chỉ phương \((a, b, c)\): \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + at \\ y = 1 + bt \\ z = 1 + ct \end{array} \right. \] - Để \(N\) là giao điểm của cả hai đường thẳng, ta có: \[ \left\{ \begin{array}{l} 1 + at = -2 + 3t \\ 1 + bt = t \\ 1 + ct = 1 + 2t \end{array} \right. \] - Giải hệ phương trình này để tìm \(a\), \(b\), và \(c\): \[ \left\{ \begin{array}{l} 1 + at = -2 + 3t \implies at - 3t = -3 \implies t(a - 3) = -3 \\ 1 + bt = t \implies bt - t = -1 \implies t(b - 1) = -1 \\ 1 + ct = 1 + 2t \implies ct - 2t = 0 \implies t(c - 2) = 0 \end{array} \right. \] - Từ phương trình thứ ba, ta có \(c = 2\). - Thay \(c = 2\) vào phương trình vuông góc: \[ 2a - 5b + 2 = 0 \implies 2a - 5b = -2 \] - Thay \(c = 2\) vào phương trình thứ hai: \[ t(b - 1) = -1 \implies b - 1 = -1 \implies b = 0 \] - Thay \(b = 0\) vào phương trình vuông góc: \[ 2a = -2 \implies a = -1 \] 4. Viết phương trình đường thẳng \(d\): - Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(1, 1, 1)\) và có vectơ chỉ phương \((-1, 0, 2)\): \[ \frac{x - 1}{-1} = \frac{y - 1}{0} = \frac{z - 1}{2} \] Do đó, phương trình đường thẳng \(d\) là: \[ \boxed{\frac{x - 1}{-1} = \frac{y - 1}{0} = \frac{z - 1}{2}} \] Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, phương án đúng là: \[ \boxed{A.~\frac{x-1}9=\frac{y-1}7=\frac{z-1}{17}} \] Câu 12: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2x + 1 \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của hàm số này. Nguyên hàm của \( 2x \) là: \[ \int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 \] Nguyên hàm của \( 1 \) là: \[ \int 1 \, dx = x \] Do đó, nguyên hàm của \( f(x) = 2x + 1 \) là: \[ \int (2x + 1) \, dx = x^2 + x + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số nguyên hàm. Vậy, đáp án đúng là: \[ A.~x^2 + x + C \] Câu 1: a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow{u} = (0; -1; 1)$ vì phương trình tham số của đường thẳng d là: \[ d: \left\{ \begin{array}{l} x = 3 \\ y = 1 - t \\ z = 3 + t \end{array} \right. \] Từ đó ta thấy rằng khi t thay đổi, y giảm 1 đơn vị và z tăng 1 đơn vị, trong khi x không thay đổi. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow{u} = (0; -1; 1)$. b) Để kiểm tra đường thẳng d có đi qua điểm A(3;0;4) hay không, ta thay t vào phương trình tham số của đường thẳng d: \[ y = 1 - t \\ z = 3 + t \] Ta cần tìm giá trị của t sao cho y = 0 và z = 4: \[ 1 - t = 0 \Rightarrow t = 1 \\ 3 + t = 4 \Rightarrow t = 1 \] Vì cả hai phương trình đều cho t = 1, nên điểm A(3;0;4) nằm trên đường thẳng d. c) Để kiểm tra đường thẳng d có vuông góc với trục Ox hay không, ta xét vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow{u} = (0; -1; 1)$ và vectơ chỉ phương của trục Ox là $\overrightarrow{i} = (1; 0; 0)$. Ta tính tích vô hướng của hai vectơ này: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{i} = (0; -1; 1) \cdot (1; 0; 0) = 0 \times 1 + (-1) \times 0 + 1 \times 0 = 0 \] Vì tích vô hướng bằng 0, nên đường thẳng d vuông góc với trục Ox. d) Để tìm góc tạo bởi đường thẳng d với trục Oy, ta xét vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow{u} = (0; -1; 1)$ và vectơ chỉ phương của trục Oy là $\overrightarrow{j} = (0; 1; 0)$. Ta tính tích vô hướng của hai vectơ này: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{j} = (0; -1; 1) \cdot (0; 1; 0) = 0 \times 0 + (-1) \times 1 + 1 \times 0 = -1 \] Ta cũng cần tính độ dài của hai vectơ: \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2} \\ |\overrightarrow{j}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1 \] Góc giữa hai vectơ là: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{j}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{j}|} = \frac{-1}{\sqrt{2} \times 1} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] Do đó, góc $\theta$ là: \[ \theta = \cos^{-1}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 135^\circ \] Vậy góc tạo bởi đường thẳng d với trục Oy là $135^\circ$, không phải $75^\circ$. Kết luận: a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow{u} = (0; -1; 1)$. b) Đường thẳng d luôn đi qua điểm A(3;0;4). c) Đường thẳng d vuông góc với trục Ox. d) Góc tạo bởi đường thẳng d với trục Oy là $135^\circ$.