giúppppppppppp

Câu 10.2. Số hạng thứ năm của cấp số nhân $(u_n)$ được tính bằng công thức $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$. Áp dụng công thức này cho số hạng thứ năm ($n=5$): \[ u_5 = u_1 \cdot q^{5-1} = -3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4 \] Tính $\left(\frac{2}{3}\right)^4$: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81} \] Nhân với $-3$: \[ u_5 = -3 \cdot \frac{16}{81} = -\frac{48}{81} = -\frac{16}{27} \] Vậy số hạng thứ năm của $(u_n)$ là $-\frac{16}{27}$. Đáp án đúng là: $B.~-\frac{16}{27}$. Câu 10.3. Công bội của cấp số nhân $(u_n)$ là $q = \frac{u_2}{u_1} = \frac{6}{2} = 3$. Vậy công bội của cấp số nhân đã cho là 3. Đáp án đúng là: A. 3. Câu 10.4. Để tính giới hạn của biểu thức $\frac{2n^3 + 3n + 1}{3 + 4n^3 + 2n}$ khi $n$ tiến đến vô cùng, ta thực hiện các bước sau: 1. Phân tích biểu thức: Ta thấy rằng cả tử số và mẫu số đều có bậc cao nhất là $n^3$. Do đó, để dễ dàng hơn trong việc tính giới hạn, ta chia cả tử số và mẫu số cho $n^3$. 2. Chia cả tử số và mẫu số cho $n^3$: \[ \frac{2n^3 + 3n + 1}{3 + 4n^3 + 2n} = \frac{\frac{2n^3}{n^3} + \frac{3n}{n^3} + \frac{1}{n^3}}{\frac{3}{n^3} + \frac{4n^3}{n^3} + \frac{2n}{n^3}} \] 3. Rút gọn biểu thức: \[ = \frac{2 + \frac{3}{n^2} + \frac{1}{n^3}}{\frac{3}{n^3} + 4 + \frac{2}{n^2}} \] 4. Tính giới hạn khi $n$ tiến đến vô cùng: - Khi $n$ tiến đến vô cùng, các phân số $\frac{3}{n^2}$, $\frac{1}{n^3}$, $\frac{3}{n^3}$ và $\frac{2}{n^2}$ đều tiến đến 0. - Vậy biểu thức trên sẽ tiến đến: \[ \frac{2 + 0 + 0}{0 + 4 + 0} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] Do đó, giới hạn của biểu thức $\frac{2n^3 + 3n + 1}{3 + 4n^3 + 2n}$ khi $n$ tiến đến vô cùng là $\frac{1}{2}$. Đáp án đúng là: D. $\frac{1}{2}$. Câu 10.5. Ta có: $u_1 = 4$ $u_2 = u_1 + 1 = 4 + 1 = 5$ $u_3 = u_2 + 2 = 5 + 2 = 7$ $u_4 = u_3 + 3 = 7 + 3 = 10$ $u_5 = u_4 + 4 = 10 + 4 = 14$ Vậy số hạng thứ 5 của dãy số là 14. Đáp án đúng là: D. 14 Câu 11.0. Ta sẽ kiểm tra từng phát biểu để xác định phát biểu đúng. A. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{B'A'} = \overrightarrow{AC'}$ - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ A đến B. - $\overrightarrow{BB'}$ là vectơ từ B đến B'. - $\overrightarrow{B'A'}$ là vectơ từ B' đến A'. Tổng của ba vectơ này không phải là $\overrightarrow{AC'}$. Do đó, phát biểu này sai. B. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC'} + \overrightarrow{C'D'} = \overrightarrow{AC'}$ - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ A đến B. - $\overrightarrow{BC'}$ là vectơ từ B đến C'. - $\overrightarrow{C'D'}$ là vectơ từ C' đến D'. Tổng của ba vectơ này không phải là $\overrightarrow{AC'}$. Do đó, phát biểu này sai. C. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$ - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ A đến B. - $\overrightarrow{AC}$ là vectơ từ A đến C. - $\overrightarrow{AA'}$ là vectơ từ A đến A'. Tổng của ba vectơ này không phải là $\overrightarrow{AC'}$. Do đó, phát biểu này sai. D. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC'}$ - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ A đến B. - $\overrightarrow{AA'}$ là vectơ từ A đến A'. - $\overrightarrow{AD}$ là vectơ từ A đến D. Tổng của ba vectơ này là $\overrightarrow{AC'}$. Do đó, phát biểu này đúng. Vậy phát biểu đúng là: \[ \boxed{D.~\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC'}} \] Câu 11.1. Trước tiên, chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn để xác định biểu thức nào là đúng. A. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}$ - Ta thấy rằng $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng nằm trên một đường thẳng và không tạo thành $\overrightarrow{AD}$. Do đó, biểu thức này là sai. B. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC'}$ - Ta thấy rằng $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ là hai vectơ cạnh của hình hộp, nhưng $\overrightarrow{AC'}$ là vectơ chéo từ đỉnh A đến đỉnh C' của hình hộp. Biểu thức này không đúng vì $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ không tạo thành $\overrightarrow{AC'}$. C. $\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC'}$ - Ta thấy rằng $\overrightarrow{AA'}$ là vectơ từ đỉnh A lên đỉnh A' (cạnh đứng của hình hộp). $\overrightarrow{AC}$ là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh C (cạnh đáy của hình hộp). Khi cộng hai vectơ này lại, ta sẽ nhận được vectơ $\overrightarrow{AC'}$, vì $\overrightarrow{AC'}$ là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh C' của hình hộp. Biểu thức này là đúng. D. $\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ - Ta thấy rằng $\overrightarrow{AA'}$, $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ là ba vectơ cạnh của hình hộp. Tuy nhiên, khi cộng ba vectơ này lại, ta sẽ nhận được vectơ $\overrightarrow{AC'}$, chứ không phải $\overrightarrow{AC}$. Biểu thức này là sai. Vậy, biểu thức đúng là: C. $\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC'}$ Đáp án: C. $\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC'}$ Câu 11.2. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', đoạn thẳng BD nằm trong mặt đáy ABCD, còn đoạn thẳng A'C' nằm trong mặt trên A'B'C'D'. Ta sẽ tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{A'C'}$. Để làm điều này, ta cần biết rằng trong hình lập phương, các đường chéo của các mặt đáy và các mặt trên là vuông góc với nhau. Do đó, ta có: - $\overrightarrow{BD}$ là đường chéo của mặt đáy ABCD. - $\overrightarrow{A'C'}$ là đường chéo của mặt trên A'B'C'D'. Hai đường chéo này là vuông góc với nhau, do đó góc giữa chúng là 90°. Công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ là: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}|} \] Trong trường hợp này, vì hai vectơ vuông góc với nhau, tích vô hướng của chúng là 0: \[ \overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{A'C'} = 0 \] Do đó: \[ \cos(\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{A'C'}) = \frac{0}{|\overrightarrow{BD}| |\overrightarrow{A'C'}|} = 0 \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~\cos(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{A^\prime C^\prime})=0 \] Câu 11.3. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trọng tâm G của tam giác ABC chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2:1, tính từ đỉnh đến trọng tâm. Ta có: \[ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} \] Vì G là trọng tâm của tam giác ABC, nên: \[ \overrightarrow{GA} = \overrightarrow{S} - \overrightarrow{G} \] \[ \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{S} - \overrightarrow{G} \] \[ \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{S} - \overrightarrow{G} \] Do đó: \[ \overrightarrow{SA} = \overrightarrow{SG} + \overrightarrow{GA} \] \[ \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{SG} + \overrightarrow{GB} \] \[ \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SG} + \overrightarrow{GC} \] Cộng lại ta có: \[ \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} = (\overrightarrow{SG} + \overrightarrow{GA}) + (\overrightarrow{SG} + \overrightarrow{GB}) + (\overrightarrow{SG} + \overrightarrow{GC}) \] \[ = 3\overrightarrow{SG} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}) \] \[ = 3\overrightarrow{SG} + \overrightarrow{0} \] \[ = 3\overrightarrow{SG} \] Như vậy, ta có: \[ \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} = 3\overrightarrow{SG} \] Đáp án đúng là: \[ \boxed{3\overrightarrow{SG}} \]