Câu 1.
Để giải bài toán này, chúng ta cần tính tổng số cách chọn ngẫu nhiên một bông hoa từ cả hai loại hoa.
Bước 1: Xác định số bông hoa vàng và số bông hoa xanh.
- Số bông hoa vàng: 22 bông
- Số bông hoa xanh: 23 bông
Bước 2: Tính tổng số cách chọn ngẫu nhiên một bông hoa.
- Tổng số cách chọn ngẫu nhiên một bông hoa là tổng số bông hoa vàng và số bông hoa xanh.
Tổng số cách chọn ngẫu nhiên một bông hoa:
\[ 22 + 23 = 45 \]
Vậy, có 45 cách chọn ngẫu nhiên một bông hoa để cắm vào lọ.
Đáp án đúng là: D. 45
Câu 2.
Số tổ hợp chập 4 của 5 phần tử được ký hiệu là \( C^4_5 \).
Lý do:
- Số tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là \( C^n_k \).
- Trong trường hợp này, chúng ta có 5 phần tử và muốn chọn 4 phần tử trong đó, nên ký hiệu là \( C^4_5 \).
Đáp án đúng là: \( A.~C^4_5 \).
Câu 3.
Để lập được các số tự nhiên có 3 chữ số từ các số 1, 2, 3, 4, ta thực hiện như sau:
- Chọn chữ số hàng trăm: Có 4 cách chọn (1, 2, 3 hoặc 4).
- Chọn chữ số hàng chục: Cũng có 4 cách chọn (1, 2, 3 hoặc 4).
- Chọn chữ số hàng đơn vị: Cũng có 4 cách chọn (1, 2, 3 hoặc 4).
Vậy tổng số các số tự nhiên có 3 chữ số có thể lập được là:
\[ 4 \times 4 \times 4 = 64 \]
Nhưng trong các đáp án đã cho, không có số 64. Do đó, có thể có sự nhầm lẫn trong đề bài hoặc các đáp án đã cho. Tuy nhiên, dựa trên các đáp án đã cho, ta thấy rằng không có đáp án nào đúng theo cách tính toán trên.
Vậy đáp án đúng là không có trong các lựa chọn đã cho.
Câu 4.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tổ hợp.
Bước 1: Chọn 2 học sinh nam từ 8 học sinh nam.
Số cách chọn 2 học sinh nam từ 8 học sinh nam là:
\[ \binom{8}{2} = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 \]
Bước 2: Chọn 2 học sinh nữ từ 7 học sinh nữ.
Số cách chọn 2 học sinh nữ từ 7 học sinh nữ là:
\[ \binom{7}{2} = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \]
Bước 3: Tính tổng số cách chọn 4 học sinh trong đó có 2 nam và 2 nữ.
Số cách chọn 4 học sinh trong đó có 2 nam và 2 nữ là:
\[ 28 \times 21 = 588 \]
Vậy đáp án đúng là: A. 588
Đáp số: 588 cách
Câu 5.
Để lập được các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:
1. Chọn chữ số hàng trăm: Chữ số hàng trăm không thể là 0 vì như vậy số đó sẽ không còn là số có ba chữ số. Do đó, chúng ta có 5 lựa chọn cho chữ số hàng trăm (1, 2, 3, 4, 5).
2. Chọn chữ số hàng chục: Sau khi đã chọn chữ số hàng trăm, chúng ta còn lại 5 chữ số để chọn cho chữ số hàng chục (không tính chữ số đã chọn làm hàng trăm). Vì vậy, chúng ta có 5 lựa chọn cho chữ số hàng chục.
3. Chọn chữ số hàng đơn vị: Sau khi đã chọn chữ số hàng trăm và hàng chục, chúng ta còn lại 4 chữ số để chọn cho chữ số hàng đơn vị (không tính hai chữ số đã chọn trước đó). Vì vậy, chúng ta có 4 lựa chọn cho chữ số hàng đơn vị.
Bây giờ, chúng ta nhân số lựa chọn của từng bước lại với nhau để tìm tổng số các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau:
\[
5 \text{ (chữ số hàng trăm)} \times 5 \text{ (chữ số hàng chục)} \times 4 \text{ (chữ số hàng đơn vị)} = 100
\]
Vậy, từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được 100 số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau.
Đáp án đúng là: B. 100.
Câu 6.
Số các hạng tử trong khai triển nhị thức $(2x - 1)^5$ là bao nhiêu?
Theo công thức nhị thức Niutơn, khai triển của $(a + b)^n$ sẽ có $n + 1$ hạng tử. Trong trường hợp này, $a = 2x$, $b = -1$, và $n = 5$. Do đó, số các hạng tử trong khai triển của $(2x - 1)^5$ là:
\[ n + 1 = 5 + 1 = 6 \]
Vậy số các hạng tử trong khai triển nhị thức $(2x - 1)^5$ là 6.
Đáp án đúng là: B. 6.
Câu 7.
Để tìm hệ số của \( x^2 \) trong khai triển biểu thức \( (1 + 2x)^5 \), ta sử dụng công thức nhị thức Newton.
Công thức nhị thức Newton cho khai triển \( (a + b)^n \) là:
\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \]
Trong trường hợp này, \( a = 1 \), \( b = 2x \), và \( n = 5 \). Ta cần tìm hệ số của \( x^2 \), tức là \( k = 2 \).
Áp dụng công thức nhị thức Newton:
\[ (1 + 2x)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} (1)^{5-k} (2x)^k \]
Chúng ta quan tâm đến hạng tử có \( k = 2 \):
\[ \binom{5}{2} (1)^{5-2} (2x)^2 \]
Tính toán từng phần:
\[ \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \]
\[ (1)^{5-2} = 1^3 = 1 \]
\[ (2x)^2 = 4x^2 \]
Nhân các thành phần lại:
\[ 10 \times 1 \times 4x^2 = 40x^2 \]
Vậy hệ số của \( x^2 \) trong khai triển biểu thức \( (1 + 2x)^5 \) là 40.
Đáp án đúng là: C. 40.
Câu 8.
Để tìm số hạng không chứa \( x \) trong khai triển của nhị thức \( (71x + 1)^4 \), ta sử dụng công thức nhị thức Newton.
Công thức nhị thức Newton cho khai triển \( (a + b)^n \) là:
\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \]
Trong trường hợp này, \( a = 71x \), \( b = 1 \), và \( n = 4 \). Ta cần tìm số hạng không chứa \( x \).
Mỗi số hạng trong khai triển có dạng:
\[ \binom{4}{k} (71x)^{4-k} 1^k \]
Để số hạng này không chứa \( x \), ta cần \( (71x)^{4-k} \) là hằng số, tức là \( 4 - k = 0 \). Điều này suy ra \( k = 4 \).
Thay \( k = 4 \) vào công thức, ta có:
\[ \binom{4}{4} (71x)^{4-4} 1^4 = \binom{4}{4} (71x)^0 1^4 = \binom{4}{4} \cdot 1 \cdot 1 = 1 \]
Vậy số hạng không chứa \( x \) trong khai triển của \( (71x + 1)^4 \) là 1.
Đáp án đúng là: D. 1
Câu 9.
Để tìm các tứ phân vị của mẫu số liệu: 6, 12, 28, 35, 47, 55, 65, 83, chúng ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định vị trí của các tứ phân vị:
- Số lượng dữ liệu là 8, do đó:
- \( Q_1 \) nằm ở vị trí \(\frac{1}{4} \times 8 = 2\)
- \( Q_2 \) (median) nằm ở vị trí \(\frac{1}{2} \times 8 = 4\)
- \( Q_3 \) nằm ở vị trí \(\frac{3}{4} \times 8 = 6\)
2. Tìm giá trị của các tứ phân vị:
- \( Q_1 \) nằm giữa hai giá trị thứ 2 và thứ 3 trong dãy số:
\[
Q_1 = \frac{12 + 28}{2} = 20
\]
- \( Q_2 \) (median) là giá trị trung bình của hai giá trị thứ 4 và thứ 5:
\[
Q_2 = \frac{35 + 47}{2} = 41
\]
- \( Q_3 \) nằm giữa hai giá trị thứ 6 và thứ 7 trong dãy số:
\[
Q_3 = \frac{55 + 65}{2} = 60
\]
Do đó, các tứ phân vị của mẫu số liệu là:
\[ Q_1 = 20, Q_2 = 41, Q_3 = 60 \]
Vậy đáp án đúng là:
\[ D.~Q_1=20;Q_2=41;Q_3=60. \]
Câu 10.
Trung vị của một dãy số liệu là giá trị ở giữa khi dãy số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần. Nếu dãy số có số lượng số hạng lẻ, trung vị là số hạng ở chính giữa. Nếu dãy số có số lượng số hạng chẵn, trung vị là trung bình cộng của hai số hạng ở chính giữa.
Dãy số liệu đã cho là: 44, 46, 46, 48, 52, 60, 75, 76, 76, 78
Dãy số này có 10 số hạng, do đó số lượng số hạng là chẵn. Vậy trung vị sẽ là trung bình cộng của hai số hạng ở chính giữa, cụ thể là số hạng thứ 5 và số hạng thứ 6.
Số hạng thứ 5 là 52 và số hạng thứ 6 là 60.
Trung vị của dãy số liệu là:
\[ M_e = \frac{52 + 60}{2} = \frac{112}{2} = 56 \]
Vậy đáp án đúng là:
\[ A.~M_e=56 \]
Câu 11.
Khi gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần, mỗi lần gieo có 6 kết quả có thể xảy ra (từ 1 đến 6). Vì vậy, tổng số phần tử của không gian mẫu sẽ là:
Số phần tử của không gian mẫu = Số kết quả của lần gieo đầu tiên × Số kết quả của lần gieo thứ hai
= 6 × 6
= 36
Vậy số phần tử của không gian mẫu là 36.
Đáp án đúng là: D. 36
Câu 12.
Để tính xác suất sao cho 2 người được chọn có đúng một người nữ, ta làm như sau:
1. Tổng số cách chọn 2 người từ 10 người:
Số cách chọn 2 người từ 10 người là:
\[
C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45
\]
2. Số cách chọn đúng một người nữ và một người nam:
- Số cách chọn 1 người nữ từ 3 người nữ là:
\[
C_3^1 = 3
\]
- Số cách chọn 1 người nam từ 7 người nam là:
\[
C_7^1 = 7
\]
Vậy số cách chọn đúng một người nữ và một người nam là:
\[
3 \times 7 = 21
\]
3. Xác suất để 2 người được chọn có đúng một người nữ:
Xác suất là tỉ số giữa số cách chọn đúng một người nữ và một người nam với tổng số cách chọn 2 người từ 10 người:
\[
P = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}
\]
Vậy xác suất sao cho 2 người được chọn có đúng một người nữ là $\frac{7}{15}$.
Đáp án đúng là: $C.~\frac{7}{15}$.
Câu 13.
Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{MN}$, ta thực hiện phép trừ tọa độ điểm N từ tọa độ điểm M.
Tọa độ của điểm M là $(2, 5)$ và tọa độ của điểm N là $(4, 2)$.
Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{MN}$ được tính như sau:
\[
\overrightarrow{MN} = (N_x - M_x, N_y - M_y)
\]
\[
\overrightarrow{MN} = (4 - 2, 2 - 5)
\]
\[
\overrightarrow{MN} = (2, -3)
\]
Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{MN}$ là $(2, -3)$.
Do đó, đáp án đúng là:
\[ C.~\overrightarrow{MN}=(2;-3). \]
Câu 14.
Để tìm tọa độ của \(-2\overrightarrow{u}\), ta thực hiện phép nhân vectơ với một số như sau:
\[
-2\overrightarrow{u} = -2 \cdot (-3; 1)
\]
Ta nhân từng thành phần của vectơ \(\overrightarrow{u}\) với \(-2\):
\[
-2 \cdot (-3) = 6
\]
\[
-2 \cdot 1 = -2
\]
Vậy tọa độ của \(-2\overrightarrow{u}\) là \((6; -2)\).
Do đó, đáp án đúng là:
\[ B.~\overrightarrow{u}=(6;-2) \]
Câu 15.
Để tìm một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d: 2x - 3y + 5 = 0\), ta cần dựa vào phương trình tổng quát của đường thẳng \(ax + by + c = 0\). Trong phương trình này, vectơ pháp tuyến của đường thẳng là \(\overrightarrow{n} = (a, b)\).
Trong phương trình \(2x - 3y + 5 = 0\), ta có:
- \(a = 2\)
- \(b = -3\)
Do đó, vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow{n} = (2, -3)\).
Vậy đáp án đúng là:
\[ A. \overrightarrow{n} = (2, -3) \]
Đáp án: \(A. \overrightarrow{n} = (2, -3)\)
Câu 16.
Để tìm phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(1; -1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (2; -3)$, ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định dạng phương trình chính tắc:
Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm $(x_0, y_0)$ và có vectơ chỉ phương $(a, b)$ là:
\[
\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b}
\]
2. Thay các giá trị đã biết vào phương trình:
- Điểm $M(1, -1)$: $x_0 = 1$, $y_0 = -1$
- Vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (2, -3)$: $a = 2$, $b = -3$
Thay vào phương trình chính tắc:
\[
\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{-3}
\]
3. Kiểm tra đáp án:
So sánh với các đáp án đã cho:
- Đáp án A: $\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{-3}$
- Đáp án B: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{-3}$
- Đáp án C: $\frac{x - 1}{-3} = \frac{y + 1}{2}$
- Đáp án D: $\frac{x - 1}{-3} = \frac{y - 1}{2}$
Đáp án đúng là B: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{-3}$
Đáp án: B. $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{-3}$