gcy th bchffjvvg

Câu 32.1. Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = 2\sin x - \cos x \), ta áp dụng công thức đạo hàm của tổng và hiệu của hai hàm số, cũng như đạo hàm của các hàm lượng giác cơ bản. Cụ thể: - Đạo hàm của \( \sin x \) là \( \cos x \). - Đạo hàm của \( \cos x \) là \( -\sin x \). Áp dụng vào hàm số đã cho: \[ y = 2\sin x - \cos x \] Ta tính đạo hàm từng thành phần: \[ y' = (2\sin x)' - (\cos x)' \] \[ y' = 2(\sin x)' - (\cos x)' \] \[ y' = 2\cos x - (-\sin x) \] \[ y' = 2\cos x + \sin x \] Vậy đạo hàm của hàm số \( y = 2\sin x - \cos x \) là: \[ y' = 2\cos x + \sin x \] Do đó, đáp án đúng là: C. \( y' = 2\cos x + \sin x \). Câu 33.4. Để tính đạo hàm của hàm số $y = \ln(x^2 + 1)$, ta áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lôgarit tự nhiên $\ln(u)$, trong đó $u$ là một hàm số của $x$. Công thức này là: \[ y' = \frac{u'}{u} \] Trong trường hợp này, $u = x^2 + 1$, vậy ta cần tính đạo hàm của $u$: \[ u' = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x \] Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lôgarit tự nhiên, ta có: \[ y' = \frac{u'}{u} = \frac{2x}{x^2 + 1} \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~y^\prime=\frac{2x}{x^2+1}. \] Câu 33.5. Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số A. $y = \ln(3x^2 + 5)$ Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lôgarit: $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ Ta có: \[ y' = \frac{(3x^2 + 5)'}{3x^2 + 5} = \frac{6x}{3x^2 + 5} \] B. $y = \ln(10 - \sin x)$ Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lôgarit: $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ Ta có: \[ y' = \frac{(10 - \sin x)'}{10 - \sin x} = \frac{-\cos x}{10 - \sin x} \] C. $y = \ln(\cos x - 2x^2 + 1)$ Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lôgarit: $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ Ta có: \[ y' = \frac{(\cos x - 2x^2 + 1)'}{\cos x - 2x^2 + 1} = \frac{-\sin x - 4x}{\cos x - 2x^2 + 1} \] D. $y = \ln(3x^5 + \sqrt{5})$ Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lôgarit: $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ Ta có: \[ y' = \frac{(3x^5 + \sqrt{5})'}{3x^5 + \sqrt{5}} = \frac{15x^4}{3x^5 + \sqrt{5}} \] Bài 2: Xác định m để các bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ R a) $t'x > v \partial \dot{u} 0i = \frac{P J^3_3 x^2}{2 y^2} + n8 - x$ Phương trình này không rõ ràng và không thể giải quyết được vì nó không có dạng chuẩn. Cần kiểm tra lại đề bài. b) $t' \times \forall 0 Q = \frac{m^3_1 x}{3 q^{\frac{m}{2}}} tm 4x$ Phương trình này cũng không rõ ràng và không thể giải quyết được vì nó không có dạng chuẩn. Cần kiểm tra lại đề bài. Bài 3: Cho hàm số $y = x^3 - 2x^2 + mx - 3$. Tìm m để: a) $f'(x)$ bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất. Đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = 3x^2 - 4x + m \] Yêu cầu $f'(x)$ phải là bình phương của một nhị thức bậc nhất, tức là: \[ 3x^2 - 4x + m = (ax + b)^2 \] Phân tích: \[ (ax + b)^2 = a^2 x^2 + 2ab x + b^2 \] So sánh hệ số: \[ a^2 = 3 \Rightarrow a = \sqrt{3} \text{ hoặc } a = -\sqrt{3} \] \[ 2ab = -4 \Rightarrow b = -\frac{4}{2a} = -\frac{2}{a} \] \[ b^2 = m \Rightarrow m = \left(-\frac{2}{a}\right)^2 = \frac{4}{a^2} = \frac{4}{3} \] Vậy $m = \frac{4}{3}$. b) $f'(x) \neq 0$ với mọi x. Đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = 3x^2 - 4x + m \] Để $f'(x) \neq 0$ với mọi x, phương trình $3x^2 - 4x + m = 0$ phải vô nghiệm. Điều kiện là: \[ \Delta < 0 \] Tính $\Delta$: \[ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot m = 16 - 12m \] Yêu cầu: \[ 16 - 12m < 0 \Rightarrow 12m > 16 \Rightarrow m > \frac{4}{3} \] Vậy $m > \frac{4}{3}$. Phương trình tiếp tuyến: Phương trình tiếp tuyến của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $(x_0, y_0)$ là: \[ y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \] Để viết phương trình tiếp tuyến, cần biết điểm $(x_0, y_0)$ và giá trị của $f'(x_0)$. Câu 28.1. Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x) = x^2$ tại điểm $x = 0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Ta có $f'(x) = 2x$. 2. Tính giá trị đạo hàm tại điểm $x = 0$: $f'(0) = 2 \cdot 0 = 0$. 3. Tìm tọa độ điểm trên đồ thị hàm số tại $x = 0$: $f(0) = 0^2 = 0$. Vậy điểm trên đồ thị là $(0, 0)$. 4. Lập phương trình tiếp tuyến: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $(x_0, y_0)$ có dạng: $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$. Thay $x_0 = 0$, $y_0 = 0$, và $f'(0) = 0$ vào phương trình trên, ta được: $y - 0 = 0 \cdot (x - 0)$, suy ra $y = 0$. Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^2$ tại điểm $x = 0$ là $y = 0$. Đáp án đúng là: $A.~y=0$. Câu 28.2. Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x) = x^2$ tại điểm $x = -1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ điểm tiếp xúc: - Thay $x = -1$ vào hàm số để tìm $y$: \[ y = (-1)^2 = 1 \] - Vậy điểm tiếp xúc là $(-1, 1)$. 2. Tính đạo hàm của hàm số: - Đạo hàm của $f(x) = x^2$ là: \[ f'(x) = 2x \] 3. Tính giá trị của đạo hàm tại điểm $x = -1$: - Thay $x = -1$ vào đạo hàm: \[ f'(-1) = 2 \cdot (-1) = -2 \] - Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $x = -1$ là $-2$. 4. Lập phương trình tiếp tuyến: - Phương trình tiếp tuyến của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $(x_0, y_0)$ với hệ số góc $k$ là: \[ y - y_0 = k(x - x_0) \] - Thay $x_0 = -1$, $y_0 = 1$, và $k = -2$ vào phương trình trên: \[ y - 1 = -2(x + 1) \] - Rút gọn phương trình: \[ y - 1 = -2x - 2 \] \[ y = -2x - 1 \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^2$ tại điểm $x = -1$ là $y = -2x - 1$. Đáp án đúng là: $A.~y = -2x - 1$. Câu 28.3. Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x) = \frac{1}{x}$ tại điểm $x = 1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ điểm tiếp xúc: - Thay $x = 1$ vào hàm số để tìm $y$: \[ y = f(1) = \frac{1}{1} = 1 \] - Vậy điểm tiếp xúc là $(1, 1)$. 2. Tính đạo hàm của hàm số: - Đạo hàm của $f(x) = \frac{1}{x}$ là: \[ f'(x) = -\frac{1}{x^2} \] 3. Tính giá trị của đạo hàm tại điểm $x = 1$: - Thay $x = 1$ vào đạo hàm: \[ f'(1) = -\frac{1}{1^2} = -1 \] - Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $(1, 1)$ là $-1$. 4. Lập phương trình tiếp tuyến: - Phương trình tiếp tuyến của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $(x_0, y_0)$ với hệ số góc $k$ là: \[ y - y_0 = k(x - x_0) \] - Thay $(x_0, y_0) = (1, 1)$ và $k = -1$ vào phương trình trên: \[ y - 1 = -1(x - 1) \] - Rút gọn phương trình: \[ y - 1 = -x + 1 \implies y = -x + 2 \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x) = \frac{1}{x}$ tại điểm $x = 1$ là $y = -x + 2$. Đáp án đúng là: $A.~y = -x + 2$. Câu 28.4. Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x) = x^3$ tại điểm $x = 1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Ta có: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2 \] 2. Tính giá trị đạo hàm tại điểm $x = 1$: \[ f'(1) = 3(1)^2 = 3 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $x = 1$ là $3$. 3. Tìm tọa độ điểm trên đồ thị tại $x = 1$: \[ f(1) = 1^3 = 1 \] Do đó, điểm trên đồ thị là $(1, 1)$. 4. Viết phương trình tiếp tuyến: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $(x_0, y_0)$ với hệ số góc $k$ là: \[ y - y_0 = k(x - x_0) \] Thay $x_0 = 1$, $y_0 = 1$, và $k = 3$ vào phương trình trên, ta có: \[ y - 1 = 3(x - 1) \] Rút gọn phương trình này: \[ y - 1 = 3x - 3 \] \[ y = 3x - 2 \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^3$ tại điểm $x = 1$ là: \[ y = 3x - 2 \] Đáp án đúng là: $A.~y = 3x - 2$. Câu 29.1. Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( y = f(x) = x^2 \) tại điểm có tung độ \( y = 0 \), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ điểm trên đồ thị có tung độ \( y = 0 \): - Ta có \( y = x^2 \). - Để \( y = 0 \), ta giải phương trình \( x^2 = 0 \). - Kết quả là \( x = 0 \). Vậy điểm cần xét là \( (0, 0) \). 2. Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \): - Đạo hàm của \( f(x) = x^2 \) là \( f'(x) = 2x \). 3. Tính giá trị đạo hàm tại điểm \( x = 0 \): - \( f'(0) = 2 \cdot 0 = 0 \). 4. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm \( (0, 0) \): - Phương trình tiếp tuyến của hàm số \( y = f(x) \) tại điểm \( (x_0, y_0) \) có dạng: \[ y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \] - Thay \( x_0 = 0 \), \( y_0 = 0 \), và \( f'(0) = 0 \) vào phương trình trên: \[ y - 0 = 0 \cdot (x - 0) \] \[ y = 0 \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( y = x^2 \) tại điểm có tung độ \( y = 0 \) là \( y = 0 \). Đáp án đúng là: \( A.~y = 0 \). Câu 29.2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ điểm trên đồ thị \( y = f(x) = x^2 \) có tung độ \( y = 4 \). 2. Tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \) để tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó. 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm đã tìm. Bước 1: Tìm tọa độ điểm trên đồ thị \( y = f(x) = x^2 \) có tung độ \( y = 4 \) Ta có: \[ y = x^2 \] \[ 4 = x^2 \] Giải phương trình này: \[ x^2 = 4 \] \[ x = \pm 2 \] Vì yêu cầu hoành độ dương, ta chọn: \[ x = 2 \] Vậy tọa độ điểm là \( (2, 4) \). Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \) để tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó Hàm số \( f(x) = x^2 \) có đạo hàm là: \[ f'(x) = 2x \] Tại điểm \( x = 2 \): \[ f'(2) = 2 \cdot 2 = 4 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \( (2, 4) \) là 4. Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm đã tìm Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \( y = f(x) \) tại điểm \( (x_0, y_0) \) có dạng: \[ y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \] Thay \( x_0 = 2 \), \( y_0 = 4 \), và \( f'(2) = 4 \) vào phương trình trên: \[ y - 4 = 4(x - 2) \] \[ y - 4 = 4x - 8 \] \[ y = 4x - 4 \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị \( y = f(x) \) tại điểm có hoành độ dương, tung độ \( y = 4 \) là: \[ y = 4x - 4 \] Đáp án đúng là: \( A.~y=4x-4 \) Câu 29.3. Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x) = \frac{1}{x}$ tại điểm có hoành độ $x = 2$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ điểm tiếp xúc: - Thay $x = 2$ vào hàm số để tìm tung độ: \[ y = f(2) = \frac{1}{2} \] - Vậy điểm tiếp xúc là $\left(2, \frac{1}{2}\right)$. 2. Tính đạo hàm của hàm số: - Đạo hàm của $f(x) = \frac{1}{x}$ là: \[ f'(x) = -\frac{1}{x^2} \] 3. Tính giá trị đạo hàm tại điểm $x = 2$: - Thay $x = 2$ vào đạo hàm: \[ f'(2) = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4} \] - Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $\left(2, \frac{1}{2}\right)$ là $-\frac{1}{4}$. 4. Lập phương trình tiếp tuyến: - Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $(x_0, y_0)$ với hệ số góc $k$ là: \[ y - y_0 = k(x - x_0) \] - Thay $x_0 = 2$, $y_0 = \frac{1}{2}$ và $k = -\frac{1}{4}$ vào phương trình trên: \[ y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}(x - 2) \] - Rút gọn phương trình: \[ y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} \] \[ y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \] \[ y = -\frac{1}{4}x + 1 \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{x}$ tại điểm có hoành độ $x = 2$ là: \[ y = -\frac{1}{4}x + 1 \] Đáp án đúng là: $A.~y = -\frac{1}{4}x + 1$. Câu 29.4. Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x) = x^3$ tại điểm có hoành độ $x = -1$, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ điểm trên đồ thị: Thay $x = -1$ vào hàm số: \[ y = (-1)^3 = -1 \] Vậy điểm cần tìm là $(-1, -1)$. 2. Tính đạo hàm của hàm số: Đạo hàm của $f(x) = x^3$ là: \[ f'(x) = 3x^2 \] 3. Tính giá trị đạo hàm tại điểm $x = -1$: \[ f'(-1) = 3(-1)^2 = 3 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $(-1, -1)$ là $3$. 4. Viết phương trình tiếp tuyến: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $(x_0, y_0)$ với hệ số góc $k$ là: \[ y - y_0 = k(x - x_0) \] Thay $x_0 = -1$, $y_0 = -1$, và $k = 3$ vào phương trình trên: \[ y - (-1) = 3(x - (-1)) \] \[ y + 1 = 3(x + 1) \] \[ y + 1 = 3x + 3 \] \[ y = 3x + 2 \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^3$ tại điểm có hoành độ $x = -1$ là $y = 3x + 2$. Đáp án đúng là: $A.~y = 3x + 2$. Câu 18.1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các kết quả có thể xảy ra khi gieo một con xúc sắc cân đối đồng chất. 2. Xác định biến cố E và biến cố đối $\overline{E}$. 3. Tính xác suất của biến cố $\overline{E}$. Bước 1: Xác định các kết quả có thể xảy ra khi gieo một con xúc sắc cân đối đồng chất. - Các kết quả có thể xảy ra là: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Bước 2: Xác định biến cố E và biến cố đối $\overline{E}$. - Biến cố E là "số chấm xuất hiện là số chẵn". Các kết quả có thể xảy ra trong biến cố E là: 2, 4, 6. - Biến cố đối $\overline{E}$ là "số chấm xuất hiện là số lẻ". Các kết quả có thể xảy ra trong biến cố $\overline{E}$ là: 1, 3, 5. Bước 3: Tính xác suất của biến cố $\overline{E}$. - Số kết quả có thể xảy ra là 6. - Số kết quả thuận lợi cho biến cố $\overline{E}$ là 3 (1, 3, 5). Xác suất của biến cố $\overline{E}$ là: \[ P(\overline{E}) = \frac{\text{số kết quả thuận lợi cho } \overline{E}}{\text{số kết quả có thể xảy ra}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~P(\overline{E}) = \frac{1}{2} \]