giúp tôi chọn đáp án đúng

Câu 1. Để tính giá trị của $\int^{\frac\pi2}_0\sin xdx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của $\sin x$. Nguyên hàm của $\sin x$ là $-\cos x$. Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân xác định: \[ \int^{\frac\pi2}_0\sin xdx = \left[-\cos x\right]^{\frac\pi2}_0 \] Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức nguyên hàm: \[ \left[-\cos x\right]^{\frac\pi2}_0 = -\cos\left(\frac\pi2\right) - (-\cos(0)) \] Bước 4: Tính giá trị của các biểu thức: \[ -\cos\left(\frac\pi2\right) = -0 = 0 \] \[ -\cos(0) = -1 \] Bước 5: Kết hợp các kết quả: \[ 0 - (-1) = 0 + 1 = 1 \] Vậy giá trị của $\int^{\frac\pi2}_0\sin xdx$ là 1. Đáp án đúng là: A. 1. Câu 2. Diện tích của miền hình phẳng D được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và các đường thẳng x = a, x = b (với a < b) được tính bằng công thức tích phân xác định của hàm số f(x) từ a đến b. Cụ thể, diện tích S của miền D được cho bởi: \[ S = \left| \int_{a}^{b} f(x) \, dx \right| \] Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, chúng ta thấy rằng: - A. $\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ - B. $S = \int_{0}^{b} |f(x)| \, dx$ - C. $S = \pi \int_{a}^{b} f^2(x) \, dx$ - D. $S = \int_{a}^{h} f(x) \, dx$ Trong đó, lựa chọn đúng là: \[ S = \left| \int_{a}^{b} f(x) \, dx \right| \] Nhưng vì trong các lựa chọn đã cho không có dấu giá trị tuyệt đối, nên chúng ta sẽ chọn lựa chọn gần đúng nhất, đó là: \[ S = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{A. \int_{a}^{b} f(x) \, dx} \] Câu 3. Để tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) được cho bởi phương trình tham số: \[ d: \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = -1 + 3t \end{array} \right. \] Ta nhận thấy rằng mỗi thành phần của tọa độ điểm trên đường thẳng \(d\) phụ thuộc vào tham số \(t\). Từ đó, ta có thể xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) bằng cách lấy các hệ số của \(t\) trong các phương trình tham số. Cụ thể: - Thành phần \(x\) phụ thuộc vào \(t\) theo hệ số 1. - Thành phần \(y\) phụ thuộc vào \(t\) theo hệ số -2. - Thành phần \(z\) phụ thuộc vào \(t\) theo hệ số 3. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là: \[ \overrightarrow{u} = (1, -2, 3) \] So sánh với các lựa chọn đã cho: - \( A.~\overrightarrow{u_2} = (1, 2, 3) \) - \( B.~\overrightarrow{u_1} = (2, 1, -1) \) - \( C.~\overrightarrow{u_4} = (2, 1, 1) \) - \( D.~\overrightarrow{u_3} = (1, -2, 3) \) Ta thấy rằng vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \( \overrightarrow{u_3} = (1, -2, 3) \). Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{D.~\overrightarrow{u_3} = (1, -2, 3)} \] Câu 4. Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian Oxyz có dạng: \[ Ax + By + Cz + D = 0 \] trong đó \( A, B, C, D \) là các hằng số và \( A, B, C \) không đồng thời bằng 0. Ta sẽ kiểm tra từng phương trình để xác định phương trình tổng quát của mặt phẳng: A. \( x^2 + 2y + 4z - 2 = 0 \) - Phương trình này có \( x^2 \), do đó không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng. B. \( x - 3y^2 + z - 1 = 0 \) - Phương trình này có \( y^2 \), do đó không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng. C. \( 2x - 3y + 4z^2 - 2025 = 0 \) - Phương trình này có \( z^2 \), do đó không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng. D. \( 2x - 3y + 4z - 2025 = 0 \) - Phương trình này có dạng \( Ax + By + Cz + D = 0 \) với \( A = 2 \), \( B = -3 \), \( C = 4 \), \( D = -2025 \). Do đó, đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng là: \[ \boxed{D.~2x - 3y + 4z - 2025 = 0} \] Câu 5. Để xác định vectơ nào không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P):~3x-y+2z-1=0$, ta cần kiểm tra xem mỗi vectơ có vuông góc với mặt phẳng hay không. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ sẽ có dạng $(a, b, c)$ sao cho $a = 3k$, $b = -k$, $c = 2k$ với $k$ là một hằng số thực bất kỳ. Ta xét từng đáp án: A. $\overrightarrow{n} = (3, 1, 2)$ - Kiểm tra: $3 = 3k$, $1 = -k$, $2 = 2k$ - Điều này không thể xảy ra vì $k$ không thể vừa bằng 1 vừa bằng -1. B. $\overrightarrow{n} = (-3, 1, -2)$ - Kiểm tra: $-3 = 3k$, $1 = -k$, $-2 = 2k$ - Điều này không thể xảy ra vì $k$ không thể vừa bằng -1 vừa bằng 1. C. $\overrightarrow{n} = (6, -2, 4)$ - Kiểm tra: $6 = 3k$, $-2 = -k$, $4 = 2k$ - Điều này đúng khi $k = 2$. D. $\overrightarrow{n} = (3, -1, 2)$ - Kiểm tra: $3 = 3k$, $-1 = -k$, $2 = 2k$ - Điều này đúng khi $k = 1$. Như vậy, các vectơ $\overrightarrow{n} = (6, -2, 4)$ và $\overrightarrow{n} = (3, -1, 2)$ đều là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$. Các vectơ $\overrightarrow{n} = (3, 1, 2)$ và $\overrightarrow{n} = (-3, 1, -2)$ không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$. Do đó, đáp án đúng là: A. $\overrightarrow{n} = (3, 1, 2)$ B. $\overrightarrow{n} = (-3, 1, -2)$ Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, chỉ có một lựa chọn duy nhất không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$. Vì vậy, đáp án cuối cùng là: Đáp án: A. $\overrightarrow{n} = (3, 1, 2)$ Câu 6. Phương trình của mặt cầu (S) có tâm $I(1;-4;0)$ và bán kính bằng 3 là: \[ (x - 1)^2 + (y + 4)^2 + z^2 = 9 \] Vậy phương án đúng là: \[ A.~(x-1)^2+(y+4)^2+z^2=9 \]