E xin cách giải ạ

Câu 12: Để tìm số hạng \( n \) trong cấp số nhân với số hạng đầu \( u_1 = 3 \), công bội \( q = 2 \) và tổng \( S_n = 21 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Công thức tổng của cấp số nhân: Tổng của \( n \) số hạng đầu tiên của một cấp số nhân được tính theo công thức: \[ S_n = u_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \] Trong đó: - \( u_1 \) là số hạng đầu tiên, - \( q \) là công bội, - \( n \) là số lượng số hạng. 2. Thay các giá trị đã biết vào công thức: Ta có \( u_1 = 3 \), \( q = 2 \), và \( S_n = 21 \). Thay vào công thức: \[ 21 = 3 \cdot \frac{2^n - 1}{2 - 1} \] 3. Giải phương trình: \[ 21 = 3 \cdot (2^n - 1) \] Chia cả hai vế cho 3: \[ 7 = 2^n - 1 \] Cộng thêm 1 vào cả hai vế: \[ 8 = 2^n \] 4. Tìm \( n \): Ta nhận thấy rằng \( 2^3 = 8 \), do đó: \[ n = 3 \] Vậy đáp án đúng là \( B.~n=3 \). Đáp số: \( n = 3 \) Câu 13: Cấp số cộng \( u_n \) có số hạng đầu \( u_2 = 2 \) và \( u_5 = 5 \). Ta biết rằng trong một cấp số cộng, công sai \( d \) là hằng số và có thể tính bằng cách lấy hiệu của hai số hạng liên tiếp. Ta có: \[ u_5 = u_2 + 3d \] Thay \( u_2 = 2 \) và \( u_5 = 5 \) vào phương trình trên: \[ 5 = 2 + 3d \] \[ 3d = 5 - 2 \] \[ 3d = 3 \] \[ d = 1 \] Bây giờ ta tính \( u_0 \). Ta biết rằng: \[ u_2 = u_0 + 2d \] Thay \( u_2 = 2 \) và \( d = 1 \) vào phương trình trên: \[ 2 = u_0 + 2 \times 1 \] \[ 2 = u_0 + 2 \] \[ u_0 = 2 - 2 \] \[ u_0 = 0 \] Như vậy, giá trị của \( u_0 \) là 0. Đáp án đúng là: E. 0 Câu 14: Cấp số nhân \( u_n \) có số hạng đầu \( u_1 = 2 \) và công bội \( q = -2 \). Công thức tổng quát của số hạng thứ \( n \) trong cấp số nhân là: \[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \] Thay \( u_1 = 2 \) và \( q = -2 \) vào công thức trên, ta có: \[ u_n = 2 \cdot (-2)^{n-1} \] Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng đáp án để tìm giá trị của \( n \): A. \( u_n = 32 \) \[ 2 \cdot (-2)^{n-1} = 32 \] \[ (-2)^{n-1} = 16 \] \[ (-2)^{n-1} = (-2)^4 \] \[ n-1 = 4 \] \[ n = 5 \] B. \( u_n = 64 \) \[ 2 \cdot (-2)^{n-1} = 64 \] \[ (-2)^{n-1} = 32 \] \[ (-2)^{n-1} = (-2)^5 \] \[ n-1 = 5 \] \[ n = 6 \] C. \( u_n = 42 \) \[ 2 \cdot (-2)^{n-1} = 42 \] \[ (-2)^{n-1} = 21 \] Không có giá trị nào của \( n \) thỏa mãn vì \( (-2)^{n-1} \) luôn là số chẵn. D. \( u_n = -64 \) \[ 2 \cdot (-2)^{n-1} = -64 \] \[ (-2)^{n-1} = -32 \] \[ (-2)^{n-1} = (-2)^5 \] \[ n-1 = 5 \] \[ n = 6 \] Như vậy, giá trị của \( u_n \) bằng 32 khi \( n = 5 \). Do đó, đáp án đúng là: Đáp án: A. 32 Câu 15: Công sai của cấp số cộng \( u_n \) được tính bằng cách lấy số hạng thứ tư trừ đi số hạng thứ ba: \[ d = u_4 - u_3 \] Thay các giá trị đã cho vào công thức trên: \[ d = 2 - (-1) \] \[ d = 2 + 1 \] \[ d = 3 \] Vậy công sai \( d \) của cấp số cộng \( u_n \) là 3. Đáp án đúng là: A. 3. Câu 16: Cấp số cộng $u_n$ có số hạng đầu $u_1=3$ và công sai $d=2$. Ta cần tính tổng của 2019 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này. Công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là: \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2u_1 + (n-1)d\right) \] Trong đó: - $n$ là số lượng số hạng. - $u_1$ là số hạng đầu tiên. - $d$ là công sai. Áp dụng vào bài toán: - $n = 2019$ - $u_1 = 3$ - $d = 2$ Thay các giá trị vào công thức: \[ S_{2019} = \frac{2019}{2} \left(2 \cdot 3 + (2019 - 1) \cdot 2\right) \] \[ S_{2019} = \frac{2019}{2} \left(6 + 2018 \cdot 2\right) \] \[ S_{2019} = \frac{2019}{2} \left(6 + 4036\right) \] \[ S_{2019} = \frac{2019}{2} \cdot 4042 \] \[ S_{2019} = 2019 \cdot 2021 \] Bây giờ ta thực hiện phép nhân: \[ 2019 \cdot 2021 = 2019 \cdot (2000 + 21) \] \[ = 2019 \cdot 2000 + 2019 \cdot 21 \] \[ = 4038000 + 42399 \] \[ = 4080399 \] Vậy tổng của 2019 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là 4 080 399. Đáp án đúng là: A. 4 080 399. Câu 17: Để tìm số hạng thứ 2019 của dãy số \( u_n \) với công thức \( u_n = 2n + 1 \), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Thay \( n = 2019 \) vào công thức \( u_n \): \[ u_{2019} = 2 \times 2019 + 1 \] 2. Tính toán: \[ u_{2019} = 2 \times 2019 + 1 = 4038 + 1 = 4039 \] Vậy số hạng thứ 2019 của dãy số là 4039. Đáp án đúng là: A. 4039 Câu 18: Để tìm giá trị của \( u_{2019} \) trong cấp số nhân \( u_n \) với số hạng đầu \( u_2 = 2 \) và công bội \( q = 3 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định số hạng đầu tiên \( u_1 \): - Ta biết rằng \( u_2 = u_1 \cdot q \). Thay \( u_2 = 2 \) và \( q = 3 \) vào, ta có: \[ 2 = u_1 \cdot 3 \implies u_1 = \frac{2}{3} \] 2. Tìm công thức tổng quát của số hạng thứ \( n \) trong cấp số nhân: - Công thức tổng quát của số hạng thứ \( n \) trong cấp số nhân là: \[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \] - Thay \( u_1 = \frac{2}{3} \) và \( q = 3 \) vào, ta có: \[ u_n = \frac{2}{3} \cdot 3^{n-1} \] 3. Tính giá trị của \( u_{2019} \): - Thay \( n = 2019 \) vào công thức trên, ta có: \[ u_{2019} = \frac{2}{3} \cdot 3^{2019-1} = \frac{2}{3} \cdot 3^{2018} = 2 \cdot 3^{2018-1} = 2 \cdot 3^{2017} \] Như vậy, giá trị của \( u_{2019} \) là \( 2 \cdot 3^{2017} \). Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~2.3^{2018} \] Đáp án: \( A.~2.3^{2018} \) Câu 19: Để tìm công bội \( q \) của cấp số nhân \( u_n \) với số hạng đầu \( u_1 = 2 \) và \( u_4 = 486 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định công thức của số hạng thứ n trong cấp số nhân: Số hạng thứ \( n \) của cấp số nhân được tính theo công thức: \[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \] 2. Áp dụng công thức cho số hạng thứ 4: Ta biết rằng \( u_4 = 486 \). Thay vào công thức trên, ta có: \[ u_4 = u_1 \cdot q^{4-1} = 2 \cdot q^3 \] Do đó: \[ 2 \cdot q^3 = 486 \] 3. Giải phương trình để tìm \( q \): Chia cả hai vế của phương trình cho 2: \[ q^3 = \frac{486}{2} = 243 \] Ta nhận thấy rằng \( 243 = 3^5 \), do đó: \[ q^3 = 3^5 \] Để tìm \( q \), ta lấy căn bậc ba của cả hai vế: \[ q = \sqrt[3]{3^5} = 3^{5/3} = 3^{1 + 2/3} = 3 \cdot 3^{2/3} = 3 \cdot \sqrt[3]{9} \] Tuy nhiên, vì \( 243 = 3^5 \), nên: \[ q = 3 \] 4. Kiểm tra lại đáp án: Thay \( q = 3 \) vào công thức \( u_4 = 2 \cdot q^3 \): \[ u_4 = 2 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54 \] Đúng là \( 486 \). Vậy công bội \( q \) của cấp số nhân là \( 3 \). Đáp án đúng là: \( A.~q=3 \). Câu 20: Cấp số cộng \( u_n \) có \( u_1 = 11 \) và công sai \( d = 4 \). Ta cần tìm \( u_m \). Công thức tổng quát của một số hạng trong cấp số cộng là: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Áp dụng vào bài toán này: \[ u_m = 11 + (m-1) \cdot 4 \] \[ u_m = 11 + 4m - 4 \] \[ u_m = 4m + 7 \] Bây giờ ta sẽ kiểm tra các đáp án để tìm \( m \): A. \( u_m = 401 \) \[ 4m + 7 = 401 \] \[ 4m = 401 - 7 \] \[ 4m = 394 \] \[ m = \frac{394}{4} \] \[ m = 98.5 \] (Không phải số nguyên) B. \( u_m = 403 \) \[ 4m + 7 = 403 \] \[ 4m = 403 - 7 \] \[ 4m = 396 \] \[ m = \frac{396}{4} \] \[ m = 99 \] (Số nguyên) C. \( u_m = 402 \) \[ 4m + 7 = 402 \] \[ 4m = 402 - 7 \] \[ 4m = 395 \] \[ m = \frac{395}{4} \] \[ m = 98.75 \] (Không phải số nguyên) D. \( u_m = 404 \) \[ 4m + 7 = 404 \] \[ 4m = 404 - 7 \] \[ 4m = 397 \] \[ m = \frac{397}{4} \] \[ m = 99.25 \] (Không phải số nguyên) Như vậy, chỉ có \( u_m = 403 \) là thỏa mãn điều kiện \( m \) là số nguyên. Đáp án đúng là: B. 403. Câu 21: Cấp số cộng $u_n$ có số hạng đầu tiên $u_1 = 2$ và công sai $d = 9$. Ta cần tìm số hạng thứ mấy trong dãy mà giá trị của nó là 2018. Công thức tổng quát của số hạng thứ n trong một cấp số cộng là: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ 2018 = 2 + (n-1) \cdot 9 \] Giải phương trình này để tìm n: \[ 2018 = 2 + 9(n-1) \] \[ 2018 - 2 = 9(n-1) \] \[ 2016 = 9(n-1) \] \[ n-1 = \frac{2016}{9} \] \[ n-1 = 224 \] \[ n = 224 + 1 \] \[ n = 225 \] Vậy số 2018 là số hạng thứ 225 trong dãy. Đáp án đúng là: B. 225. Câu 22: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức tính tổng của cấp số cộng. Cấp số cộng có dạng $u_n = u_1 + (n-1)d$, trong đó $u_1$ là số hạng đầu tiên, $d$ là công sai và $n$ là số lượng số hạng. Trước tiên, ta xác định số hạng thứ 10 của cấp số cộng: \[ u_{10} = u_1 + (10-1)d = 1 + 9 \times 2 = 1 + 18 = 19 \] Tiếp theo, ta sử dụng công thức tính tổng của cấp số cộng: \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2u_1 + (n-1)d\right) \] Áp dụng vào bài toán: \[ S_{10} = \frac{10}{2} \left(2 \times 1 + (10-1) \times 2\right) = 5 \left(2 + 18\right) = 5 \times 20 = 100 \] Vậy tổng $S_{10}$ của cấp số cộng là 100. Đáp án đúng là: B. $S_{10} = 100$. Câu 23: Để tìm công bội \( q \) của cấp số nhân \( u_n \) với số hạng đầu \( u_1 = 2 \) và \( u_4 = 486 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định công thức của số hạng thứ n trong cấp số nhân: Số hạng thứ \( n \) của cấp số nhân được tính theo công thức: \[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \] 2. Áp dụng công thức cho số hạng thứ 4: Ta biết rằng \( u_4 = 486 \). Thay vào công thức trên, ta có: \[ u_4 = u_1 \cdot q^{4-1} = 2 \cdot q^3 \] Do đó: \[ 2 \cdot q^3 = 486 \] 3. Giải phương trình để tìm \( q \): Chia cả hai vế của phương trình cho 2: \[ q^3 = \frac{486}{2} = 243 \] Ta nhận thấy rằng \( 243 = 3^5 \), do đó: \[ q^3 = 3^5 \] Để tìm \( q \), ta lấy căn bậc ba của cả hai vế: \[ q = \sqrt[3]{3^5} = 3^{5/3} = 3^{1 + 2/3} = 3 \cdot 3^{2/3} = 3 \cdot \sqrt[3]{9} \] Tuy nhiên, vì \( 243 = 3^5 \), nên: \[ q = 3 \] 4. Kiểm tra lại đáp án: Thay \( q = 3 \) vào công thức \( u_4 = 2 \cdot q^3 \): \[ u_4 = 2 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54 \] Đúng là \( 486 \). Vậy công bội \( q \) của cấp số nhân là \( 3 \). Đáp án đúng là: \( A.~q=3 \). Câu 24: Cấp số cộng $u_n$ có số hạng đầu tiên $u_1 = 3$ và công sai $d = -2$. Số hạng thứ 10 của cấp số cộng được tính theo công thức: \[ u_{10} = u_1 + (10-1)d \] Thay các giá trị vào công thức: \[ u_{10} = 3 + (10-1)(-2) \] \[ u_{10} = 3 + 9(-2) \] \[ u_{10} = 3 - 18 \] \[ u_{10} = -15 \] Vậy số hạng thứ 10 của cấp số cộng là $-15$. Đáp án đúng là B. -15. Câu 25: Cấp số nhân $u_n$ có $u_2=2$, $u_6=32$. Ta cần tìm công bội $q$ của cấp số nhân này. Trước tiên, ta biết rằng trong một cấp số nhân, mỗi số hạng có thể được biểu diễn dưới dạng: \[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \] Áp dụng vào bài toán: \[ u_2 = u_1 \cdot q^{2-1} = u_1 \cdot q = 2 \] \[ u_6 = u_1 \cdot q^{6-1} = u_1 \cdot q^5 = 32 \] Bây giờ, ta chia hai phương trình này để loại bỏ $u_1$: \[ \frac{u_6}{u_2} = \frac{u_1 \cdot q^5}{u_1 \cdot q} = q^4 \] \[ \frac{32}{2} = q^4 \] \[ 16 = q^4 \] Giải phương trình $q^4 = 16$: \[ q^4 = 16 \] \[ q^2 = 4 \quad \text{hoặc} \quad q^2 = -4 \] \[ q = 2 \quad \text{hoặc} \quad q = -2 \] Vậy công bội của cấp số nhân là $\pm 2$. Đáp án: B. $\pm 2$.