Giúp mình với! Cho hàm số $y=\frac{x^2-x+1}{x-1},$ khi đó:,a) Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.,b) Đường tiệm cận xiên của đồ thị tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1.,c) Giao điểm hai tiệm cận của đồ thị nằm trên parabol $y=x^2.$,d) Đường tiệm cận xiên của đồ thị vuông góc với đường thẳng $x+y-\pi=0.$

Question

Timi · Accepted Answer

Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phát biểu một.

a) Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Tiệm cận ngang của hàm số $ y = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} $ được xác định bằng giới hạn của hàm số khi $ x \to \pm \infty $.

$$
\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}
$$

Chia cả tử và mẫu cho $ x $:

$$
\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x - 1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x - 1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}
$$

Khi $ x \to \pm \infty $, các phân số $ \frac{1}{x} $ sẽ tiến đến 0:

$$
\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x - 1 + 0}{1 - 0} = \lim_{x \to \pm \infty} x - 1 = \pm \infty
$$

Vậy hàm số không có tiệm cận ngang. Phát biểu a đúng.

b) Đường tiệm cận xiên của đồ thị tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1.

Để tìm đường tiệm cận xiên, ta thực hiện phép chia đa thức:

$$
\frac{x^2 - x + 1}{x - 1} = x + \frac{1}{x - 1}
$$

Khi $ x \to \pm \infty $, $ \frac{1}{x - 1} \to 0 $. Vậy đường tiệm cận xiên là $ y = x $.

Đường tiệm cận xiên $ y = x $ cắt trục $ Oy $ tại điểm $ (0, 0) $ và cắt trục $ Ox $ tại điểm $ (0, 0) $. Do đó, tam giác tạo bởi đường tiệm cận xiên và hai trục tọa độ có diện tích bằng 0, không phải 1. Phát biểu b sai.

c) Giao điểm hai tiệm cận của đồ thị nằm trên parabol $ y = x^2 $.

Hàm số $ y = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} $ có tiệm cận đứng là $ x = 1 $ (vì mẫu số bằng 0 khi $ x = 1 $) và tiệm cận xiên là $ y = x $.

Giao điểm của hai tiệm cận là giao điểm của đường thẳng $ x = 1 $ và $ y = x $, tức là điểm $ (1, 1) $.

Kiểm tra điểm $ (1, 1) $ có thuộc parabol $ y = x^2 $ hay không:

$$
y = 1^2 = 1
$$

Điểm $ (1, 1) $ nằm trên parabol $ y = x^2 $. Phát biểu c đúng.

d) Đường tiệm cận xiên của đồ thị vuông góc với đường thẳng $ x + y - \pi = 0 $.

Đường tiệm cận xiên là $ y = x $, có hệ số góc $ m_1 = 1 $.

Đường thẳng $ x + y - \pi = 0 $ có thể viết lại thành $ y = -x + \pi $, có hệ số góc $ m_2 = -1 $.

Hai đường thẳng vuông góc nếu tích của các hệ số góc bằng -1:

$$
m_1 \cdot m_2 = 1 \cdot (-1) = -1
$$

Vậy đường tiệm cận xiên của đồ thị vuông góc với đường thẳng $ x + y - \pi = 0 $. Phát biểu d đúng.

Kết luận:
Phát biểu đúng là: a, c, d.