giúp tôi với

Câu 10. Để tính diện tích S của hình phẳng phần tô đậm trong hình, ta cần chia hình phẳng thành hai phần và tính diện tích của mỗi phần riêng biệt. 1. Phần 1: Diện tích từ x = -2 đến x = 0. - Trên đoạn này, hàm số f(x) nằm phía trên trục Ox, do đó diện tích sẽ là tích phân của f(x) từ -2 đến 0. - Diện tích của phần này là $\int_{-2}^{0} f(x) \, dx$. 2. Phần 2: Diện tích từ x = 0 đến x = 3. - Trên đoạn này, hàm số f(x) nằm phía dưới trục Ox, do đó diện tích sẽ là tích phân của |f(x)| từ 0 đến 3. - Diện tích của phần này là $\int_{0}^{3} |f(x)| \, dx$. Tuy nhiên, vì f(x) là hàm số liên tục và âm trên đoạn này, ta có thể viết lại thành $\int_{0}^{3} (-f(x)) \, dx$. Do đó, tổng diện tích S của hình phẳng phần tô đậm là: \[ S = \int_{-2}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{3} (-f(x)) \, dx \] Từ các lựa chọn đã cho, ta thấy rằng đáp án đúng là: \[ B.~S = \int_{-2}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{3} f(x) \, dx \] Đáp án: B. Câu 11. Để viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(-1;1;0)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q):~x-4y-z-2=0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$: Mặt phẳng $(Q)$ có phương trình $x - 4y - z - 2 = 0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\vec{n} = (1, -4, -1)$. 2. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$: Vì đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $(Q)$, nên vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ trùng với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\vec{d} = (1, -4, -1)$. 3. Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$: Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(-1;1;0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{d} = (1, -4, -1)$. Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -1 + t \\ y = 1 - 4t \\ z = 0 - t \end{array} \right. \] 4. So sánh với các đáp án đã cho: Ta thấy phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -1 + t \\ y = 1 - 4t \\ z = -t \end{array} \right. \] Điều này khớp với đáp án C. Vậy đáp án đúng là: \[ C.\left\{\begin{array}{l} x = -1 + t \\ y = 1 - 4t \\ z = -t \end{array}\right. \] Câu 12. Để tìm phương trình mặt cầu chứa đường tròn (C) và đi qua điểm \( A(0,0,-4) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tâm và bán kính của đường tròn (C): - Đường tròn (C) có tâm tại gốc tọa độ \( O(0,0,0) \) và bán kính \( R = 2 \). 2. Xác định tâm của mặt cầu: - Mặt cầu chứa đường tròn (C) và đi qua điểm \( A(0,0,-4) \). Tâm của mặt cầu sẽ nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (xOy) đi qua tâm \( O \) của đường tròn (C). Do đó, tâm của mặt cầu có dạng \( (0,0,z_0) \). 3. Tìm bán kính của mặt cầu: - Bán kính của mặt cầu là khoảng cách từ tâm của mặt cầu đến điểm \( A \) hoặc đến tâm của đường tròn (C). Gọi bán kính của mặt cầu là \( r \). 4. Áp dụng công thức khoảng cách: - Khoảng cách từ tâm \( (0,0,z_0) \) đến điểm \( A(0,0,-4) \) là: \[ r = \sqrt{(0-0)^2 + (0-0)^2 + (z_0 + 4)^2} = |z_0 + 4| \] - Khoảng cách từ tâm \( (0,0,z_0) \) đến tâm của đường tròn (C) là: \[ r = \sqrt{(0-0)^2 + (0-0)^2 + z_0^2} = |z_0| \] 5. Xác định bán kính của mặt cầu: - Vì mặt cầu chứa đường tròn (C) nên bán kính của mặt cầu cũng phải bằng khoảng cách từ tâm của mặt cầu đến tâm của đường tròn (C) cộng thêm bán kính của đường tròn (C): \[ r = \sqrt{z_0^2 + 2^2} = \sqrt{z_0^2 + 4} \] 6. Tìm \( z_0 \): - Ta có hai biểu thức cho \( r \): \[ |z_0 + 4| = \sqrt{z_0^2 + 4} \] - Bình phương cả hai vế để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối: \[ (z_0 + 4)^2 = z_0^2 + 4 \] - Mở ngoặc và giản ước: \[ z_0^2 + 8z_0 + 16 = z_0^2 + 4 \] \[ 8z_0 + 16 = 4 \] \[ 8z_0 = -12 \] \[ z_0 = -\frac{3}{2} \] 7. Tìm bán kính của mặt cầu: - Thay \( z_0 = -\frac{3}{2} \) vào biểu thức cho \( r \): \[ r = \sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 4} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{16}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} \] 8. Viết phương trình mặt cầu: - Tâm của mặt cầu là \( (0,0,-\frac{3}{2}) \) và bán kính là \( \frac{5}{2} \). Phương trình mặt cầu là: \[ x^2 + y^2 + \left(z + \frac{3}{2}\right)^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 \] \[ x^2 + y^2 + \left(z + \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} \] Vậy phương trình mặt cầu là: \[ C.~x^2 + y^2 + \left(z + \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}. \]