Giúp mik vs Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d:\left\{\begin{array}cx=1-t\y=2+2t\z=3+t\end{array} ight.$ và mặt phẳng: $x-y+3=0.$ Tính,số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng.,$A.~120^0$ $B.~45^0$ $C.~60^0$ $D.~30^0$

Question

Giúp mik vs Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d:\left\{\begin{array}cx=1-t\y=2+2t\z=3+t\end{array}ight.$ và mặt phẳng: $x-y+3=0.$ Tính,số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng.,$A.~120^0$ $B.~45^0$ $C.~60^0$ $D.~30^0$

Accepted Answer

Câu 12:
Để tính số đo góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$:
   - Đường thẳng $d$ có phương trình tham số: 
     $$
     \left\{
     \begin{array}{l}
     x = 1 - t \
     y = 2 + 2t \
     z = 3 + t
     \end{array}
     \right.
     $$
     Từ đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\vec{u} = (-1, 2, 1)$.

- Mặt phẳng $(P)$ có phương trình: $x - y + 3 = 0$. 
     Từ đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n} = (1, -1, 0)$.

2. Tính góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$:
   Gọi $\theta$ là góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$. Ta biết rằng:
   $$
   \sin \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| |\vec{n}|}
   $$

- Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{n}$:
     $$
     \vec{u} \cdot \vec{n} = (-1) \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 = -1 - 2 + 0 = -3
     $$

- Tính độ dài của $\vec{u}$ và $\vec{n}$:
     $$
     |\vec{u}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}
     $$
     $$
     |\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}
     $$

- Thay vào công thức:
     $$
     \sin \theta = \frac{|-3|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}
     $$

- Tìm góc $\theta$:
     $$
     \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \theta = 60^\circ
     $$

Vậy số đo góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ là $60^\circ$.

Đáp án đúng là: $C.~60^0$.