Câu 3.1:
Điều kiện: và .
Ta có:
Bây giờ, ta sẽ tính biểu thức :
Thay vào biểu thức:
Biến đổi và :
Do đó:
Vậy giá trị của biểu thức là:
Câu 3.2:
Để tính , ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit.
Trước tiên, ta áp dụng tính chất logarit của tích và lũy thừa:
Tiếp theo, ta sử dụng tính chất logarit của lũy thừa:
Thay vào biểu thức trên, ta có:
Theo đề bài, ta biết rằng:
Thay các giá trị này vào biểu thức, ta được:
Vậy giá trị của là:
Câu 3.3:
Điều kiện: và .
Ta có:
Cộng cả hai vế với :
Lấy căn bậc hai cả hai vế:
Lấy logarit cơ sở 2 của cả hai vế:
Áp dụng tính chất logarit:
So sánh với biểu thức đã cho:
Ta nhận thấy rằng:
Để hai biểu thức này bằng nhau, ta cần:
Do đó, .
Đáp số: .
Câu 3.4:
Để tính giá trị của biểu thức , chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
Bước 1: Rút gọn biểu thức trong dấu logarit.
Ta có:
Do đó, biểu thức trong dấu logarit trở thành:
Bước 2: Cộng các số mũ ở tử số.
Chúng ta cần quy đồng các phân số để cộng chúng lại:
Do đó:
Vậy:
Bước 3: Chia các số mũ.
Chúng ta cần quy đồng các phân số để trừ chúng lại:
Do đó:
Vậy:
Bước 4: Áp dụng công thức logarit.
Theo tính chất của logarit:
Do đó:
Vậy giá trị của biểu thức là:
Câu 3.5:
Để tính giá trị biểu thức , chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:
1. Tính :
2. Tính :
Do đó,
3. Tính :
4. Kết hợp tất cả các kết quả trên để tính giá trị của biểu thức :
Vậy giá trị của biểu thức là .
Câu 4:
Để giải quyết các bài toán liên quan đến tiếp tuyến, chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức về đạo hàm và phương trình tiếp tuyến. Dưới đây là một ví dụ cụ thể để minh họa cách giải quyết bài toán tiếp tuyến.
Ví dụ: Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ .
Cách giải:
1. Tìm tọa độ điểm tiếp xúc:
Thay vào phương trình hàm số:
Vậy điểm tiếp xúc là .
2. Tính đạo hàm của hàm số:
3. Tính giá trị đạo hàm tại điểm :
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm là .
4. Viết phương trình tiếp tuyến:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có dạng:
Thay , , và :
Đáp số: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là .
Câu 4.1:
Để tính hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số .
Bước 2: Thay vào đạo hàm để tìm giá trị của đạo hàm tại điểm đó.
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1 là .
Đáp số:
Câu 4.2:
Để tìm phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm có hoành độ , ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm tọa độ điểm tiếp xúc.
Thay vào phương trình parabol:
Vậy điểm tiếp xúc là .
Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số để xác định hệ số góc của tiếp tuyến.
Tại điểm , đạo hàm là:
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến là .
Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến.
Phương trình tiếp tuyến có dạng . Thay , điểm vào phương trình này:
Vậy phương trình tiếp tuyến là:
Bước 4: Tính .
Đáp số: .
Câu 4.3:
Để tính hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với trục tung, chúng ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung
- Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm có hoành độ bằng 0.
- Thay vào phương trình hàm số:
- Vậy giao điểm của đồ thị với trục tung là .
Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số
- Đạo hàm của hàm số là:
Bước 3: Tính giá trị của đạo hàm tại giao điểm
- Thay vào đạo hàm:
Kết luận:
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với trục tung là 2.
Đáp số: 2
Câu 4.4:
Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với đường thẳng , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm đạo hàm của hàm số:
2. Xác định điều kiện để tiếp tuyến song song với đường thẳng :
Tiếp tuyến song song với đường thẳng khi hệ số góc của tiếp tuyến bằng hệ số góc của đường thẳng . Hệ số góc của đường thẳng là 7. Do đó:
Giải phương trình này:
3. Tìm tọa độ điểm tiếp xúc:
Thay vào phương trình hàm số để tìm :
Vậy điểm tiếp xúc là .
4. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm :
Phương trình tiếp tuyến có dạng , trong đó là hệ số góc và là khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng. Ta đã biết . Thay và vào phương trình tiếp tuyến:
Vậy phương trình tiếp tuyến là:
5. Tính :
Đáp số:
Câu 4.5:
Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm đạo hàm của hàm số:
2. Xác định hệ số góc của đường thẳng :
Đường thẳng có phương trình , vậy hệ số góc của là .
3. Xác định hệ số góc của tiếp tuyến:
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng , nên hệ số góc của tiếp tuyến sẽ thoả mãn:
4. Tìm điểm tiếp xúc trên đồ thị hàm số:
Tại điểm tiếp xúc, đạo hàm của hàm số bằng hệ số góc của tiếp tuyến:
Giải phương trình này:
5. Tìm tọa độ điểm tiếp xúc:
Thay vào phương trình hàm số để tìm :
Vậy điểm tiếp xúc là .
6. Viết phương trình tiếp tuyến:
Phương trình tiếp tuyến tại điểm với hệ số góc là:
7. Tính :
Từ phương trình tiếp tuyến , ta thấy và . Do đó:
Vậy .
Câu 5:
Để giải quyết một bài toán vận dụng thực tế liên quan đến hàm số mũ, chúng ta sẽ làm theo các bước sau:
Bước 1: Xác định hàm số mũ
Hàm số mũ có dạng , trong đó và .
Bước 2: Xác định các thông số
- Xác định giá trị ban đầu (nếu có).
- Xác định tốc độ tăng hoặc giảm (nếu có).
- Xác định thời gian (nếu có).
Bước 3: Lập phương trình
Dựa vào các thông số đã xác định, ta sẽ lập phương trình hàm số mũ.
Bước 4: Giải phương trình
Giải phương trình để tìm giá trị cần thiết.
Bước 5: Kiểm tra và kết luận
Kiểm tra lại các giá trị đã tìm được và kết luận đáp án cuối cùng.
Ví dụ:
Giả sử ta có bài toán sau: Một lượng chất phóng xạ ban đầu là 100 gam và mỗi năm giảm đi 10%. Hỏi sau bao nhiêu năm thì lượng chất phóng xạ còn lại là 50 gam?
Bước 1: Xác định hàm số mũ
Hàm số mũ có dạng , trong đó là số năm.
Bước 2: Xác định các thông số
- Giá trị ban đầu: 100 gam.
- Tốc độ giảm: 10% mỗi năm.
- Thời gian: năm.
Bước 3: Lập phương trình
Ta cần tìm sao cho .
Bước 4: Giải phương trình
Áp dụng logarit để giải phương trình:
Sử dụng máy tính để tính giá trị:
Bước 5: Kiểm tra và kết luận
Sau khoảng 6.57 năm, lượng chất phóng xạ còn lại là 50 gam.
Đáp số:
Sau khoảng 6.57 năm, lượng chất phóng xạ còn lại là 50 gam.
Câu 5.1:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức , trong đó:
- là dân số sau năm,
- là dân số ban đầu,
- là tỉ lệ tăng dân số hàng năm,
- là số năm.
Trong bài toán này:
- Dân số ban đầu người,
- Tỉ lệ tăng dân số hàng năm ,
- Dân số mục tiêu người.
Chúng ta cần tìm số năm để dân số đạt 93713000 người.
Bước 1: Thay các giá trị vào công thức:
Bước 2: Chia cả hai vế cho 80902400:
Bước 3: Tính giá trị của :
Bước 4: Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế:
Bước 5: Tính giá trị của :
Bước 6: Giải phương trình để tìm :
Vậy, nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi thì tối thiểu đến năm 2015 dân số của Việt Nam sẽ đạt khoảng 93713000 người.
Đáp số: 2015
Câu 5.2:
Để tính khối lượng hạt nhân Poloni còn lại sau 100 ngày, ta áp dụng công thức phân rã của chất phóng xạ:
Trong đó:
- là khối lượng ban đầu của hạt nhân Poloni, gam.
- là thời gian đã trôi qua, ngày.
- là chu kỳ bán rã của hạt nhân Poloni, ngày.
Bước 1: Thay các giá trị vào công thức:
Bước 2: Tính toán phần mũ:
Bước 3: Tính giá trị của :
Bước 4: Nhân với khối lượng ban đầu:
Vậy khối lượng hạt nhân Poloni còn lại sau 100 ngày là 60,5 gam.
Câu 4.3:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Xác định các thông tin đã biết:
- Số vi khuẩn ban đầu (tức là lúc x = 0) là 300 con.
- Sau một giờ (tức là x = 1), số vi khuẩn là 705 con.
2. Áp dụng công thức tăng trưởng mũ :
- Khi x = 0, ta có . Do đó, .
3. Thay giá trị của vào công thức và sử dụng thông tin về số vi khuẩn sau một giờ:
- Khi x = 1, ta có .
- Điều này dẫn đến phương trình .
4. Giải phương trình để tìm giá trị của :
- Chia cả hai vế cho 300: .
- Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế: .
5. Tính giá trị của :
- .
6. Viết lại công thức tăng trưởng với các giá trị đã tìm được:
- .
Vậy, số vi khuẩn sau x giờ là .