Giúp mình với

Câu 2. Để tìm bán kính của đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu $(S)$ và mặt phẳng $(P)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu $(S)$: Mặt cầu $(S)$ có phương trình: \[ x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 6y - 4z - 104 = 0 \] Ta viết lại phương trình dưới dạng chuẩn: \[ (x + 1)^2 - 1 + (y - 3)^2 - 9 + (z - 2)^2 - 4 - 104 = 0 \] \[ (x + 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 2)^2 = 118 \] Vậy tâm của mặt cầu là $I(-1, 3, 2)$ và bán kính $R = \sqrt{118}$. 2. Tìm khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng $(P)$: Mặt phẳng $(P)$ có phương trình: \[ -x - 5y - 2z - 1 = 0 \] Khoảng cách từ điểm $I(-1, 3, 2)$ đến mặt phẳng $(P)$ là: \[ d = \frac{|-(-1) - 5(3) - 2(2) - 1|}{\sqrt{(-1)^2 + (-5)^2 + (-2)^2}} = \frac{|1 - 15 - 4 - 1|}{\sqrt{1 + 25 + 4}} = \frac{|-19|}{\sqrt{30}} = \frac{19}{\sqrt{30}} \] 3. Tính bán kính của đường tròn giao tuyến: Bán kính của đường tròn giao tuyến là: \[ r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{118 - \left(\frac{19}{\sqrt{30}}\right)^2} \] \[ r = \sqrt{118 - \frac{361}{30}} = \sqrt{\frac{3540 - 361}{30}} = \sqrt{\frac{3179}{30}} \approx \sqrt{105.9667} \approx 10.3 \] Vậy bán kính của đường tròn giao tuyến là $\boxed{10.3}$. Câu 3. Để tìm vận tốc nhỏ nhất của chất điểm trong khoảng thời gian từ \( t = 0 \) đến \( t = 6 \) giây, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số vận tốc \( v(t) \): \[ v(t) = t^4 - 6t^2 + 208 \] \[ v'(t) = \frac{d}{dt}(t^4 - 6t^2 + 208) = 4t^3 - 12t \] 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số \( v(t) \): \[ v'(t) = 0 \] \[ 4t^3 - 12t = 0 \] \[ 4t(t^2 - 3) = 0 \] \[ t = 0 \quad \text{hoặc} \quad t^2 - 3 = 0 \] \[ t = 0 \quad \text{hoặc} \quad t = \sqrt{3} \quad \text{hoặc} \quad t = -\sqrt{3} \] Trong khoảng thời gian từ \( t = 0 \) đến \( t = 6 \), ta chỉ xét các giá trị \( t = 0 \) và \( t = \sqrt{3} \). 3. Tính giá trị của \( v(t) \) tại các điểm cực trị và tại hai đầu khoảng thời gian: \[ v(0) = 0^4 - 6 \cdot 0^2 + 208 = 208 \] \[ v(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^4 - 6 \cdot (\sqrt{3})^2 + 208 = 9 - 18 + 208 = 199 \] \[ v(6) = 6^4 - 6 \cdot 6^2 + 208 = 1296 - 216 + 208 = 1288 \] 4. So sánh các giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất: \[ v(0) = 208 \] \[ v(\sqrt{3}) = 199 \] \[ v(6) = 1288 \] Trong các giá trị trên, giá trị nhỏ nhất là \( v(\sqrt{3}) = 199 \). Kết luận: Vận tốc nhỏ nhất của chất điểm trong khoảng thời gian từ \( t = 0 \) đến \( t = 6 \) giây là 199 m/s, đạt được khi \( t = \sqrt{3} \) giây. Đáp số: 199 m/s. Câu 4. Để tính thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $y = x + 5$ và đồ thị hàm số $y = x^2 + 3$ quanh trục Ox, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm giao điểm của hai đồ thị: - Giao điểm của $y = x + 5$ và $y = x^2 + 3$: \[ x + 5 = x^2 + 3 \] \[ x^2 - x - 2 = 0 \] \[ (x - 2)(x + 1) = 0 \] \[ x = 2 \text{ hoặc } x = -1 \] Bước 2: Xác định khoảng tích phân: - Khoảng tích phân từ $x = -1$ đến $x = 2$. Bước 3: Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: \[ V = \pi \int_{-1}^{2} \left[ (x + 5)^2 - (x^2 + 3)^2 \right] dx \] Bước 4: Tính tích phân: \[ V = \pi \int_{-1}^{2} \left[ (x + 5)^2 - (x^2 + 3)^2 \right] dx \] \[ = \pi \int_{-1}^{2} \left[ (x^2 + 10x + 25) - (x^4 + 6x^2 + 9) \right] dx \] \[ = \pi \int_{-1}^{2} \left[ x^2 + 10x + 25 - x^4 - 6x^2 - 9 \right] dx \] \[ = \pi \int_{-1}^{2} \left[ -x^4 - 5x^2 + 10x + 16 \right] dx \] Bước 5: Tính từng phần của tích phân: \[ \int_{-1}^{2} (-x^4) dx = -\left[ \frac{x^5}{5} \right]_{-1}^{2} = -\left( \frac{2^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5} \right) = -\left( \frac{32}{5} + \frac{1}{5} \right) = -\frac{33}{5} \] \[ \int_{-1}^{2} (-5x^2) dx = -5 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2} = -5 \left( \frac{2^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} \right) = -5 \left( \frac{8}{3} + \frac{1}{3} \right) = -5 \cdot 3 = -15 \] \[ \int_{-1}^{2} (10x) dx = 10 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{2} = 10 \left( \frac{2^2}{2} - \frac{(-1)^2}{2} \right) = 10 \left( 2 - \frac{1}{2} \right) = 10 \cdot \frac{3}{2} = 15 \] \[ \int_{-1}^{2} (16) dx = 16 \left[ x \right]_{-1}^{2} = 16 (2 - (-1)) = 16 \cdot 3 = 48 \] Bước 6: Cộng các kết quả lại: \[ V = \pi \left( -\frac{33}{5} - 15 + 15 + 48 \right) = \pi \left( -\frac{33}{5} + 48 \right) = \pi \left( -\frac{33}{5} + \frac{240}{5} \right) = \pi \left( \frac{207}{5} \right) = \frac{207\pi}{5} \] Bước 7: Tính $\frac{V}{14}$: \[ \frac{V}{14} = \frac{\frac{207\pi}{5}}{14} = \frac{207\pi}{70} \approx 9.2 \] Đáp số: $\frac{V}{14} \approx 9.2$. Câu 5. Tất nhiên, tôi sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán theo đúng quy tắc đã đưa ra. Hãy cung cấp cho tôi bài toán cụ thể mà bạn muốn giải quyết, và tôi sẽ thực hiện từng bước một để giải quyết nó một cách chi tiết và chính xác.