giải câu 7,8

Câu 7. Để tìm góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng AB) và sân bay (một phần của mặt phẳng (Oxy)), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng AB: Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (8 - 3, 8 + 2, 0 - 3) = (5, 10, -3) \] 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy): Mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (0, 0, 1)$. 3. Tính cosin của góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (Oxy): Gọi $\theta$ là góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (Oxy). Ta có: \[ \cos(\theta) = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{n}|} \] Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n}$: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n} = (5, 10, -3) \cdot (0, 0, 1) = 5 \cdot 0 + 10 \cdot 0 + (-3) \cdot 1 = -3 \] Tính độ dài của $\overrightarrow{AB}$: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{5^2 + 10^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 100 + 9} = \sqrt{134} \] Độ dài của $\overrightarrow{n}$ là: \[ |\overrightarrow{n}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1 \] Vậy: \[ \cos(\theta) = \frac{|-3|}{\sqrt{134} \cdot 1} = \frac{3}{\sqrt{134}} \] 4. Tính góc $\theta$: \[ \theta = \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{134}}\right) \] Sử dụng máy tính để tìm giá trị của $\theta$: \[ \theta \approx 75.52^\circ \] 5. Tính góc giữa đường bay và sân bay: Gọi $\alpha$ là góc giữa đường bay và sân bay. Ta có: \[ \alpha = 90^\circ - \theta \] Thay giá trị của $\theta$: \[ \alpha = 90^\circ - 75.52^\circ \approx 14.48^\circ \] 6. Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị: \[ \alpha \approx 15^\circ \] Vậy giá trị của góc $\alpha$ là $15^\circ$. Câu 8. Trước tiên, ta cần xác định phương trình của mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $M(5;4;3)$ và cắt các tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ ở các đoạn bằng nhau. Giả sử mặt phẳng $(\alpha)$ cắt các tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ tại các điểm $A(a,0,0)$, $B(0,a,0)$, và $C(0,0,a)$ tương ứng. Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ có dạng: \[ \frac{x}{a} + \frac{y}{a} + \frac{z}{a} = 1 \] Hay: \[ x + y + z = a \] Do mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $M(5,4,3)$, ta thay tọa độ của điểm $M$ vào phương trình trên: \[ 5 + 4 + 3 = a \] \[ a = 12 \] Vậy phương trình của mặt phẳng $(\alpha)$ là: \[ x + y + z = 12 \] So sánh với phương trình tổng quát $x + ay + bz + c = 0$, ta thấy: \[ a = 1, b = 1, c = -12 \] Vậy giá trị của $c$ là: \[ c = -12 \] Đáp số: $c = -12$. Câu 3. Để tìm góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$, ta cần xác định các vector chỉ phương của chúng. Vector chỉ phương của $\Delta_1$ là $\vec{u}_1 = (3, 4, -5)$. Vector chỉ phương của $\Delta_2$ là $\vec{u}_2 = (5, 3, 4)$. Góc giữa hai đường thẳng là góc giữa hai vector chỉ phương của chúng. Ta tính cosin của góc này bằng công thức: \[ \cos \theta = \frac{\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2}{|\vec{u}_1| |\vec{u}_2|} \] Trước tiên, ta tính tích vô hướng $\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2$: \[ \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 3 + (-5) \cdot 4 = 15 + 12 - 20 = 7 \] Tiếp theo, ta tính độ dài của các vector $\vec{u}_1$ và $\vec{u}_2$: \[ |\vec{u}_1| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] \[ |\vec{u}_2| = \sqrt{5^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 9 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] Bây giờ, ta tính cosin của góc $\theta$: \[ \cos \theta = \frac{7}{(5\sqrt{2})(5\sqrt{2})} = \frac{7}{50} = 0.14 \] Cuối cùng, ta tìm góc $\theta$ bằng cách lấy arccos của 0.14: \[ \theta = \arccos(0.14) \approx 81.79^\circ \] Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, ta có: \[ x = 82^\circ \] Đáp số: $x = 82^\circ$. Câu 9 Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết thêm thông tin về thiết diện vuông góc của cái trống. Tuy nhiên, dựa trên thông tin đã cho, chúng ta có thể tính diện tích bề mặt của cái trống. Bài toán: Một cái trống trường có bán kính các mặt trống là 30 cm. Tính diện tích bề mặt của cái trống. Cách giải: 1. Tính diện tích của mỗi mặt trống: Diện tích của một hình tròn được tính bằng công thức: \[ S = \pi r^2 \] Trong đó, \( r \) là bán kính của hình tròn. Bán kính của mỗi mặt trống là 30 cm, vậy diện tích của một mặt trống là: \[ S_{\text{mặt trống}} = \pi \times 30^2 = \pi \times 900 = 900\pi \text{ cm}^2 \] 2. Tính tổng diện tích của hai mặt trống: Vì cái trống có hai mặt trống, nên tổng diện tích của hai mặt trống là: \[ S_{\text{tổng hai mặt trống}} = 2 \times 900\pi = 1800\pi \text{ cm}^2 \] 3. Tính diện tích bề mặt bên ngoài của cái trống: Diện tích bề mặt bên ngoài của cái trống là diện tích xung quanh của một hình trụ, được tính bằng công thức: \[ S_{\text{bề mặt bên ngoài}} = 2\pi rh \] Trong đó, \( r \) là bán kính đáy và \( h \) là chiều cao của hình trụ. Vì bài toán không cung cấp chiều cao của cái trống, chúng ta sẽ giả sử rằng chiều cao \( h \) là một đại lượng đã biết. Giả sử chiều cao của cái trống là \( h \) cm, thì diện tích bề mặt bên ngoài là: \[ S_{\text{bề mặt bên ngoài}} = 2\pi \times 30 \times h = 60\pi h \text{ cm}^2 \] 4. Tính tổng diện tích bề mặt của cái trống: Tổng diện tích bề mặt của cái trống bao gồm diện tích của hai mặt trống và diện tích bề mặt bên ngoài: \[ S_{\text{tổng}} = S_{\text{tổng hai mặt trống}} + S_{\text{bề mặt bên ngoài}} \] \[ S_{\text{tổng}} = 1800\pi + 60\pi h \text{ cm}^2 \] Vậy, diện tích bề mặt của cái trống là: \[ S_{\text{tổng}} = 1800\pi + 60\pi h \text{ cm}^2 \] Đáp số: \( 1800\pi + 60\pi h \text{ cm}^2 \)