Giup toi voi

Câu 7. Mặt cầu $(S):~(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=4$ có tâm là $I(2,-1,3)$ và bán kính là $r=2$. Do đó, tâm của mặt cầu $(S)$ có tọa độ là $(2,-1,3)$. Vậy đáp án đúng là: C. $(2,-1,3)$. Câu 8. Để kiểm tra xem điểm nào thuộc đường thẳng \(d\), ta cần thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình của đường thẳng và kiểm tra xem chúng có thỏa mãn phương trình đó hay không. Phương trình của đường thẳng \(d\) là: \[ \frac{x-4}{2} = \frac{y-2}{-5} = \frac{z+1}{1} \] Ta sẽ lần lượt kiểm tra từng điểm: 1. Kiểm tra điểm \(Q(2;5;1)\): - Thay \(x = 2\), \(y = 5\), \(z = 1\) vào phương trình: \[ \frac{2-4}{2} = \frac{5-2}{-5} = \frac{1+1}{1} \] \[ \frac{-2}{2} = \frac{3}{-5} = \frac{2}{1} \] \[ -1 \neq -0.6 \neq 2 \] Do đó, điểm \(Q\) không thuộc đường thẳng \(d\). 2. Kiểm tra điểm \(N(4;2;-1)\): - Thay \(x = 4\), \(y = 2\), \(z = -1\) vào phương trình: \[ \frac{4-4}{2} = \frac{2-2}{-5} = \frac{-1+1}{1} \] \[ \frac{0}{2} = \frac{0}{-5} = \frac{0}{1} \] \[ 0 = 0 = 0 \] Do đó, điểm \(N\) thuộc đường thẳng \(d\). 3. Kiểm tra điểm \(P(2;-5;1)\): - Thay \(x = 2\), \(y = -5\), \(z = 1\) vào phương trình: \[ \frac{2-4}{2} = \frac{-5-2}{-5} = \frac{1+1}{1} \] \[ \frac{-2}{2} = \frac{-7}{-5} = \frac{2}{1} \] \[ -1 \neq 1.4 \neq 2 \] Do đó, điểm \(P\) không thuộc đường thẳng \(d\). 4. Kiểm tra điểm \(M(4;2;1)\): - Thay \(x = 4\), \(y = 2\), \(z = 1\) vào phương trình: \[ \frac{4-4}{2} = \frac{2-2}{-5} = \frac{1+1}{1} \] \[ \frac{0}{2} = \frac{0}{-5} = \frac{2}{1} \] \[ 0 = 0 \neq 2 \] Do đó, điểm \(M\) không thuộc đường thẳng \(d\). Kết luận: Điểm \(N(4;2;-1)\) thuộc đường thẳng \(d\). Đáp án đúng là: \(B.~N(4;2;-1)\). Câu 9. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rõ về xác suất điều kiện và các công thức liên quan đến nó. Xác suất điều kiện của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra được ký hiệu là \( P(A|B) \) và được tính theo công thức: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] Trong đó: - \( P(A \cap B) \) là xác suất của cả hai biến cố A và B cùng xảy ra. - \( P(B) \) là xác suất của biến cố B. Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn để xác định công thức đúng: A. \( P(A|B) = \frac{P(A)}{P(B)} \) Đây không phải là công thức đúng vì \( P(A|B) \) không phải là tỷ lệ giữa \( P(A) \) và \( P(B) \). B. \( P(A|B) = \frac{P(B) \cdot P(A|B)}{P(A) \cdot P(B) + P(A) \cdot P(B) - P(A) \cdot P(B)} \) Đây cũng không phải là công thức đúng vì nó không tuân theo định nghĩa của xác suất điều kiện. C. \( P(A|B) = \frac{P(A) \cdot P(B)}{P(A) \cdot P(B) + P(A) \cdot P(B) - P(A) \cdot P(B)} \) Đây cũng không phải là công thức đúng vì nó không tuân theo định nghĩa của xác suất điều kiện. D. \( P(A|B) = \frac{P(A) \cdot P(B)}{P(A) \cdot P(B) + P(A) \cdot P(B) - P(A) \cdot P(B)} \) Đây cũng không phải là công thức đúng vì nó không tuân theo định nghĩa của xác suất điều kiện. Từ các lựa chọn trên, chúng ta thấy rằng không có lựa chọn nào đúng. Tuy nhiên, dựa vào định nghĩa của xác suất điều kiện, công thức đúng là: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}} \] Câu 10. Để tính xác suất của biến cố A, ta sử dụng công thức xác suất tổng hợp: \[ P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\overline{B}) \cdot P(\overline{B}) \] Trong đó: - \( P(B) = 0,8 \) - \( P(A|B) = 0,7 \) - \( P(A|\overline{B}) = 0,45 \) Xác suất của biến cố đối lập \(\overline{B}\) là: \[ P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,8 = 0,2 \] Bây giờ, ta thay các giá trị vào công thức xác suất tổng hợp: \[ P(A) = 0,7 \cdot 0,8 + 0,45 \cdot 0,2 \] Tính từng phần: \[ 0,7 \cdot 0,8 = 0,56 \] \[ 0,45 \cdot 0,2 = 0,09 \] Cộng lại: \[ P(A) = 0,56 + 0,09 = 0,65 \] Vậy, xác suất của biến cố A là: \[ P(A) = 0,65 \] Đáp án đúng là: B. 0,65. Câu 11. Để tìm góc giữa hai mặt phẳng $(a)$ và $(b)$, ta cần tìm góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng. 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng: - Mặt phẳng $(a): 8x - 4y - 8z + 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1 = (8, -4, -8)$. - Mặt phẳng $(b): \sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 7 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_2 = (\sqrt{2}, -\sqrt{2}, 0)$. 2. Tính tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến: \[ \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 8 \cdot \sqrt{2} + (-4) \cdot (-\sqrt{2}) + (-8) \cdot 0 = 8\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 12\sqrt{2} \] 3. Tính độ dài của mỗi vectơ pháp tuyến: \[ |\vec{n}_1| = \sqrt{8^2 + (-4)^2 + (-8)^2} = \sqrt{64 + 16 + 64} = \sqrt{144} = 12 \] \[ |\vec{n}_2| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2 + 0^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2 \] 4. Tính cosin của góc giữa hai vectơ pháp tuyến: \[ \cos \theta = \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \frac{12\sqrt{2}}{12 \cdot 2} = \frac{12\sqrt{2}}{24} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] 5. Xác định góc $\theta$: \[ \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{4} \] Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(a)$ và $(b)$ là $\frac{\pi}{4}$. Đáp án đúng là: $A.~\frac{\pi}{4}$ Câu 12. Để xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) trong không gian Oxyz, ta cần viết lại phương trình tham số của đường thẳng \(d\) dưới dạng chuẩn. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là: \[ d: \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = -1 + 3t \end{array} \right. \] Từ phương trình trên, ta thấy rằng: - Khi \(t\) thay đổi, \(x\) thay đổi theo tỷ lệ \(1\), - \(y\) thay đổi theo tỷ lệ \(-2\), - \(z\) thay đổi theo tỷ lệ \(3\). Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow{u} = (1, -2, 3)\). So sánh với các lựa chọn đã cho: - \(A.~\overrightarrow{u_1} = (1, 2, 3)\) - \(B.~\overrightarrow{u_1} = (2, 1, -1)\) - \(C.~\overrightarrow{u_4} = (2, 1, 1)\) - \(D.~\overrightarrow{u_0} = (0, -2, 3)\) Ta thấy rằng vectơ \((1, -2, 3)\) không nằm trong các lựa chọn trên. Tuy nhiên, vectơ \((0, -2, 3)\) có thể là một bội của vectơ chỉ phương \((1, -2, 3)\) nếu nhân với một hằng số khác 0. Nhưng trong các lựa chọn đã cho, chỉ có vectơ \((0, -2, 3)\) gần giống với vectơ chỉ phương \((1, -2, 3)\) khi nhân với 0. Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~\overrightarrow{u_0} = (0, -2, 3) \] Đáp án: \(D.~\overrightarrow{u_0} = (0, -2, 3)\) Câu 13. a. Một vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow u=(3;3;-2)$ Để kiểm tra xem $\overrightarrow u=(3;3;-2)$ có phải là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d hay không, ta cần kiểm tra xem $\overrightarrow u$ có cùng phương với vectơ $\overrightarrow{AB}$ hay không. Vectơ $\overrightarrow{AB}$ được tính như sau: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (4 - 1; 1 + 2; -5 - 3) = (3; 3; -8) \] Ta thấy rằng $\overrightarrow u = (3; 3; -2)$ và $\overrightarrow{AB} = (3; 3; -8)$ không cùng phương vì các thành phần tương ứng không tỉ lệ với nhau. Do đó, $\overrightarrow u = (3; 3; -2)$ không phải là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d. b. Phương trình tham số của d là $\left\{\begin{array}lx=1+3t\\y=-2+3t\\z=3-2t\end{array}\right.$ Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm $A(1; -2; 3)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB} = (3; 3; -8)$ là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 3t \\ y = -2 + 3t \\ z = 3 - 8t \end{array} \right. \] c. Điểm $M(7; 4; -13)$ thuộc đường thẳng d. Để kiểm tra xem điểm $M(7; 4; -13)$ có thuộc đường thẳng d hay không, ta thay tọa độ của M vào phương trình tham số của d và kiểm tra xem có tồn tại giá trị của tham số t thỏa mãn tất cả các phương trình hay không. Thay $x = 7$, $y = 4$, $z = -13$ vào phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} 7 = 1 + 3t \\ 4 = -2 + 3t \\ -13 = 3 - 8t \end{array} \right. \] Giải từng phương trình: 1. $7 = 1 + 3t \Rightarrow 3t = 6 \Rightarrow t = 2$ 2. $4 = -2 + 3t \Rightarrow 3t = 6 \Rightarrow t = 2$ 3. $-13 = 3 - 8t \Rightarrow -8t = -16 \Rightarrow t = 2$ Cả ba phương trình đều cho $t = 2$. Do đó, điểm $M(7; 4; -13)$ thuộc đường thẳng d. Kết luận: a. $\overrightarrow u = (3; 3; -2)$ không phải là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d. b. Phương trình tham số của d là $\left\{\begin{array}lx=1+3t\\y=-2+3t\\z=3-8t\end{array}\right.$ c. Điểm $M(7; 4; -13)$ thuộc đường thẳng d.