giúp tớ vớ Câu 1: Một hộp có 10 viên bi màu hồng và 14 viên bi màu vàng, các viên bi có kích thước và khối lượng như,nhau. Lấy ngẫu nhiên hai viên bi. Gọi biến cố A: "Hai viên bi được lấy ra có màu hồng"; biến cố B: "Hai viên,bi được lấy ra có màu vàng". Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:,a. Biến cố hợp của biến cố A và B là: "Hai viên bi khác màu".,b. $P(A)=\frac{15}{92}.$,c. $P(B)=\frac{77}{92}.$,d. $P(A\cup B)=\frac{34}{69}.$,Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có $AB=2a,~AD=4a,~SA\bot(ABCD),$ cạnh,SC tạo với đáy góc $60^0.$ Gọi M là trung điểm của BC , N' là điểm trên cạnh AD sao cho $DN=a.$ Xét tính,đúng sai của các khẳng định sau:,Đà.. Tam giác SCD vuông tại D .,b. Độ dài $SA=\sqrt{15}a.$,c. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) bằng $\sqrt5a.$,d. Thể tích của khối chóp bằng $\frac{16\sqrt{15}}3a^3.$

Question

Accepted Answer

Câu 1:
Tổng số viên bi trong hộp là:
$$ 10 + 14 = 24 \text{ (viên bi)} $$

Số cách chọn ngẫu nhiên 2 viên bi từ 24 viên bi là:
$$ C_{24}^2 = \frac{24 \times 23}{2} = 276 $$

a. Biến cố hợp của biến cố A và B là: "Hai viên bi khác màu".
- Sai vì biến cố hợp của biến cố A và B là: "Hai viên bi cùng màu".

b. Tính xác suất của biến cố A: "Hai viên bi được lấy ra có màu hồng".
- Số cách chọn 2 viên bi màu hồng từ 10 viên bi màu hồng là:
$$ C_{10}^2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45 $$
- Xác suất của biến cố A là:
$$ P(A) = \frac{C_{10}^2}{C_{24}^2} = \frac{45}{276} = \frac{15}{92} $$
- Đúng.

c. Tính xác suất của biến cố B: "Hai viên bi được lấy ra có màu vàng".
- Số cách chọn 2 viên bi màu vàng từ 14 viên bi màu vàng là:
$$ C_{14}^2 = \frac{14 \times 13}{2} = 91 $$
- Xác suất của biến cố B là:
$$ P(B) = \frac{C_{14}^2}{C_{24}^2} = \frac{91}{276} = \frac{77}{228} \neq \frac{77}{92} $$
- Sai.

d. Tính xác suất của biến cố $A \cup B$: "Hai viên bi cùng màu".
- Biến cố $A \cup B$ bao gồm cả hai trường hợp: hai viên bi đều màu hồng hoặc hai viên bi đều màu vàng.
- Xác suất của biến cố $A \cup B$ là:
$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{15}{92} + \frac{77}{228} = \frac{45}{276} + \frac{91}{276} = \frac{136}{276} = \frac{68}{138} = \frac{34}{69} $$
- Đúng.

Kết luận:
- a. Sai.
- b. Đúng.
- c. Sai.
- d. Đúng.

Câu 2:
Để giải quyết các khẳng định trong bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng khẳng định dựa trên các thông tin đã cho và các tính chất hình học.

Khẳng định a: Tam giác SCD vuông tại D

- Ta biết rằng $SA \perp (ABCD)$, do đó $SA \perp AD$ và $SA \perp AB$.
- Vì $ABCD$ là hình chữ nhật, nên $AD \perp CD$.

Do đó, tam giác $SCD$ không thể vuông tại $D$ vì $CD$ không vuông góc với $SD$. Khẳng định này là sai.

Khẳng định b: Độ dài $SA = \sqrt{15}a$

- Ta biết rằng $SA \perp (ABCD)$, do đó $SA$ là đường cao hạ từ đỉnh $S$ xuống đáy $ABCD$.
- Ta cũng biết rằng $SC$ tạo với đáy góc $60^\circ$.

Ta tính độ dài $SC$ trước:
$$ SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} $$

Trong tam giác $ACD$:
$$ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(2a)^2 + (4a)^2} = \sqrt{4a^2 + 16a^2} = \sqrt{20a^2} = 2a\sqrt{5} $$

Trong tam giác $SCA$:
$$ \cos(60^\circ) = \frac{AC}{SC} $$
$$ \frac{1}{2} = \frac{2a\sqrt{5}}{SC} $$
$$ SC = 4a\sqrt{5} $$

Bây giờ, ta tính $SA$:
$$ SA = \sqrt{SC^2 - AC^2} = \sqrt{(4a\sqrt{5})^2 - (2a\sqrt{5})^2} = \sqrt{80a^2 - 20a^2} = \sqrt{60a^2} = 2a\sqrt{15} $$

Khẳng định này là sai vì $SA = 2a\sqrt{15}$, không phải $\sqrt{15}a$.

Khẳng định c: Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) bằng $\sqrt{5}a$

- Ta cần tính khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(SAC)$.

Ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
$$ d(B, (SAC)) = \frac{| \vec{BA} \cdot (\vec{SA} \times \vec{CA}) |}{|\vec{SA} \times \vec{CA}|} $$

Trước tiên, ta tính các vector:
$$ \vec{BA} = (-2a, 0, 0) $$
$$ \vec{SA} = (0, 0, 2a\sqrt{15}) $$
$$ \vec{CA} = (-2a, -4a, 0) $$

Tính tích vector:
$$ \vec{SA} \times \vec{CA} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
0 & 0 & 2a\sqrt{15} \
-2a & -4a & 0
\end{vmatrix} = (8a^2\sqrt{15}, -4a^2\sqrt{15}, 0) $$

Tính độ dài:
$$ |\vec{SA} \times \vec{CA}| = \sqrt{(8a^2\sqrt{15})^2 + (-4a^2\sqrt{15})^2} = \sqrt{960a^4 + 240a^4} = \sqrt{1200a^4} = 20a^2\sqrt{3} $$

Tính tích vô hướng:
$$ \vec{BA} \cdot (\vec{SA} \times \vec{CA}) = (-2a, 0, 0) \cdot (8a^2\sqrt{15}, -4a^2\sqrt{15}, 0) = -16a^3\sqrt{15} $$

Cuối cùng, ta tính khoảng cách:
$$ d(B, (SAC)) = \frac{|-16a^3\sqrt{15}|}{20a^2\sqrt{3}} = \frac{16a^3\sqrt{15}}{20a^2\sqrt{3}} = \frac{4a\sqrt{15}}{5\sqrt{3}} = \frac{4a\sqrt{5}}{5} $$

Khẳng định này là sai vì khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SAC)$ là $\frac{4a\sqrt{5}}{5}$, không phải $\sqrt{5}a$.

Khẳng định d: Thể tích của khối chóp bằng $\frac{16\sqrt{15}}{3}a^3$

- Ta tính thể tích của khối chóp $S.ABCD$:

Thể tích của khối chóp:
$$ V = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} $$

Diện tích đáy $ABCD$:
$$ S_{ABCD} = AB \times AD = 2a \times 4a = 8a^2 $$

Chiều cao $SA = 2a\sqrt{15}$

Thể tích:
$$ V = \frac{1}{3} \times 8a^2 \times 2a\sqrt{15} = \frac{16a^3\sqrt{15}}{3} $$

Khẳng định này là đúng.

Kết luận:
- Khẳng định a: Sai
- Khẳng định b: Sai
- Khẳng định c: Sai
- Khẳng định d: Đúng