Đề bài cho ta:
- Ban đầu kích thích cho \(10^{10}\) hạt nhân \(^{235}_{92}U\) phân hạch.
- Sau 9 lần phân hạch dây chuyền (tính cả phân hạch kích thích ban đầu), năng lượng toả ra là 78,94 J.
- Yêu cầu: Tính giá trị của \(k\), hệ số nhân trong chuỗi phân hạch.
---
**Phân tích bài toán:**
Giả sử trong chuỗi phân hạch:
- Lần 1: \(10^{10}\) hạt phân hạch (ban đầu)
- Lần 2: \(10^{10} \times k\) hạt phân hạch
- Lần 3: \(10^{10} \times k^2\) hạt phân hạch
- ...
- Lần \(n\): \(10^{10} \times k^{n-1}\) hạt phân hạch.
Số lần phân hạch dây chuyền là 9 (kể cả lần kích thích ban đầu), tức là tổng số hạt phân hạch là:
\[
N = 10^{10} + 10^{10}k + 10^{10}k^2 + \dots + 10^{10}k^{8} = 10^{10} \times \frac{k^{9} - 1}{k - 1}
\]
---
**Bước 1: Tính năng lượng toả ra khi 1 hạt phân hạch**
Ta biết năng lượng toả ra sau 9 phân hạch dây chuyền là 78,94 J.
Số hạt phân hạch sau 9 lần dây chuyền là \(N\) như trên.
Năng lượng toả ra từ mỗi hạt phân hạch (giả sử không đổi) là \(E_0\).
Vậy:
\[
N \times E_0 = 78,94
\]
Ta cần tìm \(k\), biết \(E_0\) và \(N\).
---
**Bước 2: Tính năng lượng phân hạch 1 hạt nhân \(^{235}U\)**
Năng lượng phân hạch 1 hạt nhân \(^{235}U\) khoảng 200 MeV.
Chuyển đổi MeV sang J:
\[
1 \text{eV} = 1,6 \times 10^{-19} J
\]
\[
200 \text{MeV} = 200 \times 10^{6} \text{eV} = 200 \times 10^{6} \times 1,6 \times 10^{-19} J = 3,2 \times 10^{-11} J
\]
Vậy:
\[
E_0 = 3,2 \times 10^{-11} J
\]
---
**Bước 3: Viết phương trình theo \(k\)**
\[
N = 10^{10} \times \frac{k^{9} - 1}{k - 1}
\]
\[
N \times E_0 = 78,94
\]
Thay \(N\):
\[
10^{10} \times \frac{k^{9} - 1}{k - 1} \times 3,2 \times 10^{-11} = 78,94
\]
\[
\frac{k^{9} - 1}{k - 1} \times (10^{10} \times 3,2 \times 10^{-11}) = 78,94
\]
\[
\frac{k^{9} - 1}{k - 1} \times 0,32 = 78,94
\]
\[
\frac{k^{9} - 1}{k - 1} = \frac{78,94}{0,32} = 246,69
\]
---
**Bước 4: Giải phương trình**
\[
\frac{k^{9} - 1}{k - 1} = 246,69
\]
Nhận thấy \(\frac{k^{9} - 1}{k - 1}\) là tổng cấp số nhân:
\[
S = 1 + k + k^2 + \dots + k^8 = 246,69
\]
Ta cần tìm \(k\) sao cho:
\[
1 + k + k^2 + \dots + k^8 = 246,69
\]
---
**Bước 5: Thử giá trị \(k\)**
- Thử \(k=2\):
\[
S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 = 511
\]
\(511 > 246,69\), quá lớn.
- Thử \(k=1.8\):
Tính dần:
\[
1 + 1.8 + 1.8^2 + \dots + 1.8^8
\]
- \(1.8^2 = 3.24\)
- \(1.8^3 = 5.832\)
- \(1.8^4 = 10.4976\)
- \(1.8^5 = 18.89568\)
- \(1.8^6 = 34.012224\)
- \(1.8^7 = 61.222003\)
- \(1.8^8 = 110.1996\)
Tổng:
\[
1 + 1.8 + 3.24 + 5.832 + 10.4976 + 18.89568 + 34.012224 + 61.222003 + 110.1996 = ?
\]
Tính tổng:
\[
1 + 1.8 = 2.8
\]
\[
2.8 + 3.24 = 6.04
\]
\[
6.04 + 5.832 = 11.872
\]
\[
11.872 + 10.4976 = 22.3696
\]
\[
22.3696 + 18.89568 = 41.26528
\]
\[
41.26528 + 34.012224 = 75.2775
\]
\[
75.2775 + 61.222003 = 136.4995
\]
\[
136.4995 + 110.1996 = 246.6991
\]
Rất gần 246,69.
---
**Kết luận:**
Giá trị \(k \approx 1,8\).
---
**Đáp án:**
\[
\boxed{k = 1,8}
\]
---
**Lời giải bằng tiếng Việt hoàn chỉnh:**
Giả sử số hạt nhân phân hạch trong chuỗi là:
\[
N = 10^{10} \times \frac{k^{9} - 1}{k - 1}
\]
Năng lượng tỏa ra từ mỗi hạt phân hạch là khoảng \(3,2 \times 10^{-11} J\).
Tổng năng lượng tỏa ra sau 9 phân hạch dây chuyền là:
\[
E = N \times E_0 = 78,94 J
\]
Thay \(N\), ta có:
\[
10^{10} \times \frac{k^{9} - 1}{k - 1} \times 3,2 \times 10^{-11} = 78,94
\]
Suy ra:
\[
\frac{k^{9} - 1}{k - 1} = \frac{78,94}{0,32} = 246,69
\]
\[
1 + k + k^2 + \dots + k^8 = 246,69
\]
Thử giá trị \(k=1,8\) ta thấy tổng là khoảng 246,7 rất gần giá trị yêu cầu.
Vậy \(k \approx 1,8\).