giúp với ạ

Câu 16: Để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$, ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Công thức khoảng cách từ một điểm $M(x_0, y_0, z_0)$ đến mặt phẳng $(P): ax + by + cz + d = 0$ là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Trước tiên, ta nhận thấy rằng hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ có cùng phương pháp chuẩn $(1, 2, 3)$, tức là chúng song song với nhau. Do đó, khoảng cách giữa chúng sẽ là khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng $(P)$ đến mặt phẳng $(Q)$. Chọn một điểm bất kỳ trên mặt phẳng $(P)$, ví dụ điểm $M(1, 0, 0)$ (thay vào phương trình $(P)$ ta có $1 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 1 = 0$, thỏa mãn). Bây giờ, ta tính khoảng cách từ điểm $M(1, 0, 0)$ đến mặt phẳng $(Q): x + 2y + 3z + 6 = 0$. Áp dụng công thức khoảng cách: \[ d = \frac{|1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 6|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{|1 + 0 + 0 + 6|}{\sqrt{1 + 4 + 9}} = \frac{|7|}{\sqrt{14}} = \frac{7}{\sqrt{14}} \] Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là $\frac{7}{\sqrt{14}}$. Đáp án đúng là: $A.~\frac{7}{\sqrt{14}}$. Câu 17: Để tìm phương trình của mặt phẳng (Q) đi qua điểm \( A(2; -1; -3) \) và song song với mặt phẳng (P): \( 3x - 2y + 4z - 5 = 0 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Mặt phẳng (P) có phương trình \( 3x - 2y + 4z - 5 = 0 \). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là \( \vec{n} = (3, -2, 4) \). 2. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q): Vì mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P), nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) cũng là \( \vec{n} = (3, -2, 4) \). Phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) sẽ có dạng: \[ 3x - 2y + 4z + d = 0 \] Trong đó, \( d \) là hằng số cần tìm. 3. Tìm giá trị của \( d \): Mặt phẳng (Q) đi qua điểm \( A(2, -1, -3) \). Thay tọa độ của điểm \( A \) vào phương trình của mặt phẳng (Q): \[ 3(2) - 2(-1) + 4(-3) + d = 0 \] Tính toán: \[ 6 + 2 - 12 + d = 0 \] \[ -4 + d = 0 \] \[ d = 4 \] 4. Viết phương trình cuối cùng của mặt phẳng (Q): Thay \( d = 4 \) vào phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q): \[ 3x - 2y + 4z + 4 = 0 \] Vậy phương trình của mặt phẳng (Q) là: \[ 3x - 2y + 4z + 4 = 0 \] Đáp án đúng là: \( B.~3x - 2y + 4z + 4 = 0 \). Câu 18: Để tìm phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung điểm M của đoạn thẳng AB: - Tọa độ của A là $(4, 0, 1)$. - Tọa độ của B là $(-2, 2, 3)$. - Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ: \[ M = \left( \frac{4 + (-2)}{2}, \frac{0 + 2}{2}, \frac{1 + 3}{2} \right) = \left( \frac{2}{2}, \frac{2}{2}, \frac{4}{2} \right) = (1, 1, 2) \] 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực: - Vectơ AB có tọa độ: \[ \overrightarrow{AB} = (-2 - 4, 2 - 0, 3 - 1) = (-6, 2, 2) \] - Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB sẽ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{AB}$, tức là $\vec{n} = (-6, 2, 2)$. 3. Viết phương trình mặt phẳng trung trực: - Phương trình mặt phẳng có dạng: $ax + by + cz + d = 0$, trong đó $(a, b, c)$ là tọa độ của vectơ pháp tuyến và $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ của một điểm thuộc mặt phẳng. - Thay tọa độ của vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (-6, 2, 2)$ và tọa độ của trung điểm M $(1, 1, 2)$ vào phương trình mặt phẳng: \[ -6(x - 1) + 2(y - 1) + 2(z - 2) = 0 \] - Rút gọn phương trình: \[ -6x + 6 + 2y - 2 + 2z - 4 = 0 \] \[ -6x + 2y + 2z = 0 \] \[ 3x - y - z = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là: \[ 3x - y - z = 0 \] Đáp án đúng là: D. 3x - y - z = 0. Câu 19: Để viết phương trình mặt phẳng (R) chứa điểm \( A(1;1;1) \) và vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Mặt phẳng (P) có phương trình \( 2x - y + 3z - 1 = 0 \). Vectơ pháp tuyến của (P) là \( \vec{n}_P = (2, -1, 3) \). 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q): Mặt phẳng (Q) có phương trình \( y = 0 \). Vectơ pháp tuyến của (Q) là \( \vec{n}_Q = (0, 1, 0) \). 3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (R): Mặt phẳng (R) vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q), do đó vectơ pháp tuyến của (R) sẽ là tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến \( \vec{n}_P \) và \( \vec{n}_Q \): \[ \vec{n}_R = \vec{n}_P \times \vec{n}_Q = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 - 3) - \vec{j}(0 - 0) + \vec{k}(2 - 0) = (-3, 0, 2) \] 4. Viết phương trình mặt phẳng (R): Mặt phẳng (R) có vectơ pháp tuyến \( \vec{n}_R = (-3, 0, 2) \) và đi qua điểm \( A(1, 1, 1) \). Phương trình mặt phẳng (R) là: \[ -3(x - 1) + 0(y - 1) + 2(z - 1) = 0 \] \[ -3x + 3 + 2z - 2 = 0 \] \[ -3x + 2z + 1 = 0 \] \[ 3x - 2z - 1 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng (R) là \( 3x - 2z - 1 = 0 \). Đáp án đúng là: \( D.~3x - 2z - 1 = 0 \). Câu 20: Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \( A(2;3;5) \), \( B(3;2;4) \) và \( C(4;1;2) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm hai vectơ nằm trên mặt phẳng: - Vectơ \( \overrightarrow{AB} \): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (3 - 2, 2 - 3, 4 - 5) = (1, -1, -1) \] - Vectơ \( \overrightarrow{AC} \): \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (4 - 2, 1 - 3, 2 - 5) = (2, -2, -3) \] 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: - Vectơ pháp tuyến \( \vec{n} \) là tích vector của \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \): \[ \vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \] Ta tính tích vector: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & -1 \\ 2 & -2 & -3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-3) - (-1)(-2)) - \mathbf{j}((1)(-3) - (-1)(2)) + \mathbf{k}((1)(-2) - (-1)(2)) \] \[ = \mathbf{i}(3 - 2) - \mathbf{j}(-3 + 2) + \mathbf{k}(-2 + 2) \] \[ = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(-1) + \mathbf{k}(0) \] \[ = \mathbf{i} + \mathbf{j} + 0\mathbf{k} \] \[ = (1, 1, 0) \] 3. Lập phương trình mặt phẳng: - Phương trình mặt phẳng có dạng \( ax + by + cz + d = 0 \), trong đó \( (a, b, c) \) là vectơ pháp tuyến và \( d \) là hằng số. - Thay \( (a, b, c) = (1, 1, 0) \) vào phương trình: \[ 1x + 1y + 0z + d = 0 \] \[ x + y + d = 0 \] - Để tìm \( d \), thay tọa độ của điểm \( A(2, 3, 5) \) vào phương trình: \[ 2 + 3 + d = 0 \] \[ 5 + d = 0 \] \[ d = -5 \] 4. Viết phương trình cuối cùng: \[ x + y - 5 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \( A(2;3;5) \), \( B(3;2;4) \) và \( C(4;1;2) \) là: \[ \boxed{x + y - 5 = 0} \] Câu 21: Để xác định mặt phẳng nào trong các lựa chọn song song với mặt phẳng $(P):~2x+y+z-2=0$, ta cần kiểm tra vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n}_P = (2, 1, 1)$. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng trong các lựa chọn: A. Mặt phẳng $x + \frac{1}{2}y - \frac{1}{2}z - 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_A = (1, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$. Ta thấy rằng $\vec{n}_A$ không cùng phương với $\vec{n}_P$ vì không tồn tại số thực $k$ sao cho $\vec{n}_A = k \cdot \vec{n}_P$. B. Mặt phẳng $x - y - z - 2 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_B = (1, -1, -1)$. Ta thấy rằng $\vec{n}_B$ không cùng phương với $\vec{n}_P$ vì không tồn tại số thực $k$ sao cho $\vec{n}_B = k \cdot \vec{n}_P$. C. Mặt phẳng $4x + 2y + 2z + 4 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_C = (4, 2, 2)$. Ta thấy rằng $\vec{n}_C = 2 \cdot \vec{n}_P$, tức là $\vec{n}_C$ cùng phương với $\vec{n}_P$. Do đó, mặt phẳng này song song với mặt phẳng $(P)$. D. Mặt phẳng $2x + y + z - 2 = 0$ chính là mặt phẳng $(P)$, nên nó trùng với $(P)$ chứ không phải song song. Vậy mặt phẳng song song với mặt phẳng $(P)$ là: \[ C.~4x + 2y + 2z + 4 = 0. \] Câu 1. Để kiểm tra tính đúng sai của các mệnh đề, chúng ta sẽ lần lượt tính các tích có hướng của các vectơ đã cho. a) Tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{j}$ là vectơ $\overrightarrow{k}$. Tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{j}$ là: \[ \overrightarrow{i} \times \overrightarrow{j} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0 - 0)\overrightarrow{i} + (0 - 0)\overrightarrow{j} + (1 - 0)\overrightarrow{k} = \overrightarrow{k}. \] Mệnh đề này đúng. b) Tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{i}$ là $(0;1;2)$. Giả sử $\overrightarrow{a} = (a_1, a_2, a_3)$. Tích có hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{i}$ là: \[ \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{i} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = (0 - 0)\overrightarrow{i} + (0 - a_3)\overrightarrow{j} + (a_2 - 0)\overrightarrow{k} = (0, -a_3, a_2). \] Do đó, mệnh đề này sai vì không biết giá trị cụ thể của $a_2$ và $a_3$. c) Tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{u}$ là $(6;1;0)$. Vectơ $\overrightarrow{AB}$ là: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (2 - 1, -1 - 1, 0 - 2) = (1, -2, -2). \] Tích có hướng của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{u}$ là: \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{u} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ 1 & -2 & -2 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix} = ((-2) \cdot (-1) - (-2) \cdot (-2))\overrightarrow{i} + ((-2) \cdot 1 - (-2) \cdot 1)\overrightarrow{j} + (1 \cdot (-2) - (-2) \cdot 1)\overrightarrow{k} = (2 - 4)\overrightarrow{i} + (-2 + 2)\overrightarrow{j} + (-2 + 2)\overrightarrow{k} = (-2, 0, 0). \] Do đó, mệnh đề này sai. d) Tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ là $(2;4;-3)$. Vectơ $\overrightarrow{OA}$ là: \[ \overrightarrow{OA} = A = (1, 1, 2). \] Vectơ $\overrightarrow{OB}$ là: \[ \overrightarrow{OB} = B = (2, -1, 0). \] Tích có hướng của $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ là: \[ \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 0 \end{vmatrix} = ((1) \cdot 0 - (2) \cdot (-1))\overrightarrow{i} + ((2) \cdot 2 - (1) \cdot 0)\overrightarrow{j} + ((1) \cdot (-1) - (1) \cdot 2)\overrightarrow{k} = (0 + 2)\overrightarrow{i} + (4 - 0)\overrightarrow{j} + (-1 - 2)\overrightarrow{k} = (2, 4, -3). \] Do đó, mệnh đề này đúng. Kết luận: - Mệnh đề a) Đúng. - Mệnh đề b) Sai. - Mệnh đề c) Sai. - Mệnh đề d) Đúng. Câu 2. a) Đúng vì $[\overline{AB},\overline{AC}]$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC). b) Sai vì $\overrightarrow{n}=(1;2;3)$ không phải là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC). Ta có: $\overrightarrow{AB} = (1 - (-1); -1 - 1; 2 - 0) = (2; -2; 2)$ $\overrightarrow{AC} = (1 - (-1); -2 - 1; 1 - 0) = (2; -3; 1)$ Tính tích có hướng $[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]$: $[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -2 & 2 \\ 2 & -3 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-2)(1) - (2)(-3)) - \mathbf{j}((2)(1) - (2)(2)) + \mathbf{k}((2)(-3) - (-2)(2))$ $= \mathbf{i}(2 + 6) - \mathbf{j}(2 - 4) + \mathbf{k}(-6 + 4)$ $= 8\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 2\mathbf{k}$ $= (8; 2; -2)$ Do đó, $(8; 2; -2)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC), không phải là $(1; 2; 3)$. c) Đúng vì $\widehat{u}=(1;1;0)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đi qua O và chứa đường thẳng AB. Ta có: $\overrightarrow{OA} = (-1; 1; 0)$ $\overrightarrow{OB} = (1; -1; 2)$ Tính tích có hướng $[\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}]$: $[\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}] = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((1)(2) - (0)(-1)) - \mathbf{j}((-1)(2) - (0)(1)) + \mathbf{k}((-1)(-1) - (1)(1))$ $= \mathbf{i}(2) - \mathbf{j}(-2) + \mathbf{k}(1 - 1)$ $= 2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 0\mathbf{k}$ $= (2; 2; 0)$ Do đó, $(2; 2; 0)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đi qua O và chứa đường thẳng AB, và nó song song với $(1; 1; 0)$. Câu 3. Để kiểm tra các mệnh đề, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Kiểm tra $\overrightarrow{AB} = (0;1;1)$ - Tìm tọa độ của $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (1;2;2) - (1;1;1) = (0;1;1) \] Vậy mệnh đề a) là đúng. b) Kiểm tra tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là $\overrightarrow{a} = (-1;3;-3)$ - Tìm tọa độ của $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (4;1;0) - (1;1;1) = (3;0;-1) \] - Tính tích có hướng của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot (-1) - 1 \cdot 3) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - 1 \cdot 3) = \mathbf{i}(-1) - \mathbf{j}(-3) + \mathbf{k}(-3) = (-1; 3; -3) \] Vậy mệnh đề b) là đúng. c) Kiểm tra $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{b} = (6; -2; -4)$ là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC) - Tìm tọa độ của $\overrightarrow{BC}$: \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (4;1;0) - (1;2;2) = (3; -1; -2) \] - Kiểm tra xem $\overrightarrow{b} = (6; -2; -4)$ có cùng phương với $\overrightarrow{BC}$ hay không: \[ \overrightarrow{b} = 2 \cdot \overrightarrow{BC} = 2 \cdot (3; -1; -2) = (6; -2; -4) \] Vậy $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{BC}$ là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC). Kết luận: - Mệnh đề a) là đúng. - Mệnh đề b) là đúng. - Mệnh đề c) là đúng. Câu 4. Để kiểm tra các mệnh đề, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Kiểm tra $\overrightarrow{AB} = (3;3;3)$: - Vector $\overrightarrow{AB}$ được tính bằng cách lấy tọa độ của B trừ tọa độ của A: \[ \overrightarrow{AB} = (4 - 1; 1 + 2; 2 + 1) = (3; 3; 3) \] Vậy mệnh đề này là đúng. b) Kiểm tra ba điểm A, B, C không thẳng hàng: - Để kiểm tra ba điểm có thẳng hàng hay không, ta cần kiểm tra xem vector $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ có cùng phương hay không. - Tính $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AC} = (2 - 1; 3 + 2; 1 + 1) = (1; 5; 2) \] - Kiểm tra xem $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ có cùng phương hay không: \[ \frac{3}{1} \neq \frac{3}{5} \neq \frac{3}{2} \] Vì các tỉ số không bằng nhau, nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương. Do đó, ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Vậy mệnh đề này là đúng. c) Kiểm tra mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (3;1;-4)$: - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C là vectơ vuông góc với cả $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$. - Tính tích có hướng của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 3 & 3 \\ 1 & 5 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(3 \cdot 2 - 3 \cdot 5) - \mathbf{j}(3 \cdot 2 - 3 \cdot 1) + \mathbf{k}(3 \cdot 5 - 3 \cdot 1) = \mathbf{i}(6 - 15) - \mathbf{j}(6 - 3) + \mathbf{k}(15 - 3) = (-9; -3; 12) \] - Ta thấy rằng $(-9; -3; 12)$ là bội của $(3; 1; -4)$ (vì $(-9; -3; 12) = -3 \cdot (3; 1; -4)$). Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C là $(3; 1; -4)$. Vậy mệnh đề này là đúng. Kết luận: - Mệnh đề a) là đúng. - Mệnh đề b) là đúng. - Mệnh đề c) là đúng.