giải giúppppp đúng sai

Câu 1.3. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần một cách chi tiết. Phần a) Tính giá trị của hàm số $f(x)$ tại $x=\frac{\pi}{2}$ và $x=0$: \[ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) + \cos^2\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = \sin(\pi) + \cos^2(\pi) = 0 + (-1)^2 = 1 \] \[ f(0) = \sin(2 \cdot 0) + \cos^2(2 \cdot 0) = \sin(0) + \cos^2(0) = 0 + 1^2 = 1 \] Như vậy, $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ và $f(0) = 1$. Phần a) đúng. Phần b) Tìm đạo hàm của hàm số $f(x)$: \[ f(x) = \sin(2x) + \cos^2(2x) \] Áp dụng công thức đạo hàm: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}[\sin(2x)] + \frac{d}{dx}[\cos^2(2x)] \] \[ f'(x) = 2\cos(2x) + 2\cos(2x)(-\sin(2x)) \cdot 2 \] \[ f'(x) = 2\cos(2x) - 4\cos(2x)\sin(2x) \] \[ f'(x) = 2\cos(2x)(1 - 2\sin(2x)) \] Như vậy, $f'(x) = 2\cos(2x)(1 - 2\sin(2x))$. Phần b) đúng. Phần c) Xét phương trình $f'(x) = 0$ trên đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$: \[ 2\cos(2x)(1 - 2\sin(2x)) = 0 \] \[ \cos(2x) = 0 \quad \text{hoặc} \quad 1 - 2\sin(2x) = 0 \] Giải phương trình $\cos(2x) = 0$: \[ 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \] Trên đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$, ta có $x = \frac{\pi}{4}$. Giải phương trình $1 - 2\sin(2x) = 0$: \[ \sin(2x) = \frac{1}{2} \] \[ 2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \] \[ x = \frac{\pi}{12} + k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{5\pi}{12} + k\pi \] Trên đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$, ta có $x = \frac{\pi}{12}$ và $x = \frac{5\pi}{12}$. Như vậy, phương trình $f'(x) = 0$ có 3 nghiệm trên đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$: $x = \frac{\pi}{12}$, $x = \frac{\pi}{4}$, và $x = \frac{5\pi}{12}$. Phần c) đúng. Phần d) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$: \[ f(x) = \sin(2x) + \cos^2(2x) \] Đặt $t = \sin(2x)$, thì $0 \leq t \leq 1$ và $\cos^2(2x) = 1 - t^2$: \[ f(x) = t + 1 - t^2 = -t^2 + t + 1 \] Hàm số $g(t) = -t^2 + t + 1$ là một parabol mở xuống, đỉnh của nó là: \[ t = -\frac{b}{2a} = \frac{1}{2} \] \[ g\left(\frac{1}{2}\right) = -\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} + 1 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{5}{4} \] Như vậy, giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$ là $\frac{5}{4}$. Phần d) đúng. Kết luận: Các phần a), b), c), và d) đều đúng.