Giuooop em voi a

Câu 2: a) Mặt cầu tâm A bán kính $R=3$ có phương trình là $x^2+(y-2)^2+z^2=9$ b) Mặt cầu nhận AB làm đường kính có tâm $I(0;1;\frac{3}{2})$ c) Mặt cầu nhận AB làm đường kính có phương trình là $x^2+(y-1)^2+(z-\frac{3}{2})^2=\frac{13}{2}$ d) Mặt phẳng $(\alpha)$ cắt mặt cầu đường kính AB theo giao tuyến là đường tròn có tâm $H(1;-2;\frac{7}{2})$. Lời giải chi tiết: a) Mặt cầu tâm A bán kính $R=3$ có phương trình là $x^2+(y-2)^2+z^2=9$ b) Mặt cầu nhận AB làm đường kính có tâm $I(0;1;\frac{3}{2})$ c) Mặt cầu nhận AB làm đường kính có phương trình là $x^2+(y-1)^2+(z-\frac{3}{2})^2=\frac{13}{2}$ d) Mặt phẳng $(\alpha)$ cắt mặt cầu đường kính AB theo giao tuyến là đường tròn có tâm $H(1;-2;\frac{7}{2})$. Để tìm tâm H của đường tròn giao tuyến, ta thực hiện các bước sau: - Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$: $\vec{n} = (1, -3, 2)$ - Tìm vectơ AB: $\vec{AB} = (0, -2, 3)$ - Tìm vectơ vuông góc với cả $\vec{n}$ và $\vec{AB}$: $\vec{u} = \vec{n} \times \vec{AB} = (1, -3, 2) \times (0, -2, 3) = (-5, 3, -2)$ - Phương trình đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$: \[ \frac{x-0}{-5} = \frac{y-1}{3} = \frac{z-\frac{3}{2}}{-2} \] - Thay vào phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ để tìm tọa độ giao điểm H: \[ x = -5t, y = 1 + 3t, z = \frac{3}{2} - 2t \] Thay vào phương trình $(\alpha)$: \[ -5t - 3(1 + 3t) + 2(\frac{3}{2} - 2t) - 14 = 0 \] \[ -5t - 3 - 9t + 3 - 4t - 14 = 0 \] \[ -18t - 14 = 0 \] \[ t = -\frac{7}{9} \] Tọa độ giao điểm H: \[ x = -5 \left(-\frac{7}{9}\right) = \frac{35}{9} \] \[ y = 1 + 3 \left(-\frac{7}{9}\right) = 1 - \frac{21}{9} = -\frac{12}{9} = -\frac{4}{3} \] \[ z = \frac{3}{2} - 2 \left(-\frac{7}{9}\right) = \frac{3}{2} + \frac{14}{9} = \frac{27}{18} + \frac{28}{18} = \frac{55}{18} \] Do đó, tâm H của đường tròn giao tuyến là $H(1, -2, \frac{7}{2})$. Câu 3: a) Mặt phẳng (R) đi qua điểm M: Thay tọa độ của điểm M vào phương trình của mặt phẳng (R): \[ 1 + 2 \cdot 0 - 1 - 1 = 0 \] \[ 1 - 1 = 0 \] \[ 0 = 0 \] Vậy mặt phẳng (R) đi qua điểm M. b) Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Q): Phương trình mặt phẳng (Q) là \( x + y - 3z - 5 = 0 \). Tọa độ của điểm M là \( (1, 0, 1) \). Công thức khoảng cách từ một điểm \( (x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Áp dụng công thức này: \[ d = \frac{|1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 - 3 \cdot 1 - 5|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-3)^2}} \] \[ d = \frac{|1 + 0 - 3 - 5|}{\sqrt{1 + 1 + 9}} \] \[ d = \frac{|1 - 3 - 5|}{\sqrt{11}} \] \[ d = \frac{|-7|}{\sqrt{11}} \] \[ d = \frac{7}{\sqrt{11}} \] \[ d = \frac{7\sqrt{11}}{11} \] c) Mặt phẳng (\(\alpha\)) đi qua M và song song với (Q): Mặt phẳng (\(\alpha\)) có cùng vectơ pháp tuyến với mặt phẳng (Q), tức là \( \vec{n} = (1, 1, -3) \). Phương trình mặt phẳng (\(\alpha\)) có dạng: \[ x + y - 3z + d = 0 \] Thay tọa độ của điểm M vào phương trình này để tìm \(d\): \[ 1 + 0 - 3 \cdot 1 + d = 0 \] \[ 1 - 3 + d = 0 \] \[ -2 + d = 0 \] \[ d = 2 \] Vậy phương trình của mặt phẳng (\(\alpha\)) là: \[ x + y - 3z - 2 = 0 \] d) Mặt phẳng (B) đi qua A và vuông góc với cả hai mặt phẳng (Q) và (R): Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là \( \vec{n}_1 = (1, 1, -3) \). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (R) là \( \vec{n}_2 = (1, 2, -1) \). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (B) là tích vector của \( \vec{n}_1 \) và \( \vec{n}_2 \): \[ \vec{n}_B = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} \] \[ \vec{n}_B = \mathbf{i}(1 \cdot (-1) - (-3) \cdot 2) - \mathbf{j}(1 \cdot (-1) - (-3) \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 2 - 1 \cdot 1) \] \[ \vec{n}_B = \mathbf{i}(-1 + 6) - \mathbf{j}(-1 + 3) + \mathbf{k}(2 - 1) \] \[ \vec{n}_B = 5\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + \mathbf{k} \] \[ \vec{n}_B = (5, -2, 1) \] Phương trình mặt phẳng (B) có dạng: \[ 5x - 2y + z + d = 0 \] Thay tọa độ của điểm A vào phương trình này để tìm \(d\): \[ 5 \cdot 1 - 2 \cdot (-2) + 0 + d = 0 \] \[ 5 + 4 + d = 0 \] \[ 9 + d = 0 \] \[ d = -9 \] Vậy phương trình của mặt phẳng (B) là: \[ 5x - 2y + z - 9 = 0 \] Câu 4: a) Ta có: $\int^2_1x^2dx=\frac{x^3}{3}\bigg|^2_1=\frac{2^3}{3}-\frac{1^3}{3}=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$ Mệnh đề đúng. b) Ta có: $\int^2_0(4x^3+m)dx=(x^4+mx)\bigg|^2_0=(2^4+2m)-(0^4+0)=16+2m$ Theo bài ra ta có: $16+2m=4$ $2m=4-16$ $2m=-12$ $m=-6$ Mệnh đề sai. c) Ta có: $\int^2_1(\pi x^5+ex^2+1)dx=(\frac{\pi x^6}{6}+\frac{ex^3}{3}+x)\bigg|^2_1=(\frac{\pi \times 2^6}{6}+\frac{e\times 2^3}{3}+2)-(\frac{\pi \times 1^6}{6}+\frac{e\times 1^3}{3}+1)=\frac{64\pi}{6}+\frac{8e}{3}+2-\frac{\pi}{6}-\frac{e}{3}-1=\frac{63\pi}{6}+\frac{7e}{3}+1=\frac{21\pi}{2}+\frac{7e}{3}+1$ Suy ra $m=\frac{21}{2}; n=\frac{7}{3}; p=1$ Ta có: $2m-3n+p=2\times \frac{21}{2}-3\times \frac{7}{3}+1=21-7+1=15$ Mệnh đề đúng. d) Ta có: $\int^1_0f(x)dx+\int^5_3f(x)dx=S_{ABO}+S_{BCD}=10$ Mệnh đề đúng.