giải hộ với

Câu 2. a. Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC là đoạn BO. - Vì ABCD là hình vuông tâm O, nên O là trung điểm của AC. - Đường thẳng BO vuông góc với AC tại O (do tính chất hình vuông). - Vậy khoảng cách từ B đến AC là đoạn BO. b. Khoảng cách điểm A đến mặt phẳng (SBD) bằng $\frac{a\sqrt2}{2}$. - Xét tam giác SBD, ta thấy SD = SB = $\sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + a^2} = a\sqrt{4} = 2a$. - Diện tích tam giác SBD là $\frac{1}{2} \times BD \times SO$, trong đó SO là đường cao hạ từ S xuống BD. - Diện tích tam giác SBD cũng là $\frac{1}{2} \times BD \times \text{khoảng cách từ A đến (SBD)}$. - Ta có diện tích tam giác SBD là $\frac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times a\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{6}}{2}$. - Khoảng cách từ A đến (SBD) là $\frac{\frac{a^2\sqrt{6}}{2}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. c. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng $a^3\sqrt{3}$. - Diện tích đáy ABCD là $a^2$. - Chiều cao SA là $a\sqrt{3}$. - Thể tích khối chóp S.ABCD là $\frac{1}{3} \times a^2 \times a\sqrt{3} = a^3\sqrt{3}$. d. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BD bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$. - Xét tam giác SAD, ta thấy SD = $\sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + a^2} = a\sqrt{4} = 2a$. - Diện tích tam giác SAD là $\frac{1}{2} \times AD \times SA = \frac{1}{2} \times a \times a\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$. - Diện tích tam giác SAD cũng là $\frac{1}{2} \times BD \times \text{khoảng cách từ S đến BD}$. - Ta có diện tích tam giác SAD là $\frac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times \text{khoảng cách từ S đến BD} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$. - Khoảng cách từ S đến BD là $\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$. - Khoảng cách giữa SA và BD là $\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Đáp án đúng là: a, b, c, d. Câu 3: a) Phương trình vận tốc của vật là $v(t)=-3t^2+12t+15$ ( tính theo đơn vị m / s ). b) Vật dừng lại sau khoảng thời gian kể từ lúc bắt đầu chuyển động là $t=4$ giây. c) Vận tốc lớn nhất mà vật đạt được trong quá trình chuyển động là $27(m/s).$ d) Quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến lúc đạt vận tốc lớn nhất là 45(m). Giải: a) Phương trình vận tốc của vật là $v(t)=-3t^2+12t+15$ ( tính theo đơn vị m / s ). b) Vật dừng lại khi $v(t)=0$. Ta có: \[ -3t^2 + 12t + 15 = 0 \] Chia cả hai vế cho -3: \[ t^2 - 4t - 5 = 0 \] Phương trình này có dạng $at^2 + bt + c = 0$, ta sử dụng công thức nghiệm để giải: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, $a = 1$, $b = -4$, $c = -5$: \[ t = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2} \] Do đó: \[ t = \frac{4 + 6}{2} = 5 \quad \text{hoặc} \quad t = \frac{4 - 6}{2} = -1 \] Vì thời gian không thể âm nên ta loại nghiệm $t = -1$. Vậy vật dừng lại sau khoảng thời gian $t = 5$ giây. c) Vận tốc lớn nhất mà vật đạt được trong quá trình chuyển động là $27(m/s).$ Để tìm vận tốc lớn nhất, ta cần tìm giá trị cực đại của hàm số $v(t) = -3t^2 + 12t + 15$. Ta tính đạo hàm của $v(t)$: \[ v'(t) = -6t + 12 \] Đặt $v'(t) = 0$ để tìm điểm cực trị: \[ -6t + 12 = 0 \implies t = 2 \] Kiểm tra dấu của $v'(t)$ ở hai bên điểm $t = 2$: - Khi $t < 2$, $v'(t) > 0$ (hàm số tăng) - Khi $t > 2$, $v'(t) < 0$ (hàm số giảm) Vậy $t = 2$ là điểm cực đại của hàm số $v(t)$. Ta thay $t = 2$ vào $v(t)$ để tìm vận tốc lớn nhất: \[ v(2) = -3(2)^2 + 12(2) + 15 = -12 + 24 + 15 = 27 \text{ (m/s)} \] d) Quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến lúc đạt vận tốc lớn nhất là 45(m). Quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến lúc đạt vận tốc lớn nhất là: \[ s(2) = -(2)^3 + 6(2)^2 + 15(2) = -8 + 24 + 30 = 46 \text{ (m)} \] Đáp số: a) $v(t) = -3t^2 + 12t + 15$ b) $t = 5$ giây c) $27 \text{ (m/s)}$ d) 46 (m) Câu 4: a) Với $m=3$, ta thay vào phương trình $2^x = m - 2$: \[ 2^x = 3 - 2 \] \[ 2^x = 1 \] \[ x = 0 \] Vậy với $m=3$, phương trình có nghiệm $x=0$. Mệnh đề này sai. b) Với $m=0$, ta thay vào phương trình $2^x = m - 2$: \[ 2^x = 0 - 2 \] \[ 2^x = -2 \] Phương trình $2^x = -2$ vô nghiệm vì $2^x$ luôn dương với mọi $x$. Mệnh đề này đúng. c) Phương trình $2^x = m - 2$ có nghiệm khi $m - 2 > 0$: \[ m > 2 \] Vậy phương trình có nghiệm với $m > 2$. Mệnh đề này đúng. d) Phương trình $2^x = m - 2$ luôn có nghiệm duy nhất $x = \log_2(m - 2)$ khi $m - 2 > 0$, tức là $m > 2$. Mệnh đề này sai vì phương trình chỉ có nghiệm duy nhất khi $m > 2$. Đáp số: a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai Câu 1: Để giải bất phương trình $\log_3(x+5) < 2$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong logarit dương: \[ x + 5 > 0 \implies x > -5 \] 2. Giải bất phương trình logarit: Bất phương trình $\log_3(x+5) < 2$ có thể viết lại dưới dạng: \[ x + 5 < 3^2 \] Vì $\log_3(x+5) < 2$ suy ra $x + 5 < 9$. 3. Tìm tập nghiệm: Từ $x + 5 < 9$, ta có: \[ x < 4 \] Kết hợp với điều kiện xác định $x > -5$, ta có tập nghiệm của bất phương trình là: \[ S = (-5; 4) \] 4. Tính giá trị $\frac{a}{b}$: Trong tập nghiệm $S = (-5; 4)$, ta có $a = -5$ và $b = 4$. Vậy: \[ \frac{a}{b} = \frac{-5}{4} = -1.25 \] Kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân là: \[ -1.25 \approx -1.3 \] Đáp số: \(-1.3\) Câu 2: Để tính xác suất của biến cố lấy được ít nhất 2 quả bóng mới từ hộp có 10 quả bóng bàn trong đó có 7 quả mới, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số cách chọn 3 quả bóng từ 10 quả bóng: Số cách chọn 3 quả bóng từ 10 quả bóng là: \[ C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \] 2. Tính số cách chọn ít nhất 2 quả bóng mới: - Số cách chọn 2 quả bóng mới và 1 quả bóng cũ: \[ C_7^2 \times C_3^1 = \frac{7!}{2!(7-2)!} \times \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} \times \frac{3}{1} = 21 \times 3 = 63 \] - Số cách chọn 3 quả bóng mới: \[ C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \] Tổng số cách chọn ít nhất 2 quả bóng mới: \[ 63 + 35 = 98 \] 3. Tính xác suất của biến cố lấy được ít nhất 2 quả bóng mới: Xác suất của biến cố này là: \[ P(A) = \frac{\text{số cách chọn ít nhất 2 quả bóng mới}}{\text{tổng số cách chọn 3 quả bóng}} = \frac{98}{120} \] Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm: \[ \frac{98}{120} \approx 0.8167 \approx 0.82 \] Vậy xác suất của biến cố lấy được ít nhất 2 quả bóng mới là 0.82 hoặc 82%. Câu 3: Để tính cosin góc nhị diện $[S,AD,O]$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm độ dài đường chéo AC của đáy ABCD: Vì ABCD là hình chữ nhật, ta có: \[ AC = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{(6a)^2 + (8a)^2} = \sqrt{36a^2 + 64a^2} = \sqrt{100a^2} = 10a \] 2. Tìm độ dài SO: Vì S là đỉnh của hình chóp và các cạnh bên đều có độ dài 10a, ta có: \[ SA = SB = SC = SD = 10a \] Ta cũng biết rằng O là tâm của hình chữ nhật ABCD, do đó OA = OB = OC = OD = $\frac{AC}{2} = \frac{10a}{2} = 5a$. Xét tam giác SOA vuông tại O, ta có: \[ SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{(10a)^2 - (5a)^2} = \sqrt{100a^2 - 25a^2} = \sqrt{75a^2} = 5a\sqrt{3} \] 3. Tìm độ dài đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng (ABCD): Vì SO là đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng (ABCD), ta đã tìm được SO = $5a\sqrt{3}$. 4. Tìm độ dài đường cao hạ từ O xuống mặt phẳng (SAD): Xét tam giác SAD, ta thấy rằng đường cao hạ từ O xuống mặt phẳng (SAD) sẽ là đường cao hạ từ O xuống cạnh SD trong tam giác SOD. Ta có: \[ SD = 10a \] Vì O là tâm của hình chữ nhật ABCD, nên OD = $\frac{SD}{2} = 5a$. Xét tam giác SOD vuông tại O, ta có: \[ SO = 5a\sqrt{3} \] Ta cần tìm độ dài đường cao hạ từ O xuống SD, gọi là h. Ta có: \[ h = \frac{SO \times OD}{SD} = \frac{5a\sqrt{3} \times 5a}{10a} = \frac{25a^2\sqrt{3}}{10a} = \frac{5a\sqrt{3}}{2} \] 5. Tính cosin góc nhị diện $[S,AD,O]$: Gọi góc giữa đường thẳng SO và đường thẳng hạ từ O xuống SD là $\theta$. Ta có: \[ \cos(\theta) = \frac{\text{đường cao hạ từ O xuống SD}}{SO} = \frac{\frac{5a\sqrt{3}}{2}}{5a\sqrt{3}} = \frac{1}{2} \] Vậy cosin góc nhị diện $[S,AD,O]$ là: \[ \cos(\theta) = \frac{1}{2} \] Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm: \[ \cos(\theta) \approx 0.50 \] Đáp số: $\cos(\theta) \approx 0.50$ Câu 4: Để tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích của tam giác SBC: - Vì tam giác SAB đều nên SB = AB = 4. - Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), do đó SB vuông góc với BC. - Diện tích tam giác SBC: \[ S_{SBC} = \frac{1}{2} \times SB \times BC = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8 \text{ (đơn vị diện tích)} \] 2. Tính thể tích của khối chóp S.DBC: - Diện tích đáy tam giác DBC: \[ S_{DBC} = \frac{1}{2} \times DC \times BC = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8 \text{ (đơn vị diện tích)} \] - Chiều cao của khối chóp S.DBC là SB = 4. - Thể tích khối chóp S.DBC: \[ V_{S.DBC} = \frac{1}{3} \times S_{DBC} \times SB = \frac{1}{3} \times 8 \times 4 = \frac{32}{3} \text{ (đơn vị thể tích)} \] 3. Tính thể tích của khối chóp D.SBC: - Diện tích đáy tam giác SBC đã tính ở trên là 8. - Chiều cao của khối chóp D.SBC là khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC), gọi là h. - Thể tích khối chóp D.SBC: \[ V_{D.SBC} = \frac{1}{3} \times S_{SBC} \times h = \frac{1}{3} \times 8 \times h = \frac{8h}{3} \] 4. Bằng nhau thể tích của hai khối chóp S.DBC và D.SBC: - Ta có: \[ V_{S.DBC} = V_{D.SBC} \] \[ \frac{32}{3} = \frac{8h}{3} \] - Giải phương trình để tìm h: \[ 32 = 8h \] \[ h = \frac{32}{8} = 4 \] Do đó, khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) là 4 đơn vị đo độ dài. Đáp số: 4 Câu 5: Để tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol $(P)$ tại điểm $M(-1;1)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Hàm số của parabol $(P)$ là $y = x^2$. Ta tính đạo hàm của hàm số này: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \] 2. Tính giá trị đạo hàm tại điểm $M(-1;1)$: Thay tọa độ của điểm $M$ vào đạo hàm vừa tìm được: \[ y'(-1) = 2 \cdot (-1) = -2 \] 3. Hệ số góc của tiếp tuyến: Hệ số góc của tiếp tuyến của parabol $(P)$ tại điểm $M(-1;1)$ chính là giá trị của đạo hàm tại điểm đó. Do đó, hệ số góc của tiếp tuyến là: \[ k = -2 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của parabol $(P)$ tại điểm $M(-1;1)$ là $\boxed{-2}$. Câu 6: Để tìm đạo hàm của hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$, ta áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số. Công thức đạo hàm của thương hai hàm số là: \[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Trong đó: - \( u = 2x + 1 \) - \( v = x - 1 \) Tính đạo hàm của \( u \) và \( v \): - \( u' = 2 \) - \( v' = 1 \) Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{(2x + 1)'(x - 1) - (2x + 1)(x - 1)'}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{2(x - 1) - (2x + 1) \cdot 1}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x - 2 - 2x - 1}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{-3}{(x - 1)^2} \] So sánh với dạng $y' = \frac{a}{(x - 1)^2}$, ta thấy rằng \( a = -3 \). Vậy \( a = -3 \).