Giúp mình với!

Câu 10. Nếu $\Delta ABC \sim \Delta DEF$ theo tỉ số $k$, điều này có nghĩa là tất cả các cạnh của $\Delta ABC$ đều gấp $k$ lần các cạnh tương ứng của $\Delta DEF$. Do đó, nếu ta xét ngược lại, các cạnh của $\Delta DEF$ sẽ bằng $\frac{1}{k}$ lần các cạnh tương ứng của $\Delta ABC$. Vậy $\Delta DEF \sim \Delta ABC$ theo tỉ số là $\frac{1}{k}$. Đáp án đúng là: $B.~\frac{1}{k}$. Câu 11. Trong tam giác DEF vuông tại D, ta áp dụng định lý Pythagoras. Theo định lý này, bình phương cạnh huyền (cạnh đối diện góc vuông) bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông. Ở đây, EF là cạnh huyền, còn DE và DF là hai cạnh góc vuông. Do đó, ta có: \[ EF^2 = DE^2 + DF^2 \] Từ đó, ta có thể biến đổi để tìm biểu thức đúng trong các lựa chọn đã cho: \[ DE^2 = EF^2 - DF^2 \] Vậy biểu thức đúng là: \[ A.~DE^2 = EF^2 - DF^2 \] Đáp án: A. Câu 12. Để xác định xem tam giác ABC có phải là tam giác vuông hay không, ta sẽ kiểm tra xem liệu tam giác này có thoả mãn định lý Pythagoras hay không. Định lý Pythagoras cho biết trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền (cạnh dài nhất) bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông. Ta có: - AB = 6 cm - BC = 8 cm - AC = 10 cm Trong ba cạnh này, cạnh AC là cạnh dài nhất, do đó AC có thể là cạnh huyền của tam giác ABC. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra xem liệu AC^2 có bằng AB^2 + BC^2 hay không: AC^2 = 10^2 = 100 AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 Vì AC^2 = AB^2 + BC^2, nên tam giác ABC là tam giác vuông tại B. Do đó, đáp án đúng là: B. vuông tại B Câu 13. a) Thực hiện phép cộng các phân thức đại số: \[ \frac{5x}{x+1} + \frac{3x+8}{x+1} \] Vì hai phân thức có cùng mẫu số, ta cộng hai tử số lại với nhau: \[ = \frac{5x + (3x + 8)}{x+1} \] Rút gọn tử số: \[ = \frac{5x + 3x + 8}{x+1} \] \[ = \frac{8x + 8}{x+1} \] Phân tích tử số thành nhân tử: \[ = \frac{8(x + 1)}{x+1} \] Rút gọn phân thức: \[ = 8 \] b) Thực hiện phép chia các phân thức đại số: \[ \frac{5}{x^2-1} : \frac{3}{x^2-x} \] Áp dụng quy tắc chia phân thức đại số: \[ = \frac{5}{x^2-1} \times \frac{x^2-x}{3} \] Phân tích mẫu số của phân thức đầu tiên thành nhân tử: \[ = \frac{5}{(x-1)(x+1)} \times \frac{x(x-1)}{3} \] Rút gọn phân thức: \[ = \frac{5 \cdot x(x-1)}{(x-1)(x+1) \cdot 3} \] \[ = \frac{5x}{3(x+1)} \] Đáp số: a) 8 b) $\frac{5x}{3(x+1)}$ Câu 14. a) Giải phương trình $5x - 4 = 0$ Bước 1: Chuyển số 4 sang vế phải: \[ 5x = 4 \] Bước 2: Chia cả hai vế cho 5: \[ x = \frac{4}{5} \] Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{4}{5}$. b) Giải phương trình $\frac{2x-1}{3} + \frac{x+4}{2} = \frac{5x+20}{6}$ Bước 1: Quy đồng mẫu số các phân số: \[ \frac{2(2x-1)}{6} + \frac{3(x+4)}{6} = \frac{5x+20}{6} \] Bước 2: Nhân cả hai vế với 6 để loại bỏ mẫu số: \[ 2(2x-1) + 3(x+4) = 5x + 20 \] Bước 3: Thực hiện phép nhân: \[ 4x - 2 + 3x + 12 = 5x + 20 \] Bước 4: Gộp các hạng tử có x vào một vế và các số hạng tự do vào vế còn lại: \[ 4x + 3x - 5x = 20 - 12 + 2 \] \[ 2x = 10 \] Bước 5: Chia cả hai vế cho 2: \[ x = 5 \] Vậy nghiệm của phương trình là $x = 5$. Câu 15. a) Vẽ đồ thị của hàm số $y = x + 2$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Để vẽ đồ thị của hàm số $y = x + 2$, ta thực hiện các bước sau: - Chọn hai giá trị của $x$ để tính giá trị tương ứng của $y$. - Lập bảng giá trị: | $x$ | $y$ | |-----|-----| | 0 | 2 | | 1 | 3 | - Vẽ các điểm $(0, 2)$ và $(1, 3)$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy. - Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm này. b) Tìm $a$ và $b$ để đường thẳng $y = ax + b$ đi qua điểm $A(-1, 3)$ và song song với đường thẳng $y = x + 2$. - Vì đường thẳng $y = ax + b$ song song với đường thẳng $y = x + 2$, nên chúng có cùng hệ số góc. Do đó, $a = 1$. - Thay $a = 1$ và tọa độ điểm $A(-1, 3)$ vào phương trình $y = ax + b$, ta có: \[ 3 = 1 \cdot (-1) + b \] \[ 3 = -1 + b \] \[ b = 4 \] Vậy $a = 1$ và $b = 4$. Đáp số: $a = 1$, $b = 4$. Câu 16. Gọi thời gian từ khi ô tô xuất phát đến khi đuổi kịp xe máy là t (giờ). Trong 1 giờ đầu xe máy đã đi được quãng đường là: \[ 40 \times 1 = 40 \text{ (km)} \] Khi ô tô bắt đầu xuất phát, khoảng cách giữa ô tô và xe máy là 40 km. Trong cùng một khoảng thời gian t, xe máy đi được quãng đường là: \[ 40t \text{ (km)} \] Trong cùng một khoảng thời gian t, ô tô đi được quãng đường là: \[ 60t \text{ (km)} \] Khi ô tô đuổi kịp xe máy, quãng đường ô tô đi được sẽ bằng quãng đường xe máy đi được cộng với khoảng cách ban đầu: \[ 60t = 40 + 40t \] Giải phương trình này: \[ 60t - 40t = 40 \] \[ 20t = 40 \] \[ t = \frac{40}{20} \] \[ t = 2 \text{ (giờ)} \] Vậy sau khi ô tô xuất phát 2 giờ thì ô tô đuổi kịp xe máy. Thời gian từ khi xe máy xuất phát đến khi ô tô đuổi kịp xe máy là: \[ 1 + 2 = 3 \text{ (giờ)} \] Đáp số: 3 giờ. Câu 17. a) Ta có $\angle NMI=\angle PKM=90^\circ$ (vì NI và PK là đường cao hạ từ đỉnh N và K của tam giác MNP) $\angle IMN=\angle KMP$ (góc chung) Do đó $\Delta MNI\backsim\Delta MPK$ (g-g) b) Ta có $\Delta MNI\backsim\Delta MPK$ (chứng minh trên) $\Rightarrow \frac{MN}{MP}=\frac{HI}{HP}$ $\Rightarrow MN.MP=HI.HP$ Ta lại có $\angle NHI=\angle PKH=90^\circ$ (vì NI và PK là đường cao hạ từ đỉnh N và K của tam giác MNP) $\angle INH=\angle KPH$ (cùng bù với góc MPH) Do đó $\Delta NHI\backsim\Delta PKH$ (g-g) $\Rightarrow \frac{NH}{HP}=\frac{HI}{HK}$ $\Rightarrow NH.HK=HI.HP$ Từ đó ta có $HN.HI=HK.HP$ c) Ta có $\Delta NHI\backsim\Delta PKH$ (chứng minh trên) $\Rightarrow \frac{NH}{HP}=\frac{HI}{HK}=\frac{IN}{KP}$ $\Rightarrow \frac{NH}{HP}=\frac{IN}{KP}$ $\Rightarrow NH.KP=HP.IN$ $\Rightarrow NH.NI+HP.PK=HP.IN+HP.PK$ $\Rightarrow NH.NI+HP.PK=HP.(IN+PK)$ Nhưng ta có $IN+PK=NP$ (vì IN và PK là đường cao hạ từ đỉnh N và K của tam giác MNP) Do đó $NH.NI+HP.PK=HP.NP$ Mặt khác ta có $\Delta NHI\backsim\Delta PKH$ (chứng minh trên) $\Rightarrow \frac{NH}{HP}=\frac{HI}{HK}=\frac{IN}{KP}$ $\Rightarrow \frac{NH}{HP}=\frac{IN}{KP}$ $\Rightarrow NH.KP=HP.IN$ $\Rightarrow NH.NI+HP.PK=HP.(IN+PK)$ $\Rightarrow NH.NI+HP.PK=HP.NP$ $\Rightarrow NH.NI+HP.PK=NP^2$ (vì HP.NP=NP^2) Vậy $NI.NH+PK.PH=NP^2$. Câu 18. Để giải phương trình $(x^2-3x+2)^3 = x^6 - (3x-2)^3$, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Phương trình này không chứa phân thức hoặc căn thức nên không cần xác định ĐKXĐ. Bước 2: Biến đổi phương trình Ta nhận thấy rằng $x^6 = (x^2)^3$. Do đó, phương trình có thể viết lại dưới dạng: $(x^2-3x+2)^3 = (x^2)^3 - (3x-2)^3$ Bước 3: Áp dụng hằng đẳng thức Ta sử dụng hằng đẳng thức $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ với $a = x^2$ và $b = 3x-2$: $(x^2-3x+2)^3 = (x^2 - (3x-2))((x^2)^2 + x^2(3x-2) + (3x-2)^2)$ Bước 4: Rút gọn biểu thức $x^2 - (3x-2) = x^2 - 3x + 2$ Do đó, phương trình trở thành: $(x^2-3x+2)^3 = (x^2-3x+2)((x^2)^2 + x^2(3x-2) + (3x-2)^2)$ Bước 5: Chia cả hai vế cho $(x^2-3x+2)$ (với điều kiện $x^2-3x+2 \neq 0$) $(x^2-3x+2)^2 = (x^2)^2 + x^2(3x-2) + (3x-2)^2$ Bước 6: Giải phương trình $(x^2-3x+2) = 0$ Phương trình này có thể phân tích thành: $(x-1)(x-2) = 0$ Vậy nghiệm của phương trình là $x = 1$ và $x = 2$. Bước 7: Kiểm tra các nghiệm - Thay $x = 1$ vào phương trình ban đầu: $(1^2 - 3 \cdot 1 + 2)^3 = 1^6 - (3 \cdot 1 - 2)^3$ $(1 - 3 + 2)^3 = 1 - (3 - 2)^3$ $0^3 = 1 - 1^3$ $0 = 0$ (thỏa mãn) - Thay $x = 2$ vào phương trình ban đầu: $(2^2 - 3 \cdot 2 + 2)^3 = 2^6 - (3 \cdot 2 - 2)^3$ $(4 - 6 + 2)^3 = 64 - (6 - 2)^3$ $0^3 = 64 - 4^3$ $0 = 64 - 64$ $0 = 0$ (thỏa mãn) Vậy phương trình có các nghiệm là $x = 1$ và $x = 2$. Đáp số: $x = 1$ hoặc $x = 2$.